《量子力学导论Cha》PPT课件.ppt_第1页
《量子力学导论Cha》PPT课件.ppt_第2页
《量子力学导论Cha》PPT课件.ppt_第3页
《量子力学导论Cha》PPT课件.ppt_第4页
《量子力学导论Cha》PPT课件.ppt_第5页
已阅读5页,还剩27页未读 继续免费阅读

下载本文档

版权说明:本文档由用户提供并上传,收益归属内容提供方,若内容存在侵权,请进行举报或认领

文档简介

1、4.2 厄米算符的本征值、本征函数以及共同本征函数,1、涨落 对于都用量子态 来描述的大量相同的体系,如果对某一力学量 A 进行多次测量,所得结果的平均值将趋于一个确定的值,而每次测量结果都围绕这个平均值有个涨落,在数学上定义为:,2、本征态与本征值 (1)本征态 有一种特殊的状态,测量力学量 A 的结果是唯一确定的,即涨落为零, 这种特殊的态就是本征态。 (2)本征方程与本征值 An 称为 A 的本征值,n 为相应的本征态。 量子力学假定测量力学量 A 时所有可能出现的值,都是相应的线形厄米算符 A 的本征值。当体系处于 A 的本征态 n,则每次测量所得结果都是 An。,3、两条定理 (1)

2、厄米算符的本征值都为实数 证: (2)属于不同本征值的本征函数彼此正交,4、能级简并时本征函数的正交化处理 简并是指本征值相同,但本征态不一样。 特别是,当能量本征值一样,但能量本征态却完全不一样。 能级简并时,仅根据能量本征值并不能把各简并态确定下来。 能级简并时本征函数的正交化处理过程 出发点分析:在出现简并时,简并态的选择是不唯一的,并且这些简并态不一定彼此正交。但可以将这些简并态进行适当的线形叠加以实现彼此正交。,fn个中任选两个, ;再自身加上归一化要求,fn个,5、共同本征函数 (1)测不准关系与共同本征态 体系处于力学量 A 的本征态时,对 A 进行测量,可以得到无涨落的、确切的

3、值,即本征值。若在该本征态下去测量另一个力学量 B,是否也能测到确切值呢?不一定。例如考虑波粒二像性,空间坐标和动量之间就不可能同时完全确定。 普遍情形是 此乃任意两个力学量 A 和 B 在任何量子态下的涨落必然要满足的关系式,即测不准关系式。,证明:,共同本征态: 从测不准关系可以看出,如果两个力学量 A 和 B 不对易,则一般来讲 A 和 B 不能同时为零,A 和 B 不能同时测定(除了 这一种特殊态例外)。就是说,二者没有共同的本征态。 反之,如果这两个力学量对应的厄米算符对易,即 ,则可以找出一种态使得二者可以同时测定,即可以找出二者的共同本征态。,(2)求共同本征函数的一般原则 分两

4、种情况讨论 An 无简并,(b) An 有简并,6、力学量完全集 (1)定义 设有一组彼此独立、相互对易的厄米算符 它们具有共同本征函数,记为 k ,k 是一组量子数的笼统记号。设给定 k 之后就能够确定体系的一个可能 状态,则称 构成体系的一组力学量完全集. (2) 波函数统计诠释的最一般的数学描述 按照态叠加原理,体系的任何一个状态 均可用k 展开,,表示在 态下测量 A 得到 Ak 值的几率。这是 波函数统计诠释的最一般的数学描述。 例如,一维线性谐振子,哈密顿量本身就构成一组力学量完全集。它的本征函数为 n ,n = 0, 1, 2, ,就构成体系的一组正交完备函数组。一维谐振子的任何

5、一个态 均可用它们进行展开, 表示在 下测得振子能量为 En 的几率。,(3)含 哈密顿量 H 的力学量完全集 如果力学量完全集中包含哈密顿量 H,并且 H 有下界,则这组力学量完全集的共同本征态构成该体系的态空间的一组完备的基矢,体系任何一个状态均可用这组基矢展开。 实际物理体系的 H(能量)的本征值都包含在这组力学量完全集的本征值之中。体系的任何态都可用包含 H 在内的一组力学量完全集的共同本征态来展开。 如果 H 不显含时间,这组力学量完全集称为守恒量完全集,将产生一组好量子数。在量子力学中寻找体系守恒量完全集是极其重要的。,(4)力学量算符表达之总结 在量子力学中,力学量用相应的线性厄

6、米算符表达 平均值 实验上观测 A 的可能取值,必为算符 的某一本征值 力学量之间的关系用相应的算符之间对易关系反映出来。 (一般而言,两个力学量 A 和 B 同时具有确定的测量值的必要条件是二者之间完全对易,即 ),7、(l2,lz)的共同本征态和球谐函数 (1)概述 角动量 l 的三个分量彼此不对易,因为 三分量一般没有共同本征态,但考虑到 可以找到 l2 与角动量任何一个分量(如 lz)的共同本征态。 此外,在中心力场问题中,可以证明 因此,体系守恒量完全集可以选择为(H, l2, lz).,(2) lz 的本征方程、本征值和本征函数,(3) (l2,lz)的共同本征态 因为 ,l2 的本征态可同时取为 lz 的本征态.,因为 和 相互独立,所以 l2 的本征函数可分离变量。,化简后得到 这是缔合勒让德(或连带 Legendre)方程。 方程的两个奇点在 = 1;在其余| | 1区域 为常点。 可以证明(级数解法),只有当 时,方程的解才截断为多项式,解为缔合勒让德多项式 它在物理上可以接受,是有界的。,最终 (l2,lz)的正交归一的共同本征函数为,Ylm为球谐函数,(4) 讨论 l2 和 lz 的本征值都是量子化的; l0,1,2为轨道角动量量子数; 对于给定的 l 值, l2 的本征函数是不确定的,因为 m 有 2l+1个

温馨提示

  • 1. 本站所有资源如无特殊说明,都需要本地电脑安装OFFICE2007和PDF阅读器。图纸软件为CAD,CAXA,PROE,UG,SolidWorks等.压缩文件请下载最新的WinRAR软件解压。
  • 2. 本站的文档不包含任何第三方提供的附件图纸等,如果需要附件,请联系上传者。文件的所有权益归上传用户所有。
  • 3. 本站RAR压缩包中若带图纸,网页内容里面会有图纸预览,若没有图纸预览就没有图纸。
  • 4. 未经权益所有人同意不得将文件中的内容挪作商业或盈利用途。
  • 5. 人人文库网仅提供信息存储空间,仅对用户上传内容的表现方式做保护处理,对用户上传分享的文档内容本身不做任何修改或编辑,并不能对任何下载内容负责。
  • 6. 下载文件中如有侵权或不适当内容,请与我们联系,我们立即纠正。
  • 7. 本站不保证下载资源的准确性、安全性和完整性, 同时也不承担用户因使用这些下载资源对自己和他人造成任何形式的伤害或损失。

评论

0/150

提交评论