二重积分的计算法22266PPT课件

1、.,1,第二节,一、利用直角坐标计算二重积分,二、利用极坐标计算二重积分,二重积分的计算法,X-型积分区域,Y-型积分区域,将二重积分化为二次积分,与直系下二次积分互化,.,2,一、利用直角坐标计算二重积分,且在D上连续时,由曲顶柱体体积的计算可知,若D为 X 型区域,直角坐标系下化二重积分为二次积分,.,3,应用计算“平行截面面积为已知的立体求体积”的方法,由此得：,则,的值等于以D为底，,以曲面,为顶的圆柱体的体积，,.,4,若D为Y 型区域,则,.,5,当被积函数,均非负,在D上变号时,因此上面讨论的累次积分法仍然有效 .,由于,.,6,说明: (1) 若积分区域既是X型区域又是Y 型区

2、域 ,为计算方便,可选择积分序, 必要时还可以交换积分序.,则有,(2) 若积分域较复杂,可将它分成若干,X-型域或Y-型域 ,则,.,7,穿过区域且平行于y 轴的,直线与区域边界相交不多于两个交点.,直线与区域边界相交不多于两个交点.,计算中的技巧（问题）：,、先画积分区域草图；,、有无奇偶对称性:,X型区域的特点：,穿过区域且平行于x 轴的,Y型区域的特点：,.,8,关于x奇，D关于y轴对称,关于y奇，D关于x轴对称,关于x偶，,关于y偶，,D关于y轴对称,D关于x轴对称,称f(x,y)关于x为奇，,称f(x,y)关于x为偶，,.,9,、交换积分次序：,、题目本有要求；,、出现,、二重积分

3、恒等式证明。,、积分原则：与定积分计算基本一致；,（先对 x 积分，视 y 为常量，,对y 积分，视 x 为常量),、何时不得不将积分域D分块？,穿入穿出不唯一。,.,10,解,积分区域如图,.,11,解,积分区域如图,.,12,解,.,13,原式,.,14,例4. 计算,其中D 是直线 y1, x2, 及,yx 所围的闭区域.,解法1. 将D看作X型区域, 则,解法2. 将D看作Y型区域, 则,.,15,例5. 计算,其中D 是抛物线,所围成的闭区域.,解: 为计算简便, 先对 x 后对 y 积分,及直线,则,.,16,例6. 计算,其中D 是直线,所围成的闭区域.,解: 由被积函数可知,因

4、此取D 为X 型域 :,先对 x 积分不行,说明: 有些二次积分为了积分方便, 还需交换积分顺序.,.,17,例7求I=,解: 由被积函数可知,取D 为X 型域 :,因此取D 为Y 型域 :,先对 y 积分不行,.,18,例8求I=,解: 被积函数关于x为奇，关于y为奇,因此取D 分为两部分 :,.,19,例9. 计算,其中D 由,所围成.,解: 令,(如图所示),显然,.,20,二、利用极坐标计算二重积分,在极坐标系下, 用同心圆 r =常数,则除包含边界点的小区域外,小区域的面积,及射线 =常数, 分划区域D 为,.,21,设,则,1. 极点在积分区域外,.,22,设,则,设,则,2. 极

5、点在积分区域的边界上,3. 极点在积分区域的内部,.,23,若 f 1 则可求得D 的面积,思考: 下列各图中域 D 分别与 x , y 轴相切于原点,试,答:,问 的变化范围是什么?,(1),(2),.,24,适合类型：,、积分域为圆域或圆域的一部分（包括环形域）；,、被积函数含,因子。,注意的问题：,、必须画出积分区域图；,、特别注意积分向量,限的确定问题；,、不要忘记,.,25,积分限的决定：,一般来讲，定好 是比较关键的,表示常数,曲线任意一点到极点的距离,积分限的确定（一般 ),、假设极点在闭区域D内，则：,、若极点在区域D之外或边界上：看区域D,夹在,与,之间，,以此来定,的范围（

6、通过图形来看）；,.,26,注意：,、外层一定是常数限；,、选定,还是r, r积分限的确定,（仍用穿刺法）具体做法：,在D内任找一点，从原点0出发向外作射线,（要注意此时与D边界的交点不能多于两个），,先穿出的的边界解出的,为下限，后穿出,的边界解出的r为上限。,、上限必须大于下限；,.,27,例1. 计算,其中,解: 在极坐标系下,原式,的原函数不是初等函数 ,故本题无法用直角,由于,故,坐标计算.,.,28,例2：求I=,其中A为D的面积,.,29,内容小结,(1) 二重积分化为累次积分的方法,直角坐标系情形 :,若积分区域为,则,若积分区域为,则,.,30,则,极坐标系情形: 若积分区域为,若积分域较复杂,可将它分成,若干X-型域或Y-型域 ,则,.,31,(3) 计算步骤及注意事项, 画出积分域, 选择坐标系, 确定积分