论文：浅谈求数列通项公式的几种方法

1、浅谈求数列通项公式的几种方法灵璧县黄湾中学 柯林 摘要：本文通过几个最新的具体的高考实例分别介绍了高中阶段求数列通项公式的几种不同方法。 数列在理论上和实践中均有较高的价值，是培养学生观察能力、理解能力、逻辑思维能力的绝好载体，高考对数列知识的考察从未间断过，而且在前几年，很多省市的高考数学卷都把数列题作为压轴题。数列的通项公式是数列的核心内容之一，它如同函数中的解析式一样，有了解析式便可研究性质等；而有了数列的通项公式便可求出数列中的任一项及前项和等。因此，求数列的通项公式往往是解题的突破口、关键点。本文即通过几个高考实例总结了在高中阶段，求数列的通项公式的常用方法和策略。1 观察法即归纳推

2、理，就是观察数列特征，找出各项共同的构成规律，横向看各项之间的关系结构，纵向看各项与项数n的内在联系，从而归纳出数列的通向公式，然后利用数学归纳法加以证明即可。例1.（2014年重庆理科）设，. （）若，求及数列的通项公式解：由题意可知：，.因此猜想.下面用数学归纳法证明上式（1）当n1时，结论显然成立（2）假设当nk时结论成立，即，则，即当nk1时结论也成立由（1）、（2）可知，对于一切正整数，都有 点评：采用数学归纳法证明是理科教学内容，较为容易，好掌握。2 定义法直接利用等差数列或等比数列的定义求通项的方法叫定义法，这种方法适应于已知数列类型的题目。 例2.（2015年北京文科）已知等差

3、数列满足， （）求的通项公式； （）设等比数列满足，问：与数列的第几项相等？ 解：（）设等差数列的公差为. 因为，所以. 又因为，所以，故. 所以 . （）设等比数列的公比为. 因为， 所以，. 所以. 由，得. 所以与数列的第63项相等. 点评：当已知数列为等差或等比数列时，可直接利用等差或等比数列的定义求出数列的首项与公差或公比，再写出通项公式。3公式法 若已知数列的前n项和与的关系，求数列的通项可用公式 求解。 例3.（2015年山东理科）设数列的前项和为，已知 （）求数列的通项公式。 解：（）由 可得：当时， ， 当时， 而 ，所以 点评：利用公式求解时，要注意对分类讨论，但若能合写时

4、一定要合并。4累加法当递推公式为时，其中的和比较易求 ，通常解法是把原递推公式转化为，利用累加法(逐差相加法)求解。例4.（2015年江苏）数列满足，且（），则数列的前10项和为 解：由题意得： 所以 所以 所以 5累乘法当递推公式为时，其中的积比较易求 ，通常解法是把原递推公式转化为，利用累乘法(逐商相乘法)求解。例5.已知数列满足，求的通项公式。解：由条件知 ，在上式中分别令，得个等式累乘之，即 ， 即 又 6.构造法（1）当递推公式为（其中均为常数，且）时，通常解法是把原递推公式转化为，其中，再利用换元法转化为等比数列求解。例6.（2014年新课标全国卷）已知数列满足。（I）证明是等比数

5、列，并求的通项公式。解：由 得 又 所以是首项为，公比为的等比数列 所以 因此数列的通项公式为. （2）当递推公式为时，通常解法是把原递推公式转化为，其中的值由方程给出。 例7.（2007年天津文科）在数列中，=2，=。 （I）求数列的通项。 解：由 得 又 所以数列是首项为，公比为的等比数列所以 ，即 . （3）当递推公式为（其中均为常数，且）时，通常解法是把原递推公式转化为。若，则，此时数列是以为首项，以为公差的等差数列，则，即。若，则可化为形式求解。 例8.已知数列中，=1，=，求数列的通项公式。 解：由 得 所以数列是首项为=，的等比数列 所以 = ， 即 =（4） 当递推公式为时，通

6、常解法是把原递推公式转化为（其中可求和），从而可由累加法求解。 例9.（2007年天津理科）在数列中，=2，且 （）其中0. 求数列的通项公式。 解：由 得 即 所以是首项为，公差的等差数列 所以 ， 即 。 （5）当递推公式为（为常数，且）时，通常两边同时取倒数，把原递推公式转化为。若，则是以为首项，以为公差的等差数列，则，即。若，则可转化为（其中）形式求解。 例10.（2006年江西理科）已知数列满足，且（） 求数列的通项公式。 解：原式可变形为 两边同除以得 构造新数列，使其成为公比的等比数列 即 整理得 满足式使 数列是首项为，q= 的等比数列 。（6） 当递推公式为（ 为常数，且）时

7、可用方程解得两根，然后利用或，直接整理转化求解，也可将两式作比进行求解，此种方法称为“特征根法”或“不动点法”。例11.设数列满足，求的通项公式。解：由 得 令 ， 解之得. 代入上式得 ， 两式相除得 所以数列是以为首项，为公比的等比数列 所以 ， 解得 . （7）当递推公式为（其中为常数）时。若，可用对数法，即等式两边同时取对数，转化为形式求解。若，可用迭代法求解。 例12.（2005年江西理科）已知数列的各项都是正数，且满足，. （I）证明； （II）求数列的通项公式.解：（I）略； （II）因为 所以 令 ， 则 又 所以 ， 即 .（8）当递推公式为（均为常数）（又称二阶递归）时，将原递推公式转化为-（-）.其中、由解出，由此可得到数列-是等比数列。 例13.（2015年广东文科）设数列的前项和为，已知，且当时， 求的值； 证明：为等比数列； 求数列的通项公式解：（1）略； （2）因为 所以 即 因为 所以 因为 所以数列是以为首项，以为公比的等比数列。 （3）由（2）知 ，即 所以数列是以为首项，为公差的等差数列。 所以 即 . （9）当递推公式为型时，通常解法是把转化为或把转化为，从而得到关于或的递推公式，再用以上方法求解。例14.（2015年新课标2理科）设是数列的前项和，且，则_。解