数学归纳法之我见

1、数学归纳法之我见数学归纳法是一种常用的证明方法，在证明命题时，有着其它方法不可替代的作用结合典型例题的分析、解答，通过对其应用误区剖析，归纳递推突破等方面较全面地“透析”数学归纳法，力求更好理解、掌握与运用数学归纳法1数学归纳法的常见误区在运用数学归纳法时常出现以下误区：归纳奠基误区，归纳递推误区，整体思维误区造成上述误区的原因主要在于对数学归纳法的原理理解不透彻以及对常出现的误区形式不清楚，所以我们不仅要弄清楚其原理，还要弄清楚误区形式1.1归纳奠基误区归纳奠基误区即归纳的基础出错，它的常见形式有：（1）没有验证初值；（2）初值的选择不当或不全；（3）归纳基础与归纳假设脱节等例1 已知，是比

2、较与的大小，并用数学归纳法证明错解 ：当时，；当时，猜想对恒成立证明如下；显然当时猜想成立假设时成立，则当时，而，所以上式显然成立综上可知对于一切猜想均成立评析：本题的归纳基础易选择不全，如只取或等，导致归纳递推的基础不牢，与归纳假设脱节，题需将验证到，在证明恒成立1.2归纳递推误区在数学归纳法递推过程中，误区常出现在归纳假设的运用上，其表现在：（1）归纳假设设而不用或使用不当；（2）不符合归纳假设的条件；（3）对项数计算错误等例2 已知数列满足，是否存在等差数列，使得数列与满足对一切正整数成立？证明你的结论错证： 令可得，猜想下证：其满足题意当时，成立假设时，成立那么当时，即时，等式也成立由

3、、知，所证等式成立评注：上述证明未用到假设，其论证是错误的数学归纳法之所以能将无穷的证明步骤化为有限的步骤，在于归纳的递推性，即每一项的成立都是建立在前一步的基础上，不是独立验证、是否成立，而是将推导的过程建立在成立基础上1.3整体思维误区从整体上看，数学归纳法是归纳奠基与归纳递推的统一过程然而却容易出现机械地套用数学归纳法的两个步骤，递推过程缺乏严格的逻辑推理，不符合数学归纳的原则的情况2突破归纳递推过程在运用数学归纳法时，归纳递推是关键如何实现从归纳假设向归纳递推过渡是其核心内容除运用配凑法、综合分析法、放缩法、递推法等，也可以用以下方法2.1借用单调性数学归纳法中的可以看成函数在特定区间

4、的离散点，故在归纳递推过程中，可以借用函数的相关性质来实现归纳递推过程例3 在数列中，求证分析：在归纳假设条件下，并不能一定推出成立，推理受阻为用上归纳假设条件，可考虑相应函数的单调性证明：当时，由，有又，则当时，有可知命题对，成立假设时有成立，当时，由右端的相应函数在上递增，而时有，故有可见命题也成立由、可知，对任意正整数，都有点评：以上证明有两处关键：一是借用函数在上单调递增；二是第一步中需同时验证，成立，为第二步假设奠定基础2.2合理运用归纳假设例4 用数学归纳法证明试证：当时，左式，右式，可见左式右式假设时，成立，当时，左式 显然不可能小于右式的，推理中断，无法证明评析：上述在推证时，

5、对假设时的条件运用不当实际上当时，也成立2.3加大“跨度”很多命题序列的递推性呈现较大的周期时，可以用增大跨度，并增加相应起点的技巧进行分流处理，以实现归纳递推例5 设，定义（当时），证明对一切，有分析 显然有，但若设，则很难由递推公式推出，因为这里出现在分母上，为得到，应当知道小于某数值而这一点恰恰是无法从归纳假设中得到的为克服这个困难，不妨考虑加大跨度，增加验证起点的办法证明：当时，当时，假设时，命题成立，即当时，命题成立综合、可得，对一切都有2.4强化命题在运用数学归纳法时，由过度到难以实现时，但比更强的命题则易于实现其过度过程，此时可主动强化命题等价实现到的过度强化命题通常有两种方法：

6、一是将命题一般化；二是加强结论例6 已知，求证：.分析：此题从数列角度可以解决，但需要用到比较复杂的变形和运算但若注意到，于是联想到证明一般性的命题即将命题一般化，此时可以用数学归纳法处理例7 设，以表示正整数的最小公倍数求证：分析：不难发现，用数学归纳法直接证明，由过渡到时举步维艰，思维受阻但若发现，试题便可迎刃而解于是想到证明加强的命题 评注：对于题设给出与正整数有关但结论却是针对一些具体正整数问题，直接处理若遇到困难，则不妨强化命题，然后尝试用数学归纳法进行证明参考文献1李金泳，刘钢数学视阈下的培根归纳逻辑J山西师大学报，2012,39(1)：14-172罗增儒关于数学归纳法的逻辑基础J中学数学教学参考，2004，(8)：17-183徐清杰应用数学归纳法时的常见七大误区J