函数的应用举例二

1、第二课时：函数的应用举例二教学时间： 2004.3.2教学目的： 结合物理等学科，构建数学模型，解决问题。教学重点： 构建数学模型。教学难点： 构建数学模型。教学过程：一、复习引入：问 1：解函数应用问题的一般步骤？通过上次课的学习我们已经能够对一些简单的实际问题建立函数关系，进而求解。这节课我们主要利用函数知识及数学建模的方式解决一些物理、化学方面的问题。二、例题分析：例 1（课本 p86 例二）设海拔x m 处的大气压强是y pa，y 与 x 之间的函数关系式是y cekx ，其中 c， k为常量，已知某地某天在海平面的大气压为1.015，10pa 1000 m高空的大气压为 0.90 1

2、05 pa，求： 600 m 高空的大气压强。（结果保留 3 个有效数字）（探索：这个问题的函数关系是已知的，但需确定其中的常数 c 和 k ，如何确定？）解：依题意将 x = 0 , y =1.01105 ； x = 1000 , y =代入 ycekx 得：1.01105cek 0c1.01 105(1)0.9010 5cek 10000.90105ce1000k(2)将 (1) 代入 (2)得： 0.901051.01105 e1000 kk1ln 0.9010001.01由计算器得： k1.1510 4 y1.01105e 1.15 10 4将 x = 600 代入 ,得： y1.01

3、10 5e 1.15 10 4600由计算器得： y0.94310 5 pa .1例 2 一根均匀的轻质弹簧，已知在 600 n 的拉力范围内，其长度与所受拉力成一次函数关系，现测得当它在 100 n 的拉力作用下，长度为 0.55 m,在 300 n 拉力作用下长度为 0.65m，那么弹簧在不受拉力作用时，其自然长度是多少？解：设拉力是 x n (0x 600) 时，弹簧的长度为 y m 设 y = k x + b0.55100kbk0.0005由题设：300kbb0.500.65所求函数关系是： y = 0.0005 x + 0.50当 x = 0 时，y = 0.50 , 即不受拉力作用

4、时，弹簧自然长度为0.50 m。例 3 一物体加热到 t0 c 时，移入室内，室温保持常温a c，这物体逐渐冷却，经过 t 分后，物体的温度是t c，那么 t 与 t 之间的关系有下列形式 t a (to a)e kt （这里 e =2.71828， k 为常数），现有加热到100 c 的物体，移入常温为20 c 的室内，经过10 分后，物体的温度是80 c，求：1经过 20 分后，物体的温度是多少度 ?（精确到1 c ）2经过多少分（精确到1 分），物体的温度是 30c？解：将 t0 = 100 , t = 80 , a = 20 , t = 10 代入关系式 ta(to a)e kt得：

5、8020 (10020) e 10k化简得： e 10k0.75两边取自然对数，并计算得：10 kln 0.75 k = 0.0288从而可得： t 20(10020)e 0.0288 t20 80e 0.0288 t(* )1把 t = 20 代入 (* )t20(10020)e 0.0288 202080e 0.576由计算器得： t = 64.97 c即经过 20 分后，物体的温度约为65 度。把 t = 30 代入 (* )30 20 (10020)e 0.0288 t则 e 0.0288 t0.125两边取自然对数，并计算得：t72.22即物体冷却到 30 c 约经过 72 分钟。三

6、、课堂练习：练习 1：一根弹簧原长 15cm，已知在 20kg 簧的长度与所挂的物体重量成一次函数关系，现测得当挂重4kg 时，弹簧的长度为17cm，问当弹簧的长度为 22cm 时 ,挂重多少 kg ?答案： 14kg.练习 2：有一杠杆的交点在它的一端，而在距交点1 米处挂有 490kg 的物体，同时加力于杠杆的另一端使杠杆保持水平，若杠杆本身每米长的重量为5kg，求最省力时杠杆的长？f1mo490kg解：设在距离杠杆交点长为x 处施加力 f，使杠杆水平，即求 x 为何值时f 最小。依题意 fx490 1 5x x ，即 f5 x490 ，22x由均值不等式得 f 70,此时 x=14m.