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1、1,四、小结及作业,2,第六节 可降阶的高阶微分方程,一.,令,则,因此,即,同理可得,依次通过 n 次积分, 可得含 n 个任意常数的通解 .,型的微分方程,3,例1 求解,解,( 这里 ),4,5,二.,型的微分方程,设,则,于是原方程化为一阶方程,设其通解为,则,再一次积分, 得原方程的通解,6,7,例4 求解,解,设,则,代入方程,得,分离变量,积分得,即,利用,得,于是有,两端再积分, 得,利用,得,因此所求特解为,8,三.,型的微分方程,设,则,故方程化为,设它的通解为,即得,分离变量后积分, 得原方程的通解,9,例5 求解,代入方程, 得,即,两端积分, 得,即,再分离变量积分,

2、 得,故所求通解为,解 设,则,10,例6 解下列初值问题,解 令,则,代入方程, 得,积分得,利用初始条件,得,从而,但根据,积分得,再利用,得,故所求特解为,应取,11,为曲边的曲边梯形面积,上述两直线与 x 轴围成的三角形面,例7 设函数,二阶可导, 且,过曲线,上任一点 P(x,y) 作该曲线的,切线及 x 轴的垂线 ,区间 0, x 上以,且,恒为 1 ,求,解 设曲线,由于,所以,于是,在点,处的切线倾角为,满足的方程.,积记为,记为,12,再利用 y (0) = 1, 得,利用,得,两边对 x 求导, 得方程,定解条件为,令,方程化为,则,解得,利用定解条件, 得,再解,得,故所

3、求曲线方程为,13,解,将方程写成,积分后得通解,注意:,这一段技巧性较高, 关键是配导数的方程.,例 8,14,解,代入原方程,解线性方程, 得,两端积分,得,原方程通解为,例 9,15,内容小结,可降阶微分方程的解法,降阶法,逐次积分,令,则,令,则,16,作业12-6: P292 1(2)(4) (5)(7)(10); 2 (3) (5) (6) ; 3.,17,思考与练习,1. 方程,如何代换求解 ?,答: 令,或,一般说, 用前者方便些.,均可.,有时用后者方便 .,例如,2. 解二阶可降阶微分方程初值问题需注意哪些问题 ?,答: (1) 一般情况 , 边解边定常数计算简便,(2) 遇到开平方时, 要根据题意确定正负号,18,19,思考题解

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