计算实对称矩阵特征值的Jacobi方法课件

1、前面介绍计算矩阵的部分特征值和特征向量的一些方法.现介绍的 Jacobi方法是计算一个实对称矩阵的全部特征值和特征向量的方法. 设 是任一n阶实对称矩阵,则必存在一个直交相似变换矩 阵U将它化为一个对角阵,即 其中 就是A的n个特征值,而U的第j列向量是与 相应 的特征值向量.但是这种直交相似变换矩阵U必须用一个无限迭代过程 求得.也就是说,必须通过一系列的直交相似变换 把矩阵A化为一个对角阵:,3 计算实对称矩阵特征值的Jacobi方法,Jacobi方法就是通过一系列特殊的直交相似变换矩阵(Givens平面旋转) 把矩阵A化为一个对角阵.,用R(p,q)表示如下形式的 阶矩阵: (3.1),

2、3.1 Givens平面旋转矩阵,它的元素除 (pq)外,其余元素与n阶单位阵相应位置元素相同.通常称这种矩阵R(p,q) 为Givens平面旋转矩阵, 为旋转角.容易验证,R(p,q)是一个直交阵,有 若令 (3.2) 则矩阵B和A中,只有p,q二行和p,q二列元素有区别,它们之间有如下关系: (3.3),为使bpq=0,必须 即旋转角 应满足关系式: (3.4) 常将 限制在区间 上,若 ,则可取 (3.5) 称A的(p,q)位置元素 为旋转主元.,用 表示原来给定的n阶实对称矩阵 ,即令 其中 .古典的Jacobi方法首先选取矩阵 主对角 线上方的绝对值最大的元素 作为旋转主元,根据(3

3、.4)或(3.5)式选取 使矩阵 的(p,q)元素等于零,即 .设此法已进行k-1步,得到相似矩阵 .其主对角线上方绝对值最大的元素为 ,则第k 步将选取 作为旋转主元,取Givens平面旋转矩阵R(p,q)中的旋转 角 满足,3.2 Jacobi方法及其收敛性,或 并令 (3.6) 一般地,经过有限次上述变换不可能把A化为一个对角阵,这是因为在 中的元素 ,但在 中, 可能变成非零元 素.因此,Jacobi方法是一种迭代法.然而,我们将证明,当 时, (3.7) 其中 是矩阵A的n个特征值 记 (3.8) 其中 的主对角元全为零.据(3.6)和(3.3)式,有,从而有 (3.9) 由于 是

4、中绝对值最大的元素,因此 即 (3.10) 据(3.9)和(3.10)式便有 当 时, .这就证明,当 时, 趋于一个对角阵,(一) 旋转主元的选取 在古典的Jacobi方法中,每一步变换之前都要寻查 的主对角 线上方绝对值最大的元素,以它作为旋转主元.在计算机上这样寻查 一遍比较费时间.实际应用Jacobi方法时,常作一些修改,以节省寻查 旋转主元的时间. 首先,逐次选取(1,2),(1,3),(1,n),(2,3),(2,n),(n-l,n) 元素为旋转主元,确定旋转角和Givens平面旋转矩阵依次消去上三角 部分的(p,q)元素.从(1,2)到(n-1,n)称为一轮.做完第一轮后,再按

5、(1,2),(1,3),(n-1,n)的次序做第二轮,第三轮,. 在每一轮消元时,都给定一个控制量 ,称为消元容限.如果(p,q) 元素的绝对值小于 ,就跳过这一步.容限 的值,逐轮减小,最后可取,3.3 实用的Jacobi方法及其计算步骤,接近计算机所能表示的最小正数作为容限.但是,没有统一的方法来确 定消元容限.常用的一种方法是在第一轮取容限 第二轮取容限 其中 是做完第一轮消元后得到的 的(i,j)元素， 仿此继续选取第三轮消元容限 .或者,更简单些,在第一轮取 以后逐轮取,平面旋转矩阵的旋转角 应满足关系： 为了避免分母出现零的危险,我们把这个关系式改写成 记 (3.11) 则 (3.

6、12) 在 很小时,就跳过这一步,因此实际上在(3.12)中不会发生分母为 零的情形.为了计算 和 ,可令 (3.13),(二) 平面旋转矩阵参数 和 的计算,由于 ,所以t满足二次方程 (3.14) 解得 (3.15) 为取(3.15)中绝对值的较小者,则应取 (3.16) 如果 ,那么据(3.12)式计算b将会产生较大的误差. 因此,取 (3.17) 此时,t近似地满足方程(3.14).最后,按下列公式计算 和 ：,据(3.3),(3.18)和(3.19)式,并注意到 便可得到计算 的元素 的公式如下： (3.20) 在 时， (3.21) (3.22) (3.23),(三) 元素 的计算,设逐次所用的平面旋转矩阵为 ,则据(3.6)式有 令 (3.24) 则 (3.25) 设 可以看成是一个对角阵(非主对角元素都接近于零),则 的主 对角元素是矩阵A的特征值的近似.据(3.25)式可得 从而 的第j列向量就是矩阵A的特征值 所对应的特征向量,并且 得到的特征向量系是一个标准直交系.记,(四) 特征向