第三章空间力系PPT课件

1、第三章 空间力系,本章研究问题： 空间力系的简化和平衡条件,本章从前面的平面问题的研究转向了空间问题的研究，是前面问题的发展和延伸。,3-1 空间汇交力系,1. 力在直角坐标轴上的投影和力沿直角坐标轴的分量,用矢量表示：,2. 空间汇交力系的合成与平衡条件,合力大小：,方向余弦：,空间汇交力系平衡要求合力为0：,所有各力在三坐标轴上的投影的代数和为0。,三个方程，解三个未知数。,例3-2：刚体上作用汇交的四个力。它们在坐标轴上的投影如下表所示。求四个力的合力的大小和方向。,解：,合力在坐标轴上的投影，有：,合力的大小：,合力的方向：,例：重为P，边长为2a的正方形均质板用三根绳子悬挂于水平位置

2、。已知OD=a，D点与板的重心同在一铅垂线上，求绳子的拉力。,解：,P、FA、FB、FC 构成空间汇交力系,建坐标系，列平衡方程，有：,解得：,3-2 力对点的矩和力对轴的矩,1. 力对点的矩,空间力系问题，力对点的矩不是代数量。,除大小、转向外，还应包括力作用线与矩心组成平面的方位。,可用一个矢量表示：,矢量的模等于力的大小与矩心到力的作用线的距离的乘积；,矢量的方位和力与矩心组成平面的法线的方位相同。,有作用的方位问题。,则有：,以r表示A点的矢径，有：,矢量的指向确定，右手法则：,从r 到F，拇指指向，从矢端看物体的转动是逆时针转向,力对点的矩等于矩心到该点的矢径与该力的矢量积，是矢量。

3、,用MZ(F)表示力F对Z轴的矩，O点为Fxy所在的平行于xoy的平面与Z轴的交点，h为O到Fxy的距离，则力F对Z轴的矩就是Fxy对O点的矩。,2. 力对轴的矩,将F分解成：平行于 z 轴和垂直于 z 轴的分力Fz , Fxy。,只有 Fxy 才能使物体绕 Z轴转动，而Fxy正是 F 力在xoy面上的投影。,正负号规定符合右手螺旋法则，从z轴正端看过去，绕轴逆时针转动为正。,力对轴的矩是力使刚体绕该轴转动效果的度量，是一个代数量，其绝对值等于该力在垂直于该轴的平面上的投影对于这个平面与该轴的交点的矩的大小。,定义：,力与轴在同一平面上，力对轴的矩为0。,力对轴的矩的解析表示：,若力Fxy作用

4、点的坐标x、y 和投影X、Y已知：,同理可得：,力对轴的矩等于 0 的情况：,(1)力与轴相交（h=0）,(2)力与轴平行,两种情况都是力与轴在同一平面上。,例：F=50N、OA=20cm、 AB=18cm， 。求力对z轴的矩。,解：,B点的坐标为 x=0、y=18、z=20,方法(1)： 用解析式求,力的投影：,方法(2)：利用平面问题中力对点的矩求,求力F在xoy面上的投影Fxy：Fxy=Fcos,3. 力对点的矩和力对通过该点的轴的矩的关系,力对点的矩与作用线位置有关。,M0（F）和 F 一起描述了力的三要素。,力在轴上的投影只依赖于力的大小和方向，与力作用线无关。只有力矢量不能了解其作

5、用线位置。,力对轴的矩就等于力矩矢量在轴上的投影,3-3 空间力偶,空间力偶对刚体的作用效果取决于三个因素：,1. 力偶矩矢、空间力偶等效条件,可用一个矢量表示，是自由矢量。力对点的矩是定位矢量。,力偶作用面可以平行移动，不改变效果。,(1)大小；(2)转向；(3)作用面的方位。,力偶对空间任一点的矩矢大小均相等，为F d。,力偶矩矢相等，力偶等效 。,方向与力偶矩矢一致。与O点位置无关。,所以，力偶可以移到平行平面上。,任意空间分布的力偶可合成为一个合力偶，合力偶矩矢等于各力偶矩矢的矢量和。,2. 空间力偶系的合成与平衡条件,解析表达式：,合力偶矩矢在x、y、z轴上的投影等于各分力偶矩矢在相

6、应轴上投影的代数和：,平衡条件：,力偶系中各力偶矩矢在三个坐标轴上投影的代数和等于0。,画出力偶矩矢,合成后的力偶位于与这方向垂直的平面上，向下方观察时，为逆时针方向。,解：,例：已知两个力偶，F1=F1=20N、d1=5cm、F2=F2=5N、d2=5cm。求此两个力偶的合成结果。,两矢量相加。,m1、m2是自由矢量，可移往适当位置点。,例：物体在力偶系作用下平衡，已知M1、M2、M3 ，求M4。,解：,3-4 空间任意力系向一点的简化，主矢、主矩,与平面的问题类似，空间任意力系向一O点简化后，得一作用于该点的空间汇交力系和一空间力偶。,力偶系的合力偶矩矢,汇交力系的合力 ：,FR 为主矢，

7、作用于简化中心；Mo 为主矩，,FR 和简化中心无关，Mo 则与简化中心有关。,1. 空间任意力系向一点的简化,如果再向D点转化:,2、空间任意力系的简化结果,如同在一平面内且互相垂直，可进一步合成为一力。,为一合力偶，主矩与简化中心的位置无关,为一合力，合力通过O点,其作用线离简化中心的距离：,各分力对O点的矩的矢量和；,空间任意力系对于任一点矩等于各分力对同一点矩的矢量和,力偶（F”R， FR ）的矩Mo，等于合力FR对点O的矩：,投影到任一轴上,空间任意力系的合力对于任一轴的矩等于各分力对同一轴的矩的代数和。,【 合力矩定理】,(5) FR=0，MO=0，力系平衡。,(4) FR0, M

8、00，而FR/MO ，称为力螺旋。,由一力和一力偶组成，且力垂直于力偶作用面。,=,力螺旋不能进一步合成。一般情况下空间任意力系可合成为力螺旋。,=,=,1. 力在直角坐标轴上的投影和力沿直角坐标轴的分量,用矢量表示：,空间力系问题，力对点的矩不是代数量。,除大小、转向外，还应包括力作用线与矩心组成平面的方位。,2. 力对点的矩,矢量的指向确定，右手法则,小 结,3. 力对轴的矩,力F对Z轴的矩就是Fxy对O点的矩,力与轴在同一平面上，力对轴的矩为0。,力对轴的矩等于0的情况：,(1)力与轴相交(h=0),(2)力与轴平行,4. 力对点的矩和力对通过该点的轴的矩的关系,5. 空间力偶,空间力偶

9、对刚体的作用效果取决于三个因素：,可用一个矢量表示，是自由矢量。,(1)大小；(2)转向；(3)作用面的方位。,6. 空间任意力系向一点的简化，主矢、主矩,8. 空间任意力系的平衡方程,7. 空间约束类型,x,y,z,FR,MO,MZ,MX,MY,FRZ,FRY,FRX,o,3-5 空间任意力系的平衡方程,共六个平衡方程：,(1)平行力系,(2)空间汇交,(3)空间力偶系,2. 空间约束类型,一般情况下，当刚体受到空间任意力系作用时，在每个约束处，约束反力的未知量可能有1个到6个。,决定每种约束的约束反力未知量个数的基本方法是：,观察被约束物体在空间可能的6种独立的位移中(6-DOF)（沿x、

10、y、z三轴的移动和绕此三轴的转动），有哪几种位移被约束所阻碍。,阻碍移动的是约束反力；阻碍转动的是约束反力偶。,1. 平衡方程,3. 空间力系平衡问题举例,例3-7： 如图所示三轮小车，自重P=8KN，作用于E点，载荷P1=10KN，作用于C点。求小车静止时地面对车轮的反力。,解：,这是一个平行力系，满足如下条件：,可解出：FD=5.8KN,可解出：FB=7.78KN,可解出：FA=4.42KN,例3-9：图示车床主轴示意图。,已知：,求： (1)齿轮啮合力,(2)A、B的约束反力：FAx、FAy、FBx、FBy、 FBz,(3)卡盘E上O处的约束反力,取坐标系Axyz如图，列平衡方程，有：,

11、按题意，知：,可解得：,卡盘为固定端约束,工件共有6个约束反力,取工件 为研究对象,取坐标轴系Oxyz 列平衡方程,可解得：,选投影轴应尽量和未知力垂直,平衡方程不局限于形式,最好每个方程解一个未知数,取矩轴不必与投影轴是同一轴。,选取矩轴尽量和未知力在同一平面上,投影轴不必互相垂直,为方便求解：,前提：该静力学问题可解。,例3-10：均质长方板由六根直杆支持于水平位置，直杆两端各用球铰链与板和地面连接。板重为P，在A处作用一水平力F，且 F=2P。求各杆的内力。,各杆均为二力杆,解：,取长方体钢板为研究对象,设它们均受拉力,列平衡方程：,解得：,解得：,解得：,解得：,得：,得：,正值为拉力

12、，负值为压力。独立方程只有六个。,3-6 重心,1. 重心的概念及其坐标公式,重力可看成平行力系，,对x轴取矩：,合力通过一个确定的点，称为重心,合力的大小就是物体重量 P。,由合力矩定理，对y轴取矩：,整体绕x轴旋转，使 y 轴朝下，对x取矩，有：,单位体积重量（均质）：,代入，得：,微块越小越精确，极限情况就是积分,均质物体重心与比重无关，决定于物体的形状，也可称质心。,薄壳结构，厚度与表面积相比很小，如果均质等厚，则：,称为面积的重心，曲面的重心一般不在曲面上,有：,yc、zc相似,如果是细长线段，截面尺寸与长度L相比很小，有：,简单形状组合体，可通过上述合成计算，体积或面积相应可取正值

13、或负值（负面积）。,均质物体的重心就是几何中心，也叫形心。,均质物体有对称面、对称轴、或对称中心时，重心都是在这些面、轴、对称中心上。,yc、zc相似 。,称线段的重心,例：求丁字形薄板重心位置。,解法1：,薄板由两长方形组成，建坐标。,=105,解法2：负面积法。,例：图示平面中每一方格的边长为20mm，求挖去一圆后剩余部分面积重心的位置。,把此平面图形分成一个大矩形ABCD和两个小矩形及一个圆四部分，其面积和中心坐标分别为:,x,剩余部分面积的重心为:,2,3,y,4,解:,例：将图示梯形板ABED在点E挂起，设AD=a。欲使AD边保持水平。求BE应等于多少?,解: 设坐标系如图,要使AD

14、边水平，梯形板的重心应在Y轴上，即xc=0：,把梯形板分为三角形与矩形两部分：,设EB=X、AB=b，则有：,解出：BE=x=0.366a,基本要求：,(2)明确力对点的矩矢、空间力偶的概念和性质。,(3)了解空间力系的简化方法与结果。,(4)能熟练应用空间力系的平衡方程求解简单空间平衡问题。,(5)能熟练计算简单形体（包括组合体）的重心。,(1)熟练掌握力在空间坐标轴上的投影及力对轴之矩的计算。,重 点：,(1)力对点的矩、对轴的矩的概念与计算。,(2)空间力系的简化结果。,(3)各种空间力系的平衡方程及其应用。,(4)重心的计算。,(1)力的投影计算中的二次投影法。,(2)力对点的矩、对轴

15、的矩的概念与计算。,(3)力对点的矩、对轴的矩的关系。,难 点：,小 结,直接投影法,间接投影法（即二次投影法）,(2)力矩的计算,力对点的矩是一个矢量，它垂直于力矢和矩心所在的平面，方向按右手螺旋规则确定,力对轴的矩是一个代数量，可按两种方法求得,(1)力在空间轴上的投影,力对点的矩与力通过该点的轴的矩的关系,(3)合力矩定理,力系的合力对任一轴（例如z轴）之矩等于力系中各力对同一轴之矩的代数和，即：,力系的合力对任一点之矩等于力系中各力对同一点之矩的矢量和，即：,(4)空间力偶及其等效条件,力偶矩矢,空间力偶对刚体的作用效果决定于三个因素（力偶矩大小、力偶作用面方位及力偶的转向），它可用力偶矩矢M表示。力偶矩矢M是个自由矢量，其大小等于力与力偶臂的乘积，方向与力偶作用面垂直，指向与力偶转向的关系服从右手规则。,力偶的等效条件： 若两个力偶的力偶矩矢相等，则它们彼此等效。,(5)空间力系的合成,空间汇交力系合成为一个通过其汇交点的合力，其合力矢为：,空间力偶系合成结果为一合力偶，其合力偶矢为：,空间任意力系向点O简化得一个作用在简化中心O的力FR 和一个力偶，力偶矩矢为MO ：,空间任意力系简化的最终结果（四种情况）。,(6)空间任意力系平衡方程的基本形式,或,或,(7)几种特殊力系的平衡方程,空间汇交力系：由于力系对汇交点的主矩为零，则对汇