第二章-投影基础1

1、,2.1 正投影的基本知识 2.2 点的投影 2.3 直线的投影 2.4 平面的投影 2.5 回转曲面的投影,第二章 投影基础,投影方法,中心投影法,平行投影法,直角投影法（正投影法）,斜角投影法,画透视图,画斜轴测图,画工程图样及正轴测图,21 正投影的基本知识,一、投影法概述,中心投影法,投射线,投射中心,投影面,投影,物体位置改变，投影大小也改变,投射中心、物体、投影面三者之间的相对距离对投影的大小有影响。 度量性较差,中心投影法投影特性,平行投影法,斜角投影法,平行投影法投影特性,投影大小与物体和投影面之间的距离无关。 度量性较好,工程图样多数采用正投影法绘制。,V,V,H,1、物体上

2、与投影面平行的平面的投影反映实形；与投影面平行的线段的投影反映其实长。实形性,2、物体上与投影面垂直的平面的投影成为一直线；与投影面垂直的直线的投影成为一点。积聚性,3、物体上倾斜于投影面的平面的投影成为缩小的类似形；倾斜于投影面的直线的投影比实长短。缩变性,二、正投影的基本特性,三、 三面正投影体系的建立和投影规律,1 、 单一正投影不能完全确定物体的形状和大小,二个投影,2、三视图的形成,Y,X,Z,O,规定 : V面保持不动，H面向下向后绕OX轴旋转900，W面向右向后绕OZ轴旋转900。,X方向作为度量物体长度的方向；Y方向作为度量物体宽度的方向；Z方向作为度量物体高度的方向。,主视图

3、长、高 俯视图长、宽 左视图高、宽,3、三面投影与三视图,1）视图的概念,主视图 实体的正面投影,俯视图 实体的水平投影,左视图 实体的侧面投影,2）三视图之间的度量对应关系,三等关系,主视左视高相等且平齐,俯视左视宽相等且对应,视图就是将物体向投影面投射所得的图形。,3）三视图之间的位置对应关系, 主视图反映：上、下 、左、右 俯视图反映：前、后 、左、右 左视图反映：上、下 、前、后,上,下,左,右,后,前,上,下,前,后,左,右,将物体自然放平，一般使主要表面与投影面平行或垂直，进而确定主视图的投影方向 整体和局部都要符合三视图的投影规律 可见轮廓线用粗实线绘制，不可见的轮廓线用虚线绘制

4、，当虚线与实线重合时画实线 特别应注意俯、左视图宽相等和前、后方位关系,4、三视图的绘制,例1 由物体的立体图画三视图,虚线 要画,例2 画三视图,要注意宽相等,22 点的投影,采用多面投影。,过空间点A的投射线与投影面P的交点即为点A在P面上的投影。,点在一个投影面上的投影不能确定点的空间位置。,一、点的投影规律,a,点的三面投影,投影面,正面投影面（简称正 面或V面）,水平投影面（简称水 平面或H面）,侧面投影面（简称侧 面或W面）,投影轴,OX轴 V面与H面的交线,OZ轴 V面与W面的交线,OY轴 H面与W面的交线,三个投影面互相垂直,空间点A在三个投影面上的投影,空间点用大写字母表示，

5、点的投影用小写字母表示。,X,Y,Z,O,V,H,W,A,a,a,a,向右翻,向下翻,不动,投影面展开,X,Y,Z,O,V,H,W,A,a,a,a,点的投影规律:, aa OX轴 aaz = aay = XA（A到W面的距离）,aax= aaz=y （A到V面的距离）, aaOZ轴 aax =aa y = ZA (A到H面的距离）,点的三面投影和坐标的关系为：,画出A点投影图和举例,水平投影 a 反映A点X和Y的坐标； 正面投影 a反映A点X和Z的坐标； 侧面投影a反映A点Y和Z的坐标。,例：已知点的两个投影，求第三投影。,a,a,ax,az,az,解法一:,通过作45线使aaz=aax,解法

6、二:,用分规直接量取aaz=aax,点的投影与直角坐标的关系 若把三个投影面当作空间直角坐标面，投影轴当作直角坐标轴，则点的空间位置可用其（X、Y、Z）三个坐标来确定，点的投影就反映了点的坐标值，其投影与坐标值之间存在着对应关系。 点的一个投影反映了点的两个坐标。已知点的两个投影，则点的X、Y、Z三个坐标就可确定，即空间点是唯一确定的。因此已知一个点的任意两个投影即可求出其第三投影。,二、特殊位置点的投影,d,d,e,e,f,f,e,f,d,z,x,YW,YH,0,例：已知点的两投影，求其第三投影,d,a,a,a,各种位置点的投影 空间点 点的X、Y、Z三个坐标均不为零，其三个投影都不在投影轴

7、上。 投影面上的点 点的某一个坐标为零，其一个投影与投影面重合，另外两个投影分别在投影轴上。 投影轴上的点 点的两个坐标为零，其两个投影与所在投影轴重合，另一个投影在原点上。 与原点重合的点 点的三个坐标为零，三个投影都与原点重合。,三、两点的相对位置,两点的相对位置指两点在空间的上下、前后、左右位置关系。,判断方法：, x 坐标大的在左, y 坐标大的在前, z 坐标大的在上,B点在A点之前、之右、之下。,例题 已知A点在B点之前5毫米，之上9毫米，之右8毫米，求A点的投影。,两点的相对位置 两点的相对位置是根据两点相对于投影面的距离远近（或坐标大小）来确定的。X坐标值大的点在左；Y坐标值大

8、的点在前；Z坐标值大的点在上。 根据一个点相对于另一点上下、左右、前后坐标差，可以确定该点的空间位置并作出其三面投影。,四、重影点,空间两点在某一投影面上的投影重合为一点时，则称此两点为该投影面的重影点。,A、C为H面的重影点,被挡住的投影加( ),重影点及可见性判别 若两点位于同一条垂直某投影面的投射线上，则这两点在该投影面上的投影重合，这两点称为该投影面的重影点。 重影点在三对坐标值中，必定有两对相等。从投影方向观看，重影点必有一个点的投影被另一个点的投影遮住而不可见。判断重影点的可见性时，需要看重影点在另一投影面上的投影，坐标值大的点投影可见，反之不可见，不可见点的投影加括号表示。,2.

9、3 直线的投影,两点确定一条直线，将两点的同名投影用直线连接，就得到直线的同名投影。,直线与投影面的相对位置,一、直线的投影特性,直线垂直于投影面 投影重合为一点 积聚性,直线平行于投影面 投影反映线段实长 ab=AB,直线倾斜于投影面 投影比空间线段短 ab=ABcos,直线在三个投影面中的投影特性,投影面平行线,投影面垂直线,正平线（平行于面）,侧平线（平行于面）,水平线（平行于面）,正垂线（垂直于面）,侧垂线（垂直于面）,铅垂线（垂直于面）,一般位置直线,统称特殊位置直线,1、投影面平行线,水平线,正平线,侧平线, 在其平行的那个投影面上的投影反映实长， 并反映直线与另两投影面的倾角。,

10、 另两个投影面上的投影平行于相应的投影轴。,水平线,侧平线,正平线,投 影 特 性：,与H面的夹角: 与V面的角: 与W面的夹角: ,实长,实长,实长,2、 投影面垂直线,铅垂线,正垂线,侧垂线,反映线段实长。且垂直 于相应的投影轴。,铅垂线,正垂线,侧垂线, 另外两个投影，, 在其垂直的投影面上，,投影有积聚性。,投影特性:,二、一般位置线段的实长 及其与投影面的夹角,投影特性：,三个投影都缩短。即: 都不反映空间线段的实长及与三个投影面夹角的实大，且与三根投影轴都倾斜。,1）求直线的实长及对水平投影面的夹角角,|zA-zB|,2）求直线的实长及对正面投影面的夹角 角,|YA-YB|,|YA

11、-YB|,3）求直线的实长及对侧面投影面的夹角 角,例题1 已知 线段的实长AB，求它的水平投影。,三、直线与点的相对位置,1、直线上的点, 若点在直线上, 则点的投影必在直线的同名投影上。并将线段的同名投影分割成与空间相同的比例。即：,若点的投影有一个不在直线的同名投影上， 则该点必不在此直线上。,点在直线上的判别方法：,AC/CB=ac/cb= ac / cb,A,B,C,V,H,b,c,c,b,a,a,定比定理,直线上的点具有两个特性： 1 从属性 若点在直线上，则点的各个投影必在直线的各同面投影上。利用这一特性可以在直线上找点，或判断已知点是否在直线上。 2 定比性 属于线段上的点分割

12、线段之比等于其投影之比。即 A C: C B = a c : c b= ac : cb = ac : c b,点C不在直线AB上,例1：判断点C是否在线段AB上。,点C在直线AB上,例2：判断点K是否在线段AB上。,a,b,因k不在a b上， 故点K不在AB上。,应用定比定理,a,b,k,a,b,k,例题3 已知点C 在线段AB上，求点C 的正面投影。,例题4 已知线段AB的投影，试定出属于线段AB的点C的投影， 使BC 的实长等于已知长度L。,AB,zA-zB,ab,2、直线的迹点,定义：直线与投影面的交点称为该直线的迹点。它是 属于直线上的特殊点。,m,m,M,N,n,n,当直线与投影面平

13、行时，则直线在该投影面上无 迹点。因此，在三投影面体系中投影面平行线只有两 个迹点，投影面垂直线只有一个迹点。,四、两直线的相对位置,平行,相交,交叉,垂直相交,空间两直线的相对位置分为： 平行、相交、交叉。, 两直线平行,投影特性：,空间两直线平行，则其各同名投影必相互平行，反之亦然。,a,b,c,d,c,a,b,d,例1：判断图中两条直线是否平行。,对于一般位置直线，只要有两个同名投影互相平行，空间两直线就平行。,AB/CD,b,d,c,a,c,b,a,d,d,b,a,c,对于特殊位置直线，只有两个同名投影互相平行，空间直线不一定平行。,求出侧面投影后可知：,AB与CD不平行。,例2：判断

14、图中两条直线是否平行。,求出侧面投影, 两直线相交,判别方法：,若空间两直线相交，则其同名投影必相交，且交点的投影必符合空间一点的投影规律。,交点是两直线的共有点,例：过C点作水平线CD与AB相交。,先作正面投影,1(2),3(4 ), 两直线交叉,投影特性：, 同名投影可能相交，但 “交点”不符合空间一个点的投影规律。, “交点”是两直线上的一 对重影点的投影，用其可帮助判断两直线的空间位置。,、是面的重影点，、是H面的重影点。,为什么？,两直线相交吗？,例题 判断两直线的相对位置,1d,1c,例题 判断两直线的相对位置,判断两直线重影点的可见性,判断重影点的可见性时，需要看重影点在另一投影

15、面上的投影，坐标值大的点投影可见，反之不可见，不可见点的投影加括号表示。,例题 判断两直线重影点的可见性,4、两直线垂直相交（或垂直交叉）,直角的投影特性：,若直角有一边平行于投影面，则它在该投影面上的投影仍为直角。,设 直角边BC/H面 因 BCAB, 同时BCBb 所以 BCABba平面,直线在H面上的投影互相垂直,即 abc为直角,因此 bcab,故 bc ABba平面,又因 BCbc,证明：,AB垂直于AC,且AB平行于H面,则有ab ac,交叉垂直的两直线的投影,a,b,c,a,b,c,例：过C点作直线与AB垂直相交。,e,e,e,e,c,c,两直线交叉,M0,X,X,X,返回,例

16、以最短线KM连接AB，确定M点，并求出KM实长,例题 过点E 作线段AB、CD 的公垂线EF。,例题 作三角形ABC，ABC为直角，使BC在MN上，且BCAB =23。,小 结,点与直线的投影特性，尤其是特殊位置 直线的投影特性。 点与直线及两直线的相对位置的判断方 法及投影特性。 定比定理。 直角定理，即两直线垂直时的投影特性。,重点掌握：,一、各种位置直线的投影特性, 一般位置直线,三个投影与各投影轴都倾斜。, 投影面平行线,在其平行的投影面上的投影反映线段实长及与相应投影面的夹角。另两个投影平行于相应的投影轴。, 投影面垂直线,在其垂直的投影面上的投影积聚为一点。另两个投影反映实长且垂直于相应的投影轴。,二、直线上的点, 点的投影在直线的同名投影上。, 点分线段成定比，点的投影