高观点下的初等数学选讲.ppt

1、福建师范大学数学与计算机科学学院 陈清华 Email： 网 址：,2,一、矩阵代数（从代数的角度看变换）,1、定义 2、低阶矩阵 3、零矩阵、单位矩阵与纯量矩阵（数量阵）,3,一、矩阵代数（从代数的角度看变换）,4、矩阵运算 （1）加法（减法） （2）乘法（除法？未必都有意义？何时有意义？类似整数除法） 注：矩阵乘法的几何意义：变换的合成！ （3）数乘“。”（这不同于数与行列式的乘法） （4）转置（共轭转置）,4,一、矩阵代数（从代数的角度看变换）,5、数域F的n*n阶矩阵（即n阶方阵，关于以上定义的加法、乘法、数乘构成数域F上的一个n2维非交换，有零因子的代数，即运算律！） 6、可逆矩阵与矩

2、阵求逆 （1）定义： （2）可逆阵的判定: （3）基本性质,5,一、矩阵代数（从代数的角度看变换）,（4）可逆阵求逆法 （i）初等变换法 （ii）公式法 （iii）根据变换的几何意义求逆矩阵 （iv）特别地n=2时 7、矩阵的特征值、特征向量与特征多项式,6,二、线性变换（从几何角度看变换）,1、向量空间（线性空间）定义回顾 2、低维向量空间 3、基与维数 4、线性变换的定义 5、线性变换与矩阵的一一对应关系,7,二、线性变换（从几何角度看变换）,6、可逆线性变换的性质 （1）将直线变成直线 （2）将线段变成线段 （3）将平行四边形变成平行四边形,8,三、初等数学中常见的线性变换及对应的矩阵,

3、1、旋转变换 设平面上建立了直角坐标系，所有的点绕原点沿着逆时间方向旋转同一个角度，则这个变换是线性变换，求这个线性变换及对应的矩阵 2、关于原点的中心对称变换是特殊的旋转变换 3、恒等变换是特殊的旋转变换,9,三、初等数学中常见的线性变换及对应的矩阵,4、反射变换 证明关于直线Ax+By=0的反射变换是线性变换，试求出该变换对应的矩阵，它是可逆矩阵吗？,10,三、初等数学中常见的线性变换及对应的矩阵,例：平面上建立了直角坐标系，直线l1,l2绕原点O，倾斜角分别是，设A,B分别是表示直线l1,l2的反射变换，求 （1） A,B复合变换BA的矩阵 （2） BA的复合AB的矩阵 （3）根据矩阵说

4、明BA,AB是什么变换？这两个变换是否相同。,11,5、位似变换 6、伸压变换 7、投影变换 注：平面上的变换T有逆变换，必须满足两个条件： （1）平面上不同的点被T变到不同的点 （2） T将平面变到整个平面。 （由此可知：投影变换不是可逆变换？平面变到一条直线）,三、初等数学中常见的线性变换及对应的矩阵,12,8、根据变换的几何意义求矩阵的逆 思考：保持长度不变（内积不变，距离不变）的线性变换是什么变换？,三、初等数学中常见的线性变换及对应的矩阵,13,1、定理 2、推论 3、定理 例1：求下面图形的面积 （1）平行四边形OABC，其中A(1,1),B(-2,1) （2）三角形OAB，其中A(1,1),B(-2,1) （3）平面四边形ABCD，其中A(1,1),B(2,0),C(3,2),四、矩阵（变换）思想在有关面积求解中的应用,14,（4）已知矩形OBCD的顶点A(t,0),B(0,k)， 矩阵 T 代表的变换个将矩形OABC变到图形OABC ，求变换后的图形OABC与变换前的图形OABC的面积比。,四、矩阵（变换）思想在有关面积求解中的应用,15,4、定理：线性变量将平面上所有的图形的面积放大同一个倍数，这个倍数就是变换行列式的绝对值。 例2、求椭圆x2/a2+ y2/b2 =1（其中ab0）的内接菱形的面积的最大值，以及何时取得最大值。 例