控制系统仿真_薛定宇第五章 线性控制系统的计算机辅助分析

1、国家级精品课程控制系统仿真与CAD第五章 线性控制系统的计算机辅助分析,东北大学信息学院 薛定宇,本章主要内容,线性系统定性分析 线性系统时域响应解析解法 线性系统的数字仿真分析 根轨迹分析 线性系统频域分析 多变量系统的频域分析,系统的分析方法,充分利用计算机对线性系统进行分析，在统一的框架下分析各种线性系统的性质 更新系统分析的观念 求解传统方法难以求解的问题 离散系统稳定性如何分析？ Nyquist图、Nichols图没有频率信息，如何弥补？ 高阶系统的根轨迹如何绘制？ 多变量系统如何进行频域分析？,5.1 线性系统性质分析,主要内容 线性系统稳定性分析 线性反馈系统内部稳定性分析 线性

2、系统的相似变换 线性系统可控性分析 线性系统可观测性分析 Kalman 分解 系统状态方程的标准型 系统的范数测度及求解,5.1.1 线性系统的稳定性分析,给定线性系统模型，如何分析稳定性？ 单位负反馈闭环系统 由控制理论可知，用Routh 表格可以判定该系统稳定性。 Edward John Routh (1831-1907) 历史局限性,状态方程系统的稳定性,连续线性状态方程 解析阶 稳定性： 矩阵的特征根均有负实部,离散系统的稳定性,离散系统状态方程 离散系统时域响应解析阶 稳定性判定：所有特征根均在单位圆内,Routh 判据的历史局限性,Routh 判据提出时，没有求多项式根的方法 现在

3、求解矩阵特征根、求解多项式方程的根轻而易举，无需间接方法 Routh 判据只能得出是否稳定，进一步信息得不出来，如系统是否振荡 离散系统无法由 Routh 方法直接判定，得借助于 Jury 判据，更复杂 稳定性分析方法不统一,基于 MATLAB 的稳定性判定方法,直接判定 状态方程模型、传递函数模型等 由 eig(G) 可以求出所有特征根 离散系统：abs(eig(G) isstable(G) 也可以用于系统的稳定性判定 图解判定法 连续系统：pzmap(G) 离散系统：pzmap(G)，同时画出单位圆,例5-1 高阶系统稳定性判定 直接分析方法 零极点模型,例5-2 高阶离散单位负反馈系统模

4、型 MATLAB 求解,5.1.2 线性反馈系统的内部稳定性,输入、输出稳定是不够的，因为若内部信号可能过大，对系统作硬件破坏 应该引入内部稳定性概念，保证内部信号也是稳定的。,由给定稳定输入 到内部信号 都稳定的系统称为内部稳定系统 传递函数矩阵 其中 逐一判定每个子传递函数的稳定性很烦琐 内部稳定性定理,内部稳定性定理,闭环系统内部稳定的充要条件为 没有不稳定零点 没有不稳定零极点对消 第一个条件等效于输入输出稳定性 判定第2条件即可 可以编写MATLAB函数判定内部稳定性,判定的 MATLAB 函数 内部稳定返回0，内部不稳定但输入输出稳定返回1，否则返回2,5.1.3 线性系统的线性相

5、似变换,系统的状态方程表示称为系统实现 不同状态选择下，状态方程不唯一 相似变换 非奇异矩阵 状态变换 新状态方程模型,且,状态变换公式 MATLAB 直接求解方法 也可以根据上面公式进行变换,例5-3 已知系统和转换矩阵 MATLAB 求解,变换结果 可见，相似变换能改变系统的结构 引入相似变换矩阵，可以将已知系统转换成其他的形式,4.1.4 线性系统的可控性分析,可控性定义 假设系统由状态方程 给出，对任意的初始时刻 ，如果状态中任一状态 可以从初始状态 处，由有界的输入信号 的驱动下，在有限时间 内能够到达任意预先指定的状态 ，则称此状态是可控的。 如果系统中所有的状态都是可控的，则称该

6、系统为完全可控的系统。 系统的可控性就是指系统内部的状态是不是可以由外部输出信号控制的性质,线性系统的可控性判定,可控性判定矩阵 若矩阵 为满秩矩阵，则系统完全可控 基于 MATLAB 的判定方法 构造可控性判定矩阵,例5-4 离散状态方程的可控性 MATLAB 求解 判定矩阵 连续、离散,由 Gram 矩阵判定可控性,引入可控 Gram 矩阵 该矩阵满足 Lyapunov 方程 MATLAB 求解 矩阵构造,例5-5 求 Gram 矩阵 MATLAB 命令 Gram 矩阵,可控性阶梯分解,对于不完全可控的系统阶梯分解 阶梯标准型 MATLAB 函数调用 若原系统状态方程完全可控，则不必分解,

7、例5-6 不完全可控系统,4.1.5 线性系统的可观测性分析,可观测性定义 假设系统由状态方程 给出，对任意的初始时刻 ，如果状态空间中任一状态 在任意有限时刻 的状态 可以由输出信号在这一时间区间内 的值精确地确定出来，则称此状态是可观测的。 如果系统中所有的状态都是可观测的，则称该系统为完全可观测的系统。 系统的可观测性就是指系统内部的状态是不是可以由系统输出信号重建起来的性质,可观测性判定,判定矩阵 等同于 系统的可控性判定 对偶系统： Gram 矩阵 MATLAB 求解,5.1.6 Kalman 规范分解,Kalman 规范分解,4个子空间 既不可控又不可观测子空间 可控但不可观测子空

8、间 不可控但可观测子空间 可控且可观测子空间 示意图,5.1.7 系统状态方程标准型的MATLAB 求解,常用标准型 单变量系统的标准型 MATLAB 默认的标准型 可控标准型实现 可观测标准型实现 和 Jordan 标准型实现 多变量系统 Luenberger 标准型 侧重点：如何用 MATLAB 直接获取标准型,单变量系统的标准型,传递函数的一般形式 处理后的传递函数标准型 其中 由前面给出的传递函数标准型可以直接写出系统的可控和可观测标准型,传递函数一般形式 可控标准型,传递函数一般形式 可观测标准型 可控标准型和可观测标准型对偶 可以用转置表示对偶,可控可观测标准型转换,Jordan

9、标准型,MATLAB 变换,多变量系统的 Leunberger 标准型,由可控性判定矩阵 构造矩阵,得出 Leunberger 变换矩阵 编写 leunberger.m 函数,MATLAB 函数清单,标准型的变换方法总结,可控标准型 可观测标准型 Jordan 标准型 Leunberger 标准型,例5-7 求解可观测标准型 标准型,例5-8 已知模型，求Luenberger标准型 MATLAB处理,5.1.8 系统的范数测度及求解,系统也有范数：范数即测度 范数 范数 范数是系统频域响应的峰值,离散系统的范数定义 范数的 MATLAB 求解,例5-9 已知离散系统模型,5-1 系统性质分析小

10、结,介绍了系统定性、定量分析的方法 统一框架下分析系统的稳定性直接方法，并介绍了内部稳定性的判定，eig/pzmap/isstable 线性系统的相似变换方法 ss2ss 系统的可控性、可观测性分析及标准型 rank 系统的Kalman分解 系统的范数计算 norm 有些内容理论上较深，如果不能理解，知道如何用MATLAB求解就足够了,5.2 线性系统时域响应解析解法,给线性系统一个激励信号，输出是什么？ 有两大类方法 解析解方法 求解微分方程、差分方程解析解 数值解方法 主要内容 基于状态方程的解析解方法 基于传递函数的解析解方法 二阶系统的解析解方法,5.2.1 直接积分方法,状态方程的解

11、析解 直接积分语句 得到结果后有必要用simple()函数化简结果 若只需状态变量，则不用乘C,例5-10 系统的状态方程为 状态变量初值 输入信号,5.2.2 基于状态方程的解析解方法,状态方程模型 解析解 求解难点 想法：如果能用某种方法消去积分项最好,状态增广方法,消除B 矩阵，变成自治系统 增广状态方程 自治系统 可以直接求解析解,一般输入信号的系统增广,一般输入信号模型 引入增广状态变量,增广状态方程模型 其中 解析解,MATLAB 实现函数,调用格式 信号描述,例5-11 连续系统模型 初值 输入信号 求解析解 输入信号的描述,系统增广 增广模型,解析解求解 解析解求解结果 稳定性

12、,5.2.3 基于Laplace、z 变换的方法求解,连续系统的解析解法 输入信号的 Laplace 变换 U(s) 输出信号的 Laplace 变换 调用MATLAB的 laplace() 和 ilaplace() 函数可以直接求出系统的解析解,例5-12 输入信号为阶跃信号 输出信号计算 直接求解 直接求解1：,离散系统的解析解方法,已知离散传递函数 G(z) 输入信号的 z 变换为 U(z)，ztrans() 函数 计算出输出信号 Y(z)=G(z)U(z) z 反变换求解解析解，iztrans() 函数 例5-13 例5-14,时间延迟系统的解析解法,连续系统模型 先求出 G(s) 在

13、给定输入下的解析解 Y 用 替换得出的 t Heaviside函数的使用 离散系统模型 先求出 H(z) 在给定输入下的解析解 Y 用 替换 n,例5-15 传递函数 阶跃响应求取 严格的数学描述， Heaviside函数,例5-16 由前面例子的结果可以直接写出 不宜直接求解，结果可读性不好,5.2.4 二阶系统的阶跃响应及 阶跃响应指标,二阶系统模型 闭环模型 记 则,阶跃响应的解析解,无阻尼振荡 欠阻尼振荡 临界阻尼振荡 过阻尼振荡,二阶系统阶跃响应曲线,利用图形绘制功能，从新角度研究同样的问题,三维曲面绘制,阶跃响应指标,超调量 稳态值 上升时间 调节时间 好的伺服控制系统，应该具有稳

14、态误差小或没有稳态误差、超调量小或没有超调量、上升时间短、调节时间短等性能,5-2 线性系统的解析解方法小结,介绍了多种求解方法 状态方程模型 直接积分方法： int、函数、subs 函数、expm函数 状态增广方法：ss_augment、expm 函数 传递函数模型 连续系统可以通过 laplace 和 ilaplace函数求解 离散系统可以通过 ztrans 和 iztrans 函数求解 延迟函数的求解 subs 函数、heaviside 函数 二阶系统的解析解方法：几个指标,5.3 线性系统的数字仿真分析,线性系统的解析解可以求解的条件 4 阶以上的系统需要求解 4 阶以上的多项式方程，

15、根据 Abel 定理，无解析解。 解析解和数值解结合 实际应用需要数值解，需要阶跃响应曲线 主要内容 线性系统的阶跃响应与脉冲响应 任意输入下系统的响应 非零初始条件下的时域响应,5.3.1 线性系统的阶跃响应与脉冲响应,阶跃响应曲线绘制函数 多系统曲线绘制,例5-17 延迟系统 MATLAB 语句 利用 MATLAB 提供的功能，可以从曲线上得到更多的信息，如超调量等 闭环阶跃响应,例5-18 离散化 采样周期 求解 得出的曲线可以比较,ZOH 变换 Tustin 变换，不同采样周期,例5-19 多变量系统，阶跃响应 MATLAB 求解语句：开环阶跃响应,系统耦合的概念 静态前置补偿矩阵 不

16、能直接乘法运算 Pade 近似可以得出近似的仿真结果,系统的脉冲响应曲线,MATLAB 下的 impulse( ) 函数与 step( ) 函数调用结构完全一致 MATLAB 求解 可以容易地研究系统的脉冲响应曲线,4.3.2 任意输入下系统的响应,可以利用 step( ) 和 impulse( ) 函数求解 输出信号计算 如 R(s) 已知，则可以直接求解 例5-20 斜坡响应,斜坡信号的 Laplace 变换为 系统的阶跃响应 系统的脉冲响应 MATLAB 求解 其他输入的响应可以由 lsim( ) 函数求取,例5-21 多变量系统 输入信号 MATLAB 求解,多变量系统的时域响应可以这

17、样求解 比较容易 理解曲线含义,5.3.3 非零初始条件下系统的时域响应,线性系统满足叠加原理 零初始条件问题 lsim 求解 非零初始条件、零输入系统的 initial 函数 将两个响应加起来即为所需 例5-20 例5-10 原题,输入信号 初始状态 initial 函数的调用 MATLAB 求解,5-3 线性系统的时域响应数值解小结,线性系统的阶跃响应与脉冲响应 阶跃响应 step 函数 脉冲响应 impulse 函数 可以处理任意的线性模型：连续、离散、多变量、单变量、延迟与内部延迟、传递函数、状态方程、零极点，均可以统一求解 可以同时绘制多个系统的响应，进行比较 线性系统任意输入的时域

18、响应：lsim 函数 非零初值下系统的响应 initial 函数,5.4 根轨迹分析,Walter Richard Evans (1920-1999) 单变量开环传递函数 G(s) 控制器增益为 K 单位负反馈 闭环系统特征方程 对 K 的不同取值，则可能绘制出每个特征 根变化的曲线，这样的曲线称为系统的根轨迹。 根轨迹用开环信息研究闭环特性,MATLAB 求解 该函数可以用于单变量不含有时间延迟的连续、离散系统的根轨迹绘制，也可以用于带有时间延迟的单变量离散系统的根轨迹绘制。,例5-23 开环系统 MATLAB 求解 如何求解临界增益？ 闭环系统稳定性如何变化,例5-24 根轨迹求解 求出阻

19、尼在 处的增益 临界增益处阶跃响应,例5-25 离散系统根轨迹 根轨迹绘制,例5-26 离散系统模型 MATLAB 求解 临界增益求取,带延迟的离散系统根轨迹,假设延迟为 6 步，则 可以求临界增益 延迟系统临界增益减小,例5-27 延迟状态方程 无延迟系统根轨迹,延迟系统用 Pade 近似处理 例5-28 正反馈系统 MATLAB 求解,延迟系统的近似根轨迹,例5-29 选择不同的Pade近似阶次绘制根轨迹 得出不同近似阶次下的临界增益 如果值差不多就可以得出近似的临界增益,5-4 系统根轨迹小结,根轨迹的概念 临界稳定增益 全极点模型的近似比例控制器设计 根轨迹函数能处理的问题 单变量系统

20、模型 连续无延迟的精确根轨迹 离散系统的根轨迹（可含有延迟） 延迟模型的近似根轨迹、近似临界增益 正反馈系统的根轨迹,5.5 线性系统频域分析,频域分析 Bell 实验室，Nyquist 1932，反馈放大器稳定性 Bode、Nichols 提出的新图形方法 主要内容 单变量系统的频域分析 利用频率特性分析系统的稳定性 系统的幅值裕度和相位裕度 多变量系统的频域分析,5.5.1 单变量系统的频域分析,用 取代 s，则 为复数增益 三种表示方法 实部和虚部 实部与虚部关系曲线即为 Nyquist 图 Nyquist 图的缺陷：无对应频率信息 幅值与相位 横轴对数坐标 rad/s，纵轴分贝、度，B

21、ode 图 幅值与相位关系，Nichols 图，缺失频率信息,Harry Nyquist (18891976) Nyquist 曲线绘制 grid 命令绘制等 M 和等 N 圆,Hendrik Wade Bode (1905-1982) Bode 图绘制 Nichols 图由 nichols( ) 函数绘制 Nathaniel B. Nichols (19141997) 可以同样处理连续、离散、延迟、多变量系统，格式不变,例5-30 开环传递函数 Nyquist 曲线绘制 MATLAB 曲线特色 读取频率信息；频率范围,Bode 图绘制 快捷菜单读取特性 Nichols 图的绘制 用鼠标读取频

22、率信息 弥补了传统 Nichols 图的不同,其他频域响应曲线,例5-31 对下面模型离散化，T=0.1 MATLAB 求解 不同采样周期的离散模型 Bode 图,例5-32 离散系统 Nyquist 图与 Nichols 图,例5-33 延迟系统模型 MATLAB 求解 不直接绘图，由nyquist() 函数得到数据 选择密集的频率点，得出光滑曲线,5.5.2 利用频率特性分析系统的稳定性,Nyquist 定理：如果开环模型含有 m 个不稳定极点，则单位负反馈下单变量闭环系统稳定的充要条件是开环系统的 Nyquist 图逆时针围绕 (-1,j0) 点m 周。 Nyquist 定理可以进一步解

23、释为 若开环模型 G(s)H(s) 稳定， 则当且仅当G(s)H(s)不包围 (-1,j0) 点，闭环系统稳定的 若系统的开环模型G(s)H(s) 不稳定，且有p个不稳定极点，则当G(s)H(s) 的 Nyquist图逆时针包围 (-1,j0) 点 p次，闭环系统稳定。若 Nyquist 图逆时针包围(-1, j0) 点 q 次，则闭环系统有 p-q 个不稳定极点。,例5-34 Nyquist 图 闭环阶跃响应,5.5.3 系统的幅值裕度和相位裕度,幅值裕度和相位裕度,相位裕度,幅值裕度,稳定性裕度分析,如果系统的 Nyquist 图不与负实轴相交，则系统的幅值裕度为无穷大。 如果系统的Nyq

24、uist图与负实轴在(-1,j0)与(0,j0) 两个点之间有若干个交点，则系统的幅值裕度以离(-1, j0) 最近的点为准。 如果系统的 Nyquist 图不与单位圆相交，则系统的相位裕度为无穷大。 如果系统的Nyquist图在第三象限与单位圆有若干个交点，则系统的相位裕度以与离负实轴最近的为准。,如果系统的 Nyquist 图在第三象限与单位圆有若干个交点，则系统的相位裕度以与离负实轴最近的为准。 MATLAB 求解方法 如果某个裕度为无穷大，则返回 Inf，相应的频率值为 NaN。,例5-35 MATLAB 求解 幅值裕度为1.105，频率为0.96209rad/s，相位裕度为2.098

25、5度，剪切频率为0.92607rad/s 由于幅相裕度小，系统闭环响应有强振荡,5.6 多变量系统的频域分析,多变量系统的频域响应虽然能用nyquist等函数绘制，但意义不大，应该引入全新的频域响应概念 本节主要内容 逆 Nyquist 阵列及相关图形的绘制方法 Gershgorin定理与Gershgorin带 对角占优系统及判定 多变量系统的奇异值曲线绘制,例5-36 多变量系统的Nyquist图 用 nyquist 函数直接求解 得出的图没有太大意义,5.6.1 多变量系统分析概述,前面的 Nyquist 图对多变量系统分析没有太大帮助，所以一般不采用这样的方法 英国学派的频域方法 Sir

26、 Howard H Rosenbrock教授提出的逆 Nyquist 阵列的方法 (inverse Nyquist array，INA) 剑桥大学 Sir MacFarlane 教授特征轨迹方法 帝国理工 Sir D Q Mayne 教授序贯设计方法 Sheffield 大学的 Owens 教授的并矢算法,MFD 工具箱,英国剑桥大学的 Maciejowski 教授开发基于MATLAB 的工具箱 多变量系统的描述 还可以用传递函数描述，但需要已知公分母。所以过程烦琐。 可以求出系统的传递函数矩阵模型 后面将介绍更好的频域分析函数,例5-37 多变量模型 传递函数矩阵变换,得出公分母 分子矩阵

27、用这样的方法可以得出传递函数矩阵模型 可以得出 MFD 能使用的模型,5.6.2 对角优势分析,多变量频域分析的最重要内容是系统模型是不是解藕的模型，如果不是则需要变换 如何判定是否解耦？ 前向通路 Q(s)，反向通路 H(s) 闭环系统传递函数矩阵 回差矩阵,利用回差矩阵的逆矩阵性质，所以在频域分析中用逆的 Nyquist 矩阵分析更方便 Rosenbrock 教授采用逆 Nyquist 阵列方法 单变量系统，Nyquist 图是研究包围 (-1 , j0)点的周数来研究稳定性的 多变量回差矩阵，研究包围 (0 , j0) 点的情形 Gershgorin 定理可以分析对角占优性质，从而对系统

28、的藕合进行分析，可以用于多变量系统的分析,Gershgorin 定理,Semyon Aranovich Gershgorin (19011933) 复数矩阵 矩阵特征值满足 对角占优矩阵,换句话说，该矩阵的特征值位于一族以 为圆心，以不等式右面的表达式为半径的圆构成的并集内，而这些圆又称为 Gershgorin 圆。另外，上面两个不等式表示的关系分别称为列 Gershgorin 圆和行 Gershgorin 圆。 进一步减小半径,假设在 w 下，多变量系统前向回路 INA 为 对不同的 w 值绘制含有Gershgorin 带的INA 若对全部的 w 来说，各个对角元素的 Gershgorin带

29、均不包含原点，则称原系统为对角占优系统。 显而易见，对角优势矩阵的特征根不位于原点处，则单位反馈的闭环系统是稳定的。,MATLAB 求解,MFD 工具箱的频域响应数据 INA 绘制,MATLAB 函数编写,由该函数可以直接绘制多变量系统的 INA图，并分析其对角占优性质。 采用更小的半径，非传统半径。,例5-38 多变量模型 MATLAB 求解,前置补偿矩阵 MATLAB 求解 对角占优性质明显,其他频域响应数据生成方法,其他,全新的多变量频域分析函数,对复杂系统结构原 MFD 函数调用太麻烦 重新编写MATLAB函数处理多变量问题 利用内部延迟的结构 处理任意复杂度的结构 可以完全取代前面介

30、绍的 MFD 工具箱函数 先得出模型，再用这个函数直接获得频域响应,例5-39 多变量延迟系统 MATLAB 求解,前置增益矩阵的计算： 校正后特性绘制 简单的计算方法 Gershgorin 带的稳定性判定定理,多变量系统的稳定性,5.6.3 多变量系统的奇异值曲线绘制,单变量系统有 Bode 图，多变量系统能否采用这样的方法分析？ 传递函数矩阵在w点的奇异值 传递函数矩阵的奇异值可以作为轨迹绘制出来，称为奇异值曲线 奇异值曲线是多变量系统鲁棒控制中的重要指标，由 sigma( ) 函数绘制，该函数和bode()函数调用格式一致,例5-40 多变量延迟模型 MATLAB 绘制奇异值曲线,5.6 多变量系统频域分析小结,多变量系统的逆Nyquist阵列、Gershgorin带 MFD工具箱的模型表示：mv