函数的平均变化率(上课用)

1、函数的平均变化率,“突变”与“渐变”,美国康乃大学曾经做过一个有名的“青蛙试验”,90的水烫不死青蛙，不到70的水反而烫死了青蛙， 这是为什么呢？,试验人员把一只青蛙投入90的热水盆中，这只青蛙 遇到高温刺激，迅速做出反应，“嗖”的一声蹦出了水盆，结果安然无恙。 试验人员又把该青蛙投入30的冷水盆中,然后开始 慢慢加热，当水温还没有达到70时，这只青蛙就被烫死了。,变化有快有慢之分,有些变化不被人们所察觉,有些变化却让人感叹和惊讶!,北京市某年3月和4月某天日最高气温记载如下表所示：,实例分析1,问题1：从3月18日到4月18日和从4月18日到4月20日， 哪一段时间气温变化得更“大”？,问题

2、2：从3月18日到4月18日和从4月18日到4月20日， 哪一段时间气温变化得更“快”？,问题3：如何量化温度变化的“快”与“慢”？,(3月18日为第一天),实例分析1,温度随时间变化的图象如图所示,问题4：图中哪一段曲线更为“陡峭”？,甲和乙两人做生意，甲用5年时间挣到10万元， 乙用6个月时间挣到2万元，甲、 乙两人谁的经营成果更好？,乙的经营成果更好！,甲和乙两人做生意，甲挣了10万元，乙挣了2万元。你能否判断甲、 乙两人谁的经营成果更好？,实例分析2,如何用数学知识来反映山势的平缓与陡峭程度？,H,A,B,C,D,E,Xk,Xk+1,X0,X1,X2,y,O,例：如图，是一座山的剖面示

3、意图: A是登山者的出发点,H是山顶,登山路线用y=f(x)表示 ； 其中自变量x表示登山者的水平位置，函数值y表示登山者所 在高度。想想陡峭程度应怎样表示？,登山问题,x,选取平直山路AB放大研究 : 若,自变量的改变量,函数值的改变量,直线AB的斜率:,D1,X3,O,y,x,x0,x1,y0,y1,A(x0,y0),B(x1,y1),O,y,x,x2,x3,y2,y3,C(x2,y2),D1(x3,y3),直线AB的斜率:,直线CD1的斜率:,x,竖直位移与水平位移之比的绝对值越大，即高度的平均变化量越大，山坡越陡；反之，山坡越平缓。,现在摆在我们面前的问题是：山路是弯曲的，怎样用数量刻

4、画弯曲山路的陡峭程度呢？,一个很自然的想法是将弯曲的山路分成许多小段，每一小段的山坡可视为平直的。可以近似地刻画。（举例：地球表面与平面）(微分思想),也就是说，“线段”所在直线的斜率的绝对值越大，山坡越陡。,注意各小段的 是不尽相同的。但不管是哪一小段山坡，高度的平均变化都可以用起点、终点的纵坐标之差与横坐标之差的比值 来度量。由此我们引出函数平均变化率的概念。,平均变化率的概念：,一般地，已知函数y=f(x)，x0，x1是其定义域内不同的两点，记x=x1x0， y=y1y0=f(x1)f(x0)=f(x0+x)f(x0).,则当x0时，商 称作函数y=f(x)在区间x0，x0+x(或x0+

5、x，x0)的平均变化率。,2020/11/23,13,观察函数f(x)的图象 平均变化率 几何意义是什么?,O,A,B,x,y,Y=f(x),x0,x1,f(x1),f(x2),x1-x0=x,f(x1)-f(x0)=y,割线AB的斜率,思考：（1） x 、 y的符号是怎样的？ （2）该两变量应如何对应？ 理解： 2.若函数f (x)为常函数时， y=0； 3 对应性：若,例1求函数y=x2在区间x0，x0+x (或x0+x，x0)的平均变化率。,解：函数y=x2在区间x0，x0+x (或x0+x，x0)的平均变化率为,1、当 取定值, 取不同数值时, 该函数的平均变化率也不一样.,2、x0取

6、正值，并不断增大时，该函数的平均 变化率也不断地增大，曲线变得越来越陡峭。,思考:,一次函数y=kx+b在区间m，n上的平均变化率有什么特点？,求函数f(x)=2x1在区间3，1上 的平均变化率。,变题.求函数g(x)=2x在区间3，1上 的平均变化率。,感知.体会,练习：求函数 在 到 之间的平均变化率,例2已知函数f(x)=x2+x的图象上的一点A(1, 2)及临近一点B(1+x, 2+y), 则 ,3x,例3、某婴儿从出生到第12个月的体重变化如图所示， 试分别计算下列体重的平均变化率 （1）从出生到第3个月,解.从出生到第3个月,婴儿体重的平均变化率为,从第6个月到第12个月该婴儿体重

7、的平均变化率为,反思:两个不同的平均变化率的实际意义是什么？,(2) 第6个月到第12个月,数学应用,W,O,t,标准,A（1,20）,B（1,12）,C（8,5）,问题1：哪个企业的治污效果好一些？,问题2：在区间t0，t1上，哪一个企业的排污平均 变化率大一些？,对比与发现,曲线越陡峭，平均变化率越大，气温升高越快,陡 峭程 度,平均变化率 的绝对值,（越大）,（越小）,（越小）,（越大）,曲线越陡峭，平均变化率越小，企业治污效果越好,实际问题,t,o,路程,甲,乙,练习：（1）甲乙二人跑步路程与时间的关系如图(1)所示，问甲乙二人哪一个跑得快？,(1) (2) （2）甲乙二人百米赛路程与时间的关系如图(2)所示，问快到终点时甲乙二人谁跑得比较快？,t,y,o,甲,乙,练习题,1.设函数y=f(x)，当自变量x由x0改变到x0+x时，函数的改变量为（） Af(x0+x)B f(x0)+x Cf(x0 ) x Df(x0+x) f(x0),D,2. 一质点运动的方程为s=12t2，则在一段时间1，2内的平均速度为（） A