微积分C第3章习题

1、习3.12（2），求圆的面积为1时，面积变量相对于周长的变化率。解 此时是的函数 。于是对周长的变化率为 。当时，此时。5(2). 设，在点可导，求的取值范围。解 设。当时，是函数的间断点，此时函数不可导。只讨论。考虑左导数 ， 考虑右导数 ， 因此该函数当时在点可导，导数为0.6. 设。求使得在可导。解法1 因可导必连续，则 ，则。这样在处也连续。此时 ，。，。若存在，则应有。此时。解法2 同理可得。，则。，。若存在，则应有。此时。7. 设在点连续，且。（1）求，（2）问在点处是否可导。解 （1）由连续性可知 。若，则，与题设矛盾。必有，即。 （2），由导数定义可知在点处可导，。8. 设在点

2、连续，求在处的导数。解 由导数的定义注：不能，故。9. 设，。求 （1）， （2）， （3）解 （1）原极限（2）原极限 （3）原极限10. 设，求极限 。解 原极限 。习3.21. 3.求下列函数的导数（3）解 。这里用到导数公式。（8）解 此时。由公式，则 。用对数求导法 两边求导数 。则 习3.31.设可导，求下列函数的导数(3)解 （5）解 2. 求下列函数的导数（4）解 （5）解 。（6）解 。（7）解 。（8）解 （9）解法一 解法二 对数求导法 ，。（10）解 3. 设 （全解有误）（1）若在内可导，求的取值范围；（2）若在内连续可导（即连续），求的取值范围。解 （1）显然左导数

3、。右导数 ，只有在时才有极限值0. 则此时有导数。于是当时，处处可导，且。（2）显然在时连续（初等函数）。在处，。只有在时，这个极限存在且为0.4.已知与在点相切，求的值。（若两条曲线在点相交，且在这个交点处两条曲线的切线相同，则称两曲线在该点相切）解 在处两曲线切线的斜率分别为 ，。相切时应有。根据相切的定义，在处应有，则。于是。5. 设在上可导。证明（1）若是奇函数，则是偶函数；（2）若是偶函数，则是奇函数；（3）若是周期函数，则也是周期函数且周期不变。证 （1）若是奇函数，。左边求导数，右边求导数，于是，即。故是偶函数。（2）若是偶函数，。左边求导数，右边求导数，于是，即。故是奇函数。（

4、3）若以为周期，。左边求导数，右边求导数，于是。故以为周期。6. 设的反函数为，利用复合函数求导数的法则证明：若可导且，则。解 此时，两边对求导可得，于是，即。7. 设是由方程所确定的隐函数，求及该函数在点处的法线方程。解 方程两端对求导 。则 ，因此 。该函数所确定的曲线在原点的切线斜率为 。因此法线在该点的斜率为。由点斜式可知法线的方程为。8. 设是由方程所确定的隐函数。（1）求曲线与直线的交点坐标；（2）求曲线在交点处的切线方程。解 （1）解方程组。第二个方程代入第一个方程。可得出交点。（2）隐函数求导 ，将交点坐标代入 ，则。切线为，。习3.44. 求下列函数的微分（4），可微解法1

5、。解法2. 因，则 。6. 给定方程，求以及。解 9. 找原函数（1） 解 。因此。习3.51. 设，求使得的点。解 ，。令，因，则只有。使得的点为。2. 设，求出使得的的取值范围。解 函数的定义域是。，。令，则。4. 设是由方程所确定的隐函数，求及。解 在方程两端求导数 ，可得 。于是 。再求二阶导数，注意都是的函数，。2. 设，求使得的的取值范围。解 。，。当时，此时。4. 设是由所确定的隐函数，求和。解 方程两端对求导 ，解得。则。再求导 。则 。省略。5. 设二阶可导，。求参数方程 的导数。解 8. 证明。解法一 用数学归纳法。时，结论成立。假定结论对于成立，即。当时，则 由属性归纳法

6、原理可知结论成立。解法二 用高阶导数的莱布尼兹公式 。令，则。令，则。习3.61. 是某商品的需求价格函数为，其中和是正的常数。证明需求价格弹性。解 ，则。2.假设某产品的成本关于产量的弹性定义为。证明，其中分别表示边际成本和平均成本。证 。3. 将旅店的租房价格从每天75元提高到每天80元，会使出租量从每天100套降到每天90套。（1）求房租为每天75元时的需求价格弹性。（2）求房租为每天75元和80元时旅店的总收益。（3）问该旅店是否应该提价。解（1）由弹性的定义（P81）。因此，这里，。则。（2）收益，。（3）不应该提价。习题三1. 设在的某去心邻域内满足（1）（2）存在常数，使得（3）

7、证明 若在可导，则 。并求极限 证 因在可导，则在该点必可微。由可微的定义可知，两式相减可得，只需证明时 即可。因 则 都有界。 显然 ，于是 。故 。2. 设，在点可导，且。若函数在的某一邻域内满足。证明：在点可导并且。证 此时必有。因此如果，则。当时，由夹逼准则可得到在点右导数存在并且如果，则。当时，由夹逼准则可得到在点左导数存在并且。因此在点可导并且。3. 设的定义域为，且它们在点可导，证明 在点可导的充要条件是。证 由于在点可导，则它们在点必连续。必要性。若在点可导，则函数在该点必连续，从而左连续且右连续即 。此时在点的左右导数都存在且相等。，。因此。充分性。若 。由上面的推导反推回去可知可导。4. 设，求。解 是一个次多项式，