高等数学第八章多元函数积分学PPT课件

1、.,1,第八章 多元函数积分学,一 二重积分的概念及简单性质 二 二重积分的计算,.,2,第一节 二重积分的概念与性质,一、问题的提出 二、二重积分的概念 三、二重积分的性质 四、小结,.,3,特点：平顶.,柱体体积 = ？,特点：曲顶.,曲顶柱体的体积,一、问题的提出,曲顶柱体,.,4,回忆定积分.,设一元函数 y = f (x) 在a, b可积.,则,如图,其中 ixi, xi+1, xi = xi+1 xi , 表小区间xi, xi+1的长, f ( i) xi表示小矩形的面积.,.,5,求曲顶柱体的体积采用 “分割、求和、取极 限”的方法,.,6,求曲顶柱体的体积采用 “分割、求和、取

2、极 限”的方法,.,7,求曲顶柱体的体积采用 “分割、求和、取极 限”的方法,.,8,求曲顶柱体的体积采用 “分割、求和、取极 限”的方法,.,9,求曲顶柱体的体积采用 “分割、求和、取极 限”的方法,设有一立体. 其底面是 xy 面上的区域D, 其侧面为母线平行于 z 轴的柱面, 其顶是曲面 z= f (x, y)0, 连续. 称为曲顶柱体.,若立体的顶是平行于 xy 面的平面. 则平顶柱体的体积 = 底面积高.,如图,一、例,1.求曲顶柱体的体积V.,(i)用曲线将D分成 n 个小区域 D1, D2, Dn ,每个小区域Di 都对应着一个小曲顶柱体.,如图,z = f (x,y),z =

3、f (x,y),Di,Di,(ii)由于Di很小, z = f (x,y)连续, 小曲顶柱体可近似看作小平顶柱体.,( i , i) Di .,小平顶柱体的高 = f ( i , i).,若记 i = Di的面积.,则小平顶柱体的体积 = f ( i , i) i 小曲顶柱体体积,(iii)因此, 大曲顶柱体的体积,分割得越细, 则右端的近似值越接近于精确值V, 若分割得无限细, 则右端近似值会无限接近于精确值V.,若,存在,则,(iv),其中Di的直径是指Di中相距最远的两点的距离.,其中 ( i , i) Di , i = Di 的面积.,如图,.,15,求曲顶柱体体积的方法：,分割、取近

4、似、 求和、取极限。,.,16,步骤如下：,1. 分割,2. 取近似,3. 求和,4. 取极限,.,17,求平面薄片的质量,将薄片分割成若干小块，,取典型小块，将其近似 看作均匀薄片，,所有小块质量之和 近似等于薄片总质量,.,18,二、二重积分的概念,.,19,积分区域,被积函数,积分变量,- 被积表达式,面积元素,.,20,对二重积分定义的说明：,.,21,二重积分的几何意义,当被积函数大于零时，二重积分是柱体的体积,当被积函数小于零时，二重积分是柱体的体积的负值,.,22,在直角坐标系下用平行于坐 标轴的直线网来划分区域D，,故二重积分可写为,则面积元素为,.,23,性质,当 k 为常数

5、时，,性质,（二重积分与定积分有类似的性质）,三、二重积分的性质,.,24,性质,对区域具有可加性,性质,若 为D的面积，,性质,若在D上,特殊地,则有,.,25,性质,性质,（二重积分中值定理）,（二重积分估值不等式）,.,26,解,因此，,由性质6知,即,.,27,二重积分的定义,二重积分的性质,二重积分的几何意义,（曲顶柱体的体积）,（积分和式的极限）,四、小结,.,28,思考题,将二重积分定义与定积分定义进行比较，找出 它们的相同之处与不同之处.,.,29,定积分与二重积分相同之处：都表示某种和式 的极限值，且此值只与被积函数及 积分区域有关 不同的是: 定积分的积分区域为区间，被积函

6、 数为定义在区间上的一元函数; 二重积分的积分区域为平面区域， 被积函数为定义在平面区域上的二 元函数,思考题解答,.,30,第二节 二重积分的计算法（1）,利用直角坐标计算二重积分,.,31,先讨论积分区域为：,其中函数 、 在区间 上连续.,利用直角坐标系计算二重积分,X型,X 型区域的特点： 穿过区域且平行于 y 轴的直线与区域 边界相交不多于 两个交点.,.,32,.,33,积分区域为：,X型,一般地，,- 先对 y 积分，后对 x 积分的二次积分,.,34,如果积分区域为：,Y型,- 先对 x 积分，后对 y 积分的二次积分,.,35,1. 若D既是 x型区域, 又是 y型区域.,比

7、如,当用某次序算二重积分不好算时, 可改换积分次序, 可能好算.,.,36,2. （1）如果积分区域是矩形,（2）如果被积函数 f (x, y) = f1(x)f2(y),且积分区域是矩 形区域，,则,.,37,设D：a x b, c y d. f (x, y) = f1(x)f2(y)可积，,则,.,38,比如，,.,39,若区域如图，,在分割后的三个区域上分别使 用积分公式,则必须分割.,3.,.,40,4.设D: y1(x) y y2(x), a x b, 为 x 型区域.,其中y2(x)为分段函数.,如图,则,由于y2(x)是分段函数, 里层积分上限无法确定用哪一个表达式.,故应将D分

8、成D1, D2, 分块积分.,.,41,解 1：,先画出积分区域 D 。,D 是 Y型。,于是，,.,42,解 2：,于是，,.,43,解,先画出积分区域 D 。,D 是 X型。,于是，,.,44,于是，,.,45,例3,.,46,解,积分区域为,于是，,.,47,解,设,则,.,48,于是，,设,.,49,解,.,50,.,51,解,.,52,例9. 求,解：由于,是“积不出”的，怎么办？,要改换积分次序.,先画积分区域D的图形.,由积分表达式知，D： y x 1, 0 y 1,画曲线 x=y 和 x=1，直线y=0, y=1.,如图：,故 原式 =,.,53,由例8，例9知，选择适当的积分

9、顺序，有时能使积分变得简便，易行。在作题时，当按某一顺序积分很难，或不可行时，可改换积分顺序试一试。,.,54,1.,.,55,.,56,法2. 先对 x 积分.,.,57,.,58,2.,.,59,所以, 原式 =,问, 若先对 y 积分, 情形怎样?,.,60,3. 改换,.,61,第二节 二重积分的计算（2）,一、利用极坐标系计算二重积分 二、小结,.,62,一、利用极坐标系计算二重积分,面积元素,.,63,二重积分化为二次积分的公式（）,区域特征如图,.,64,区域特征如图,.,65,二重积分化为二次积分的公式（）,区域特征如图,.,66,极坐标系下区域的面积,二重积分化为二次积分的公

10、式（）,区域特征如图,.,67,例1 将,化为在极坐标系下的二次积分。,.,68,1）,解,在极坐标系中，闭区域,D 可表示为,2）,在极坐标系中，闭区域,D 可表示为,.,69,2）,在极坐标系中，闭区域,D 可表示为,3）,在极坐标系中，闭区域,D 可表示为,.,70,3）,在极坐标系中，闭区域,D 可表示为,4）,在极坐标系中，闭区域,D 可表示为,.,71,4）,在极坐标系中，闭区域,D 可表示为,.,72,解,.,73,解,.,74,例4. 求,其中D：x2+y2 1,解：一般, 若D的表达式中含有x2+y2时，可考虑用极坐标积分。,令x=rcos, y=rsin, 则,x2+y2

11、1的极坐标方程为r = 1.,由(2),D*: 0 r 1, 0 2,.,75,另由几何意义：,.,76,解,.,77,.,78,.,79,.,80,二重积分在极坐标下的计算公式,二、小结,.,81,5 利用极坐标计算二重积分,.,82,D：由 所围成区域（第一象限部分）,.,83,.,84,.,85,.,86,第三节 二重积分的应用,.,87,一、立体的体积,二重积分的几何意义,当被积函数大于零时，二重积分是柱体的体积,.,88,例1 计算由曲面,及 xoy 面所围的立体,体积。,解,设立体在,第一卦限上 的体积为 V1。,由立体的对称性，所求立 体体积 V = 4V1 。,立体在第一卦限部分可以看 成是一个曲顶柱体，它的曲 顶为,.,89,立体在第一卦限部分可以看 成是一个曲顶柱体，它的曲 顶为,它的底为,于是，,.,90,所求立体的体积,.,91,例2 求两个圆柱面,所围,的立体在第一卦限部分的体积。,解,所求立体 可以看