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文档简介

1、.,1,5.6 线性空间的同构,教学目的： 1.理解线性空间同构的概念、性质及重要意义。 2.掌握有限维线性空间同构的充要条件。 教学重点：线性空间同构的定义及基本性质。 教学难点：线性空间同构的意义.,.,2,一、 线性空间同构的定义 1. 定义1 设 和 是数域 上的两个线性空间， 是 到 的一个映射，如果满足： （1） 是 到 的双射； （2） 有 ； （3） ， 有 . 则称 是 到 的同构映射. 如果 到 的同构映射 存在, 则称 与 同构, 记为 .,.,3,2.一个基本结论 定理5.6.1 数域 上任意 维线性空间都与 同构. 证明: 设 是一个 维线性空间, 取定 的一个基 ,

2、 , 关于基 的坐标为 . 令 显然 是 到 的一个双射.,.,4, , 设 , , 则 = = ; = . 从而 是 到 的同构映射, 因此 .,.,5,二、 同构映射的基本性质 定理5.6.2 设 是线性空间 到 的同构映射, 则: (1) ; (2) 有 ; (3) , , 有 ; (4) 中向量 线性相关的充要条件是 线性相关.,.,6,注: 设 是线性空间 到 的同构映射, (1) 是 的一个基的充要条件是 是 的一个基; (2) 的子空间在 之下的象集是 的子空间; (3) 的子空间在 之下的原象集是 的子空间; (4) 的逆映射 是 到 的同构映射; (5) 若 是线性空间 到 的同构映射, 则 是 到 的同构映射.,.,7,三、 同构关系的性质 线性空间的同构关系是等价关系, 即具有: 反身性: . 对称性: 若 , 则 . 传递性: 若 , , 则 . 四、线性空间的同构的一个充要条件 定理5.6.3 数域 上两个有限维线性空间同构的充要 条件是它们有相同的维数.,.,8,注: 在线性空间的抽象讨论中, 我们不考虑线性 空间的元素是什么,也不考虑其中运算是怎样定义 的,而只涉及线性空间在所定义的运算下的代数性 质.从这个观点看来, 同构的线性空间

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