量子力学微扰理论PPT课件

1、.,1,量子力学第五章 微扰理论,缪 灵 ,.,2,可解析求解模型,.,3,一、近似方法的出发点,近似方法通常是从简单问题的精确解（解析解）出发，来求解复杂问题的近似（解析）解。,二、近似解问题分为两类,1、体系 Hamilton 量不是时间的显函数定态问题,（1）定态微扰论；（2）变分法。,2、体系 Hamilton 量显含时间状态之间的跃迁问题,（1）与时间 t 有关的微扰理论；（2）常微扰。,.,4,1 非简并定态微扰理论,2 简并微扰理论及其应用,3 变分法与氦原子基态,.,5,平衡态附近的泰勒展开,.,6,1 非简并定态微扰理论,一、微扰体系的Schrdinger方程,其中H(0)

2、所描写的体系是可以精确求解的，其本征值En(0) ，本征矢 n(0) 。则：,.,7,当 H 0 时引入微扰，使体系能级发生移动，由 En(0) En ，状态由n(0)n 。,.,8,微扰体系的定态Schrdinger方程,为了明显表示出微扰的微小程度，将其写为：,其中是很小的实数，表征微扰程度的参量。,因为 En 、 n 都与微扰有关，可以把它们看成是的函数而将其展开成的幂级数：,其中En(0), En(1), 2 En(2), . 分别是能量的 0 级近似、1级近似和2级近似等。,而n(0) , n(1) , 2 n(2) , .分别是状态矢量 0 级近似、1级近似和2级近似等。,.,9,

3、乘开得：,代入Schrdinger方程得：,.,10,根据等式两边同幂次的系数应该相等:,整理后得：,体系的能量和态矢为,.,11,二、非简并定态的微扰近似,1、态矢和能量的一级近似,(1)能量一级修正En (1),左乘 n(0) |,利用本征基矢的正交归一性：,其中能量的一级近似等于微扰Hamilton 量在 0 级态矢中的平均值,.,12,二、非简并定态的微扰近似,左乘 m(0) |,（2）态矢的一级修正n(1),.,13,.,14,注意,（2）态矢的一级修正n(1),.,15,能量高阶近似,方程左乘态矢 n(0) |,.,16,低级微扰近似结果,.,17,三、微扰理论适用条件,.,18,

4、微扰适用条件表明：,（2）|En(0) Em(0)| 要大，即能级间距要宽。,例如：在库仑场中，体系能量（能级）与量子数n2成反比，即 En = - Z2 e2 /(2 2 n2 ) ( n = 1, 2, 3, .) 可见，n大时，能级间距变小，因此微扰理论不适用于计算高能级（n大）的修正，而只适用于计算低能级（n 小）的修正。,（1）H mn要小，即微扰矩阵元要小；,物理意义,.,19,表明微扰态矢n 可以看成是无微扰态矢m(0)的线性叠加。,（2）展开系数 Hmn /(En(0) - Em(0) 表明第m个态矢m(0)对第n 个态矢n 的贡献有多大。展开系数反比于扰动前状态间的能量间隔，

5、所以能量最接近的态影响最大。因此态矢一阶近似无须计算无限多项，只要算出最近邻的有限项即可。,（3）由En = En(0)+Hnn可知，扰动后体系能量是由扰动前第n态能量En(0)加上微扰Hamilton量 H在无微扰态n(0)中的平均值组成。该值可能是正或负，引起原来能级上移或下移。,（1）在一阶近似下：,讨论,.,20,例：已知某表象中Hamilton量的矩阵形式,（1）设c 1，应用微扰论求H本征值到二 级近似； （2）求H 的精确本征值； （3）在怎样条件下，上面二结果一致。,解：,（1）c 1，可取 0 级和微扰 Hamilton 量分别为：,.,21,H0 是对角矩阵，是H0在自身表

6、象中的形式。所以，0级近似的能量和态矢为：,E1(0) = 1 E2(0) = 3 E3(0) = - 2,由非简并微扰公式,能量一级修正：,.,22,能量二级修正为：,.,23,准确到二级近似的能量本征值为：,设 H 的本征值是 E，可得久期方程：,可得：,(3) 将准确解按 c ( 1)展开,微扰论二级近似结果，与精确解展开式，不计c4及以后高阶项的结果相同。,(2)精确解：,.,24,例：一电荷为 e 的线性谐振子，受恒定弱电场作用。电场沿 x 正向，用微扰法求体系的定态能量和波函数。,解：,（1）带电谐振子的Hamilton 量,将 Hamilton 量分成H0 + H两部分，在弱电场

7、下，上式最后一项很小，可看成微扰。,.,25,（2）写出 H0 的本征值和本征函数 E(0), n(0),（3）计算 En(1),积分等于0是因为被积函数为奇函数所致。,.,26,（4）计算能量二级近似En(2),欲计算能量二级修正，首先应计算 H mn 矩阵元。,利用线性谐振子本征函数的递推公式：,金蝉脱壳！,.,27,对谐振子有； En(0) - En-1(0) = , En(0) - En+1(0) = - ,.,28,（5）态矢量一级近似,对谐振子有； En(0) - En-1(0) = , En(0) - En+1(0) = - ,.,29,2. 电谐振子的精确解,实际上这个问题是可

8、以精确求解的，只要我们将体系Hamilton量作以下整理：,其中x = x e/(2 )，可见，体系仍是一个线性谐振子。它的每一个能级都比无电场时的线性谐振子的相应能级低 e22/(22) ，而平衡点向右移动了e/2 距离。,.,30,周世勋量子力学教程 P172，5.3,.,31,2 简并微扰理论及其应用,上节，我们研究了0级波函数为非简并情况下的微扰理论。那么，如果一微扰体系的0级近似为简并态，如何运用微扰理论对其分析得出各级近似呢？,一、简并定态微扰理论,.,32,简并本征态,本征值方程,共轭方程,.,33,这里En(0)是简并的，属于 H(0)的本征值 En(0) 有 k 个归一化本征

9、函数：| n1 , | n2 , ., | nk ; n |n =,那么，在k个本征函数中究竟应取哪一个作为微扰波函数的 0 级近似。所以在简并情况下，首先要解决的问题是如何选取 0 级近似波函数的问题，然后才是求能量和波函数的各级近似。,0 级近似波函数应从这k个| n 及其线性叠加中挑选，而它应满足上节按幂次分类得到的方程。,简并本征态,本征值方程,共轭方程,.,34,左乘 n | 得：,2、0级近似波函数和一级近似能级,系数 c 由 一级方程定出,.,35,上式是以展开系数c为未知数的齐次线性方程组，它有不全为零解的充要条件是系数行列式为零，即,这就是微扰算符H的久期方程，解此方程，可得

10、能量的一级修正En(1)的k个根：En(1), = 1, 2, ., k，体系能级 En = En(0) + En(1) 。若这k个根都不相等，那末一级微扰就可以将 k 度简并完全消除；若En(1)有几个重根，则表明简并只是部分消除，必须进一步考虑二级修正才有可能使能级完全分裂开来。,微扰算符的本征值方程,.,36,为了确定能量 En 所对应的0级近似波函数，可以把 En(1) 之值代入线性方程组从而解得一组c ( = 1,2,.,k)系数，将该组系数代回展开式就能够得到相应的 0 级近似波函数。,为了能表示出 c 是对应与第 个能量一级修正 En(1) 的一组系数，我们在其上加上角标 而改写

11、成 c 。这样一来，线性方程组就改写成：,.,37,例：一粒子Hamilton 量的矩阵形式为：H = H0 + H ，其中,求：能级的一级近似和波函数的0级近似。,解,H0 的本征值是三重简并的，这是一个简并微扰问题。,E(1)(E(1)2 - 2 = 0,(1) 能量一级近似 由久期方程|H - E(1) I| = 0 得：,实例,.,38,解得：E(1) = 0, ,E1(1) =- E2(1) = 0 E3(1) = +,能级一级近似：,简并完全消除,(2) 0 级近似波函数,将E1(1) = 代入方程，可得对应能级E1的0 级近似波函数1(0),归一化,.,39,归一化,将E2(1)

12、 = 0代入方程，可得对应能级E2的0 级近似波函数2(0),将E3(1) = 代入方程，可得对应能级E3的0 级近似波函数3(0),同理可得,.,40,1、Stark 效应,氢原子在外电场作用下产生谱线分裂的现象，称为 Stark 效应。,电子在氢原子中受到球对称库仑场作用，第n 个能级有 n2 度简并。加入外电场后，势场对称性受到破坏，能级发生分裂，简并部分被消除。Stark 效应可用简并的微扰理论予以解释。,2、外电场下氢原子 Hamilton 量,二、氢原子的一级 Stark 效应,.,41,3、 H0的本征值和本征函数,下面我们只讨论 n = 2 的情况，这时简并度 n2 = 4。,

13、取外电场沿 z 正向。通常外电场强度比原子内部电场强度小得多。例如，强电场107伏/米，而原子内部电场1011 伏/米，二者差4个量级。所以，可以把外电场的影响作为微扰处理。,.,42,条件： H中H(t)定态 H=H0+H, HH0 H0的本征态及本征谱已知 微扰的本质是逐步逼近 简并微扰的结果可以消除或部分消除简并对称破缺,.,43,3 变分法与氦原子基态,微扰法适用于：,如上述条件不适用，则不能用微扰法求解体系的运动状态。,本节，介绍一种新的求解微观体系运动状态的近似方法变分法。变分法主要用于求解微观体系的基态。,.,44,设体系的 Hamilton 量 H 的本征值由小到大顺序排列为：

14、,设H本征值是分立的，本征函数组成正交归一完备系，即,一、变分法原理,1、能量平均值,能级E0 , |1 ,|2 ,.,|n,.,.,45,量子力学变分法,.,46,基于上述基本原理，我们可以选取很多波函数|(1), |(2),., |(k),.为试探波函数，来计算能量平均值,其中最小的一个最接近基态能量 E0，即,如果选取的试探波函数接近基态波函数，则H的平均值就接近基态能量 E0 。这样，我们就找到了一个计算基态能量和波函数的近似方法变分法。,使用此方法求基态近似，最主要的问题，就是：,如何寻找试探波函数？,.,47,试探波函数的选取直接关系到计算结果。如何选取试探波函数没有固定可循的法则

15、，通常是根据物理上的直觉去猜测。,（1）根据体系 Hamilton 量的形式和对称性推测合理的 试探波函数；,（2）试探波函数要满足问题的边界条件；,（3）为了有选择的灵活性，试探波函数应包含一个 或多个待调整的参数，这些参数称为变分参数；,（4）若体系 Hamilton 量可以分成两部分 H =H0 + H1， 而H0的本征函数已知有解析解，则该解析解可作为体系的试探波函数。,2、试探波函数的选取,.,48,有了试探波函数后，我们就可以计算,能量平均值是变分参数的函数，欲使取最小值，则要求：,上式就可定出试探波函数中的变分参量取何值时 有最小值，而此时的就可作为基态近似能量，试探波函数可作为

16、基态近似波函数。,3、变分方法,.,49,例：一维简谐振子的基态,一维简谐振子Hamilton 量：,其本征函数是：,下面我们利用变分法求谐振子基态。首先构造试探波函数。,.,50,A 归一化常数， 是变分参量。因为,1.(x)是光滑连续的函数，关于 x = 0 点对称；,2. 满足边界条件即当 |x| 时， 0；,3. (x)是高斯函数，高斯函数有很好的性质，可作解析积分，且有积分表可查。,.,51,1. 对试探波函数定归一化系数：,2. 能量平均值,.,52,3.变分求极值,得基态能量近似值为：,这正是精确的一维谐振子基态能量。若将,代入试探波函数，得：,正是一维谐振子基态波函数。此例得到了精确的结果，是因为，我们在选取试探波函数时，对体系的物理特性（Hamilton量）进行了全面的分析，构造出了非常合理的试探波函数。,.,53,氦原子由带正电 2e 的原子核与核外2个电子组成。核的质量比电子质量大得多，可认为核固定不动。氦原子Hamilton算符：,用变分法求氦原子基态能量。,氦原子Hamilton量,其中,其中 H0 是两个电子独立在核电场中运动的 Hamilton 量，所以 H