创新题与选考题精品

1、创新题与选考题1 .已知-2 2且si nr cost a,其中a -(0,1，则关于tanv的值，在以下四个数值一31 1一 _一1一一335其中可以是.(填上所有可能的序号)解析：由题意知一0，从而tan v ： 0 .此时有2cost - a-sinr-sin v 0= cost-sinr,即有J ：tan0,于是，排除和，应该填，.2 .用 a表示不大于a的最大整数令集合 P =123,4,5，对任意kP和N*，定义集合 A 二m、k 1| m N*,k P，并将集合 A中的元素按照从小到大的顺序排列，记为数列an 试比较f (1,3)与a9的大小， (用不等号连接)解析：由已知知 f

2、(1,3)=：丄；I.：、：丄 6】=21 T0 0=4 (n)因为数列an是将集合A二m一厂i|m N*,kP中的元素按从小到大的顺序排成而成, 所以我们可设计如下表格12345mbk 1223近4迈22船3怎4/332扬3百4452晶3552苗3苗从上表可知，每一行从左到右数字逐渐增大，每一列从上到下数字逐渐增大.且-,2 5： .4 .6 : 2 2 : 2、3 ： 2.432 ： 2 5 : 所以 a9 =3& 所以 f (1,3) cag3 .已知矩阵A二12a4的逆矩阵aa236，向量a -(1) 求矩阵A;_1解：(1)矩阵A二 _-12_-1 10(2) 矩阵 A2 = I(2

3、 )求 A2a 的值.1-5 14 一，所以另解：矩阵A的特征多项式为f()-71 1丸1-21丸一4= 2 -5丄：；6 , 令 f C ) = 0 ,得 = 2,，2 = 3 .2 -2 - 2 - 2 - 2 - 2 -二 A I 二A （_2： 1 ： 2） = -2 A ： i A： 2 = -2（ i： i） 2： 2 =一2又= -2片亠：2 ,4已知极坐标系的极点 0与直角坐标系的原点重合， 极轴与x轴的正半轴重合，曲线Ci： cosC )=2. 2x =4t与曲线C2：一 (t R)交于 A、B两点.求证：OA丄OB.=4t解：曲线Ci的直角坐标方程x-y=4，曲线C2的直角

4、坐标方程是抛物线 y2 =4x ,设A(xi,yi) , B(X2,y2)，将这两个方程联立，消去 x,得 y2-4y-16=0=yiy2=-16 , y1 y2 =4 .X1X2 m =(y1 4)(y2 4)力丫2 =2y1y2 4(yy?) 16 =0 . OA OB =0 , OA _OB .Ix =2 3t 牛” 厂2x = 2cos 寸，5.已知直线丨：(t为参数)； 圆G :呼_8、cos12 =0,椭圆C2 :(二、y=3_4ty= 4si n0,为参数)(1) 求直线丨倾斜角的余弦值与 C的直角坐标方程；3 3 /x =2 _ (-5t) =2_/355(t/为参数)直线丨倾

5、斜角的余弦值为 -一4 4,5法一：将直线丨化为标准式:(2) P为C的圆心，Q为C2上的动点，求PQ中点M到直线丨距离的最小值。丄4丄4/y =3(-5t)=3t/L 553 3法二：将直线参数方程化为普通方程得：4x 3y =17，得斜率为-，则倾斜角的余弦值为 -空4 5圆G的普通方程为(x -4)2 y2 =4(2)因为 P(4,0), Q(2cos =,4sin R，则 M (2 cos = ,2sin R直线丨：4x 3y -17 =0 所以M到直线距离6.已知函数f (x) = /- x + J2+ x，其定义域 为D, g(x) = -|x十斗+ m，其定义域 为Q。(1) 求

6、函数 f (x) = 1- x+ . 2+ x的最大值(2) 若对于任意x D，总存在X2 Q，使得f(xj _ g(X2)，求m的取值范围。解：(1)由柯西不等式得(、Lx+,2+x)2?(1212)轾臌.匸匚)2+ (、.2+x)2= 6所以.1- x+ . 2+ x?、6 当且仅当x=-等号取得.2(2)由题设g(x) = x + 3+ m的最大值为 m，所以m3 J6如图所示，在RtDABC中，AC= 2.3,BC= 6,?ACB 90, P是线段AB上的动点，沿CP将此直角三角形折成直二面角 A- CP- B .(I)当BP A平面APC时，试确定点 P的位置;(n)当点P为AB中点

7、时，求直线 PA与平面ABC所成角的正弦值;(川)求 AB的最短长度及此时点 P的位置.B解：(I)由题设平面 ACP a平面BCP ,所以当BP a CP时，就有BP a平面APC ,即点P为斜边AB 高线的垂足，此时 AP = .3 ；(n)当点P为AB中点时，可判定 DAPC为正三角形，如图，过 A作AE a CP于E点，则以E点为 原点，EC为x轴，EA为z轴建立空间直角坐标系.所以有 E(0,0,0), A(0,0,3),CC 3,0,0), P(- , 3,0,0);又由相似比可求得 B(- 2乜,3,0)AB = (- 2. 3,3,- 3), AC = (. 3,0, - 3), 设平面 ABC 的法向量为 n 二(x, y, z)彳-2a/3x+ 3y- 3z= 0l由 n?AB 0,n?AC 0得 5令 z=1,则得 n 二 C 3,3,1)pa 利=739PA|n| = 13?V3x+ 0y- 3z= 0设直线PA与平面ABC所成角为a，则sina = cos(川)设？ACP q，则？ BCP 900- q，所以 AE = 2 3sinq,CE2 = 2.,3cosq ,连结 BE，在 DBEC 中,BE2 = CE2 + BC2- 2CE JBC cos(9(f - q)则 A