(精华讲义)数学北师大版八年级下册因式分解

1、(精华讲义)数学北师大版八年级下册因式分解因式分解一、概述 定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解,也叫作分解因式。意义：它是中学数学中最重要的恒等变形之一,它被广泛地应用于初等数学之中，是我们解决许多数学问题的有力工具。因式分解方法灵活,技巧性强，学习这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的,而且对于培养学生的解题技能，发展学生的思维能力，都有着十分独特的作用。学习它,既可以复习的整式四则运算,又为学习分式打好基础；学好它，既可以培养学生的观察、注意、运算能力,又可以提高学生综合分析和解决问题的能力。分解因式与整式乘法互为逆变形。 二、因式分解的方法

2、因式分解没有普遍的方法,初中数学教材中主要介绍了提公因式法、公式法。而在竞赛上，又有拆项和添减项法，分组分解法和十字相乘法,待定系数法，双十字相乘法，对称多项式轮换对称多项式法,余数定理法，求根公式法,换元法,长除法,除法等。 注意三原则 1 分解要彻底 2 最后结果只有小括号 最后结果中多项式首项系数为正(例如:3 +=-(-1)） 基本方法1】提取公因式 这种方法比较常规、简单,必须掌握。有时提公因式后再用公式法。常用的公式有：完全平方公式、平方差公式等例1: 2-3解: =x（2-3)针对性练习:提公因式法1.用提取公因式法分解因式正确的是( ）a.12ac922=ac(4-ab) 3x

3、-y+6=3y(x-+2y)c2b-ac=-a（a-b+) .x2y+xy-y=y(x2+5x).下列多项式中,能用提公因式法分解因式的是（ ）a.x-y b.x2+ cx2+y2 d.x2-xy+23.如果ba=-,=7,那么a2b的值是( )a.42 4 c.1 d-34.将下面各式进行因式分解(1) (2)(3) a2-4ma4 (4) -8y4-21y+25.已知2x-y=,y=,求24y3x3y的值.已知(4x1)2+0，求x2y-4x22-22的值.【随堂练习】1、分解因式: .2、分解因式: ;3.分解因式: 2】公式法将式子利用公式来分解,也是比较简单的方法。常用的公式有：完全

4、平方公式、平方差公式等。注意:使用公式法前，建议先提取公因式。例2:-4分解因式分析：此题较为简单,可以看出=22，适用平方差公式a 2-b 2 =（a+b)(）2解:原式=（+2）(-)【随堂练习】、下列多项式中,能用公式法分解因式的是（ ).c分解因式:3 分解因式: . 针对性练习：一、平方差公式:1.填空2.将下列各式因式分解(1) (2) (3) (4) (5） (6) 二.完全平方公式: 1、下列多项式,能用完全平方公式分解因式的是( )a、x+xy+2 b、x2-2x1 、-x2-2x-1 d、x2+y22、多项式4a2+ma+25是完全平方式，那么m的值是( )0b.20 c.

5、203、-x2xyy2的一个因式是x-y，则另一个因式是_4、若x22（a+4)x5是完全平方式，则a的值是_.5.将下列更是进行因式分解(1） x2+6ax+9a2 (2） (） (4) x3y216x2+3x； (5)ax2+6xy+3y2; （6)（) (8） 【课后练习】1、将下列各式进行因式分解:()xy-xy； (2)（5ab2)2-（a25）2。、将下列各式因式分解：(1)116x2； (）5x2y2-49； （3）4y2。3、把下列各式进行因式分解:(1)(x2)2-（xy)2; （2)-(x+)2+16(x-1）2。4、因式分解4b2-4aba正确的是（ ）a.4b(b-a）

6、+a2 b(2b-）2 c（b-a)（2b） d.(2ba)2 5、已知-=1，=2，求x3y-2x2y+3的值.因式分解识点1：分解因式的定义1分解因式:把一个多项式化成几个整式的乘的积,这种变形叫做分解因式,它与整式的乘法互为逆运算。如:判断下列从左边到右边的变形是否为分解因式： ( ) ( ） （ ） （ ）知识点:公因式公因式的定义：我们把多项式各项都含有的相同因式,叫做这个多项式各项的公因式。公因式的确定:（1)符号:若第一项是负号则先把负号提出来（提出负号后括号里每一项都要变号）()系数:取系数的最大公约数;(3）字母：取字母(或多项式)的指数最低的；（4)所有这些因式的乘积即为公

7、因式；例如：1. _2. 多项式分解因式时,应提取的公因式是( )a.bcd3. 的公因式是_知识点3：用提公因式法分解因式提公因式法分解因式:如果一个多项式的各项含有公因式,那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成几个因式的乘积，这种分解因式的方法叫做提公因式法。例如：1. 可以直接提公因式的类型： （1)=_;(2)_ (3）_ （4)解方程组，求代数式的值2式子的第一项为负号的类型:(1） =_ _ =_ _（2)=_ _ 练习:.多项式:的一个因式是,那么另一个因式是( ） 2.分解因式5(y-x)30(y-x) 公因式只相差符号的类型：公因式相差符号的，要先确定取哪个因式为公因

8、式，然后把另外的只相差符号的因式的负号提出来，使其统一于之前确定的那个公因式。（若同时含奇数次和偶数次则一般直接调换偶数次里面的字母的位置,如 例：（ 1)（b-a）a（a-b)+b(b-a) （ 2)（+bc)(a-b+c)+(ba+c)(ac)()练习:1.把多项式m2()+（2-a）分解因式等于( )()(-2)(m+) (b)（a-2）(m2-m) (c)m(a-2)(m-1) ()m(a)（m).多项式的分解因式结果（ ） b. . d.分解因式：()_) (2)6（x-y)4-3y（-)5知识点公式法分解因式公式法分解因式:如果把乘法公式反过来,那么就可以用来把某些多项式分解因式,

9、这种分解因式的方法叫做公式法。一、平方差公式分解因式法 平方差公式：两个数的平方差,等于这两个的和与这两个数的差的积。即a2-b2=（a+b)（a-b）特点:.是一个二项式,每项都可以化成整式的平方. b.两项的符号相反例如:1、判断能否用平方差公式的类型(1）下列多项式中不能用平方差公式分解的是（ ）（)-a2+b2 (b）-2-y2 （)x2y2-2 (d)14-25n2p2（）.下列各式中，能用平方差分解因式的是( ）a. b. d.2、直接用平方差的类型(1) （） （） 3、整体的类型:(1) (2）4、提公因式法和平方差公式结合运用的类型(1)34m= (2) 练习：将下列各式分解

10、因式(1) (2）100x81y;(3)9()2（x)2;（4) (5） (6)二、完全平方式分解因式法完全平方公式:两个数的平方和,加上（或减去）这两数的乘积的2倍,等于这两个数的和（或差)的平方。即a2+2ab+b2=(a+b） ; a2-a+b2=(a-)特点：（1）多项式是三项式；(2)其中有两项同号，且此两项能写成两数或两式的平方和的形式;（3)另一项是这两数或两式乘积的2倍.1、判断一个多项式是否可用完全平方公式进行因式分解如:下列多项式能分解因式的是( )a. b. c d.、关于求式子中的未知数的问题如:1.若多项式是完全平方式,则k的值为（ ）a.4 b4 8 .42.若是关于的完全平方式,则k= 3.若是关于x的完全平方式则m=_3、直接用完全平方公式分解因式的类型 (1)； (2）； (3); （）4、整体用完全平方式的类型（1)(x)1(x2)+36； (2)5、用提公因式法和完全平方公式分解因式的类型(1)312-1x; (2)ax2y22axy+2a(3)已知：,求的值练习:分解因式(1) (2） （3） （） （5）(） (） 知识点5、十字相乘法分解因式十字相乘法分解因式:逆用整式的乘法公式:(+a)（+b）,用来把某些多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做十字相乘法。如:分解因式：(1) () (3)a