函数与基本初等函数专题

1、函数与基本初等函数专题年 级: 辅导科目：数学 课时数：3课 题函数与基本初等函数 教学目的教学内容 函数的奇偶性（一）高考目标考纲解读结合具体函数,了解函数奇偶性的含义;2.会运用函数图像理解和研究函数的奇偶性.考向预测1.函数的奇偶性是函数的一个重要性质，为高考中的必考知识点2常与函数的概念、图像、单调性、对称性等综合考查.(二）课前自主预习知识梳理1函数的奇偶性图像关于原点对称的函数叫作奇函数（x)满足图像关于y轴对称的函数叫作偶函数f（x)满足当函数(x)是奇函数或偶函数时,称函数具有 （三）基础自测1下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是()a.y-3,xr by=six,

2、xx，xr d.y=x，xr答案a解析 ix在上不单调,y=x不是奇函数,y=x为增函数,故b、c、d均错.2(教材改编题)下面四个结论中,正确命题的个数是（ )偶函数的图像一定与y轴相交;函数f(x）为奇函数的充要条件是f（0)0;偶函数的图像关于y轴对称；既是奇函数，又是偶函数的函数一定是f(x）=(r）a.1 c3 d.答案 a解析 错误，如函数f（x)是偶函数，但其图像与y轴没有交点；错误,因为奇函数的定义域可能不包含x;正确;错误，既是奇函数又是偶函数的函数可以为(x)=0,x(a,a）.(01上海宝山模拟）已知函数f（x)=a2bx+3a+b是偶函数，且其定义域为a1,2a,则（)

3、a=,0 .a1,b= .a=1,=0 .a=3,0答案 a解析由f(）=ax2b+3a+b为偶函数，得0.又定义域为1，2,(a1）+a0，a4 （2009重庆理)若f（x)=a是奇函数，则_. 答案 解析 考查函数的奇偶性.f(x)为奇函数，f(1)-f(),即a-,a.（四)典型例题1.命题方向:奇偶性的判定例1 判断下列函数的奇偶性(1)f(x)=(x1）； ()f(x)；（3）f(）; (4）(）;（5)f(x)xxa|+.解析(1)由0,得定义域为1,1)，关于原点不对称,故f(）为非奇非偶函数.()由得定义域为(-1,)(,1）,这时f(),f(x)-=-f(x)(x)为奇函数(

4、)当x0，则(-）=（x)2-(-x）=x2x=f(x）当x0时，x0则(-x)=(-x)2(-）=x-=f（x)对任意x(，0)(,)都有f(-x）=f（x)，故(x）为偶函数.另解:1画函数f()=的图像.图像关于轴对称,故（)为偶函数.2f(x)还可写成f(x）2|x|,故为偶函数(4）由得x=-或x 函数f(x)的定义域为-,又对任意的x-，,f（x）. f（-x)f(x)f（x)()函数f()的定义域为r当a时 ()f（x)f(x）是偶函数当a0时f(a)2,(-a）=a-2|a|+2f(a）(-a) 且f(a)+(-a)2（a-a|2)=（|a|-)2+0f()是非奇非偶函数.点评

5、第一，求函数定义域,看函数的定义域是否关于原点对称,若不对称，则该函数为非奇非偶函数.第二,若定义域关于原点对称,函数表达式能化简的，则对函数进行适当的化简，以便于判断,化简时要保持定义域不改变；第三,利用定义进行等价变形判断第四,分段函数应分段讨论,要注意据x的范围取相应的函数表达式或利用图像判断跟踪练习1判断函数f(x）的奇偶性解析由题意知解得-x或04，函数的定义域关于原点对称f(x）=,f(-x）=-=-（x)f（）是奇函数.2.命题方向：奇偶性的应用例2 已知定义域为的函数f(）是奇函数.(1）求a、b的值;（)若对任意的tr，不等式f(t22)+f（t2k）恒成立,求k的取值范围.

6、解析 (1)f（)是奇函数,f(0)0,即=0,b=1(x）.又由f(1)-（-1）知=，a2(）解法1：由(1)知f(）=-.易知f（x）在（，+)上为减函数又因f（x)是奇函数，从而不等式f（t22）+f(2t2-k）0等价于(-t)2t2k.即对一切r有3t2-2tk0从而判别式4+12k0，解得k.解法:由(1)知f（),又由题设条件得+，即(2t-k+2)(-2t2-2t1)(2t2-2t12)(2tk+1)1，因底数21,故3t22k.上式对一切均成立，从而判别式4+12k，解得0且a1)是定义在（-，+)上的奇函数(1)求的值；(2)求函数(x)的值域；（)当(0，1时,(x）2

7、2恒成立,求实数t的取值范围.解析 (1)f()是定义在(-，）上的奇函数,即f(x）=-f(x)恒成立,(0)0即1=,解得a=2.(2)y，2x,由0知0,11,即(x)的值域为(-1,1).（3)不等式tf(x)2x-2即为x2.即:(2x)-（t+1）2x-20设2x=,x（,1,u(1,2(1，时（t+1)u-0恒成立.，解得0.(五）思想方法点拨1.判断函数奇偶性时首先要看其定义域是否关于原点对称如函数y2(-1,1)并不具备奇偶性.因此，一个函数是奇函数或偶函数,其定义域必须关于原点对称.函数奇偶性的判定方法:（1)定义法：第一步先看函数（x)的定义域是否关于原点对称，若不对称,

8、则为非奇非偶函数第二步直接或间接利用奇偶函数的定义来判断即若有:f(x)=-f(x)或(-x)f()或f（x)f（x)f（x)或f（x)(x)=-f 2(x)或f(x)/f(-x)=-1为奇函数.若有(-x)=（x）或f（x)-f(x)或f（x)+(x)=2f(x)或(x)f（-x)=2(x)或f(x)/f(-x)1为偶函数（2)图像法:利用“奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称”来判断(3)复合函数奇偶性的判断若复合函数由若干个函数复合而成,则复合函数可依若干个函数的奇偶性而定，概括为“同奇为奇，一偶则偶”（4)性质法偶函数的和、差、积、商（分母不为零）仍为偶函数；奇函数的和、

9、差仍为奇函数；奇(偶)数个奇函数的积、商(分母不为零)为奇(偶)函数;一个奇函数与一个偶函数的积为奇函数利用上述结论时要注意函数的定义域是各个函数定义域的交集.函数奇偶性的应用（1)已知函数的奇偶性求函数的解析式.抓住奇偶性讨论函数在各个分类区间上的解析式，或充分利用奇偶性产生关于f()的方程，从而可得f（)的解析式.（2)已知带有字母系数的函数的表达式及奇偶性,求参数常常采用待定系数法利用关系式f(x)f()0产生关于x的恒等式,利用对应项系数相等求得字母的值.2.运用奇、偶函数的性质及其单调性的关系是进行区间转换的一种有效手段:奇函数在对称区间上的单调性相同；偶函数在对称区间上的单调性相反

10、,且f(x)f(x）=f(|x|）。 (六）课后强化作业一、选择题1(2010重庆理)函数f(x)=的图像（ )关于原点对称 b关于直线y=x对称c关于x轴对称 d.关于轴对称答案 解析f(x)22x+f(x)f（x)是偶函数,其图像关于y轴对称.已知y=f（x)是定义在上的偶函数,且f()在（0,)上是增函数，如果x1,且|x1|x2|,则有(）a.f(-x1）（x2）0 b.f(x1）+f(x2）0 c.f（)-f（-x2)0 d.f（x1)f(x2)0答案 d解析 x0，|x|x|,0x1x2又f(x)是(0,+)上的增函数，f（x1)f(x)又f（)为定义在r上的偶函数，(x）f(x)

11、f（x1)-f(x2)0.选d.(200辽宁理)已知偶函数f(x)在区间0,+）单调递增，则满足f(x)f的x取值范围是( )a b c. d.答案a解析 考查偶函数的性质及含绝对值号不等式的解法.由题意得|x1|2x12x,选a.4（2010山东理)设f()为定义在r上的奇函数,当时，f()=x+2xb(为常数)，则f(-1)=()a.3 b c-1 d-3答案 d解析 f(x)是奇函数,f(),即00+b,b=-1，故f（)2+213，f(1)=-f（).5已知定义在r上的奇函数f(x）是一个减函数,且x1x20，x2x30，x3x10，则f（1)f(x)f(x3）的值( )a大于0 小于

12、0 等于0 d以上都有可能答案a解析由x1x20，得1f（x2）.f(x1)+f(x2）.同理f(x)f(x3)0，f(x1)+f（3)0，(1)(x)+f（x）0.若函数f()、g（x）分别为r上的奇函数、偶函数,且满足f(）(x)=e，则有（ )af(2)f(3)g(0) bg(0)f(3)()c.(2)（）f（3) d.g（0）f（2)f（2)0,因此g(0)(2）0时，f(x）x，且当x-，-1时，f(x)m恒成立，则mn的最小值是_.分析该题综合考查了函数的性质(单调性和奇偶性），要求考生有一定的分析能力答案 1解析 因为函数f(x)x在(,2)上为减函数,在2，)上为增函数，则当x

13、，时，4f(x)5.又函数yf(x)为偶函数，故当x3,-1时，4(）5,则m-n的最小值是1.第四节 幂函数（一）高考目标考纲解读1了解幂函数的概念2.结合函数y=，,的图像,了解它们的变化情况考向预测1常以5种幂函数为载体,考查幂函数的概念、图像与性质2.多以小题形式出现,常与函数性质、二次函数、方程、不等式交汇命题（二)课前自主预习知识梳理1.幂函数概念形如（)的函数称为幂函数,其中x是 ,a为 .2.幂函数的图像（以y，,为例).3.幂函数的图像和性质()所有的幂函数在 都有定义，并且图像都过点 (a）时,幂函数的图像通过原点,并且在区间0，)上是 （3) a 0时幂函数的图像在区间(

14、0，)上是 .在第一象限内,当x从右边趋向于原点时，图像在y轴右方无限地逼近 ，当x趋于+时,图像在x轴上方无限地逼近 (4）当为奇数时,幂函数为 ;当为偶数时,幂函数为 .4.这5个具体幂函数的性质函数特征性质yx定义域rrrx|x0x|x0值域ry|y0ry|y0y|y0奇偶性奇偶奇非奇非偶奇在第一象限单调性在第一象限单调递增在第一象限单调递增在第一象限单调递增在第一象限单调递增在第一象限单调递减定点(0,0) (1,1)(0,0) (1,1)(0,0) (1,1)(0,0) (1,1)(1,1)(三)基础自测1.（教材改编题)在函数y=，y=x2,x2x,y=1中,幂函数的个数为 ( )

15、a b. c d答案 b解析依据幂函数的定义,y=2x2的系数不是1，=x2x是两个函数的和的形式，y也不同于y=x(x0),因此这三个都不是幂函数，只有=符合.(200陕西宝鸡期末)函数 是 （ ）a奇函数，并且在（0,)上为增函数b.偶函数，并且在(，）上为减函数c奇函数，并且在(，+)上为减函数d偶函数，并且在(,0)上为增函数答案 b解析 =,r,且满足()=(x)，故为偶函数.又0,所以在第一象限内的图像是单调递增，因此在(-，0)上为减函数3.下列各组函数中,定义域相同的是（ )a.与 b 与与 d.与答案 b解析选项a中,y=中x0,y=中xr;选项， 中x , y=中,xr，选

16、项d中， y=中0,而中x0,故选.4.下列命题:幂函数的图像都经过点(1,1)和点(0,0)；幂函数的图像不可能在第四象限;n0时,函数yxn的图像是一条直线;幂函数x，当n0时是增函数；幂函数yx,当n0时，在第一象限内函数值随x值的增大而减小其中正确的是( ）a. b c 答案 d解析 y=在0时是增函数没有指明单调区间，如y 在(-,)上是增函数是错误的,由幂函数的图像性质知正确5.已知点在幂函数f(x)的图像上,则f（x）是_函数(填“奇”或“偶”)答案 奇解析设（x）= ，则=，即=,故a=-3因此，故f()是奇函数。（四）典型例题1.命题方向：幂函数的定义例1 已知f()=（m2

17、+m),m为何值时，f(x）是：(1)正比例函数？()反比例函数?()二次函数？（4)幂函数？(5）在(4)的条件下，满足在(0，)上单调递增?分析(1)(2）()(4)分别用相应函数的定义来确定m的值，(5)中则需考查幂函数的性质与幂指数之间的关系解析(1)若f()为正比例函数，则m.(）若f（x）为反比例函数,则m=-1.（3)若f(x)为二次函数,则=.（4)若f(x)为幂函数,则m2+2mm=()由(4)得m-1.当m=-1时，2=-，f()x-在(0，+)上单调递减，不合题意；当m=1时，m2m-1+，f(x)+在(0，)上单调递增.综上，m1.点评本题考查各种函数的概念,需要根据相

18、应函数的定义列出等式或不等式，并结合函数性质求出参数的值,同时分清哪种条件下的函数是幂函数跟踪练习如果幂函数(m3m) 的图像不过原点，则m的取值是()a-1m b.m= c. m=1或m2答案 d解析由幂函数的定义，m23=1，所以m=1或2.又图像不过原点，所以2-m-0,解得m2综上，m1或m.2.命题方向：幂函数的图像及其应用例2点(，)在幂函数f(x)的图像上，点在幂函数g(x)的图像上(1）求f(x)，g(x)的解析式；（2)问当x取何值时有:f(x)g（x）;f(x)=();f(x)1或x-1时,f(x）g(x);当或x=-1时，f(x)g(x）；当-11且x时，f(x)，因此

19、，即（)由于1,(3)由于指数函数在上是减函数,所以。又由于幂函数在上是增函数，所以，故有.跟踪练习当01时,下列不等式正确的是（ )答案d解析由a1,可知b，0a1，01a(1)b.(五)思想方法点拨幂函数性质的理解.当时，幂函数yx有下列性质:图像都过点(0,0）(1,1）;在第一象限内，函数值随的增大而增大;在第一象限内，过(1,1)点后,图像向右上方无限伸展.2当0时,幂函数y=x有下列性质：图像都通过点（1,1);在第一象限内，图像向上与y轴无限地接近，向右与x轴无限地接近；在第一象限内，过(1,1)点后,|越大，图像下落的速度越快3.(1)幂函数中既有奇函数,又有偶函数，也有非奇非

20、偶函数.（2)作函数yx的图像时，一般依据上述性质作出第一象限的图像，而后依据函数的奇偶性作出x0的图像即可(3)幂函数的图像无论取何实数，其必经过第一象限，且一定不不经过第四象限(六)课后强化作业一、选择题如图所示函数图像中，表示的是( ) 答案 d解析因为(,)，所以的图像是抛物线型，且在第一象限图像上凸,又函数是偶函数，故图像应为.2.(2011中山模拟)给出下列三个等式:f(xy)=f(x）+(y)，(x+y）=f(x）f(y)，f(xy)f（x)+f(y),下列函数中不满足任何一个等式的是()af()3x (x) cf(x）=og2x d.f（x)=x（k0)答案b解析(）=x满足f

21、(x)=f（x)f(）;(x)=log2x满足f(xy)=f(x)f（y）;f（x)=kx满足(x)f(x）+f（），而f()不满足任何一个等式3函数=(mm-1)x2-m-3是幂函数且在x(0，+)上为减函数，则实数m的值为( )a-或2 b. .2 d-1答案c解析 因为y（m-m-1）x2-2m3是幂函数且在(0，)上是减函数,所以解得m=2.4.设n,则使得f(x)=xn为奇函数，且在(0,+)上单调递减的n的个数是( )a.0 b.1 c 3答案b解析 只有当n=1时,(x)=x为奇函数,且在(，）上单调递减(201安徽文)设,，则a,b,c的大小关系是( )a.acb b.b c.cab .c答案 a解析该题考查幂函数和指数函数的性质对b和c，考查指数函数y()x，单调递减.故,即bb，故选a.6若集合a=y,11,，则ab=（)a.(-,） b1,1 c. d.1答案 d解析 在-x1时，有1y1;yx，在0时,有1，ab17