人教版高数必修五第11讲一元二次不等式及其解法教师版

1、一元二次不等式及其解法 _ _ 理解二次函数、 正确理解一元二次不等式的解法；掌握一元二次不等式的不等式的解法；教学重点： 一元二次方程、一元二次不等式之间的关系； 教学难点： 理解二次函数、一元二次方程及一元二次不等式之间的关系。 1. 一元二次不等式的整式不 一元二次不等式的定义：一般地，含有1个未知数，且未知数的最高次数为21（） 等式，叫做一元二次等式；一元二次不等式的解集：使某个一元二次不等式成立的未知数的取值集合叫做这个一元 （2） 二次不等式的解集； 同解不等式：如果两个不等式的解集相同，那么这两个不等式叫做同解不等式。） （3 2.一元二次不等式与相应的函数、方程之间的关系?2

2、20ac?0?ax?bxac4b?0?0,?0,可分为设对于一元二次方程它的解按 三种情况，列表如下： ?0?0?0 1 222cbx?ax?y?ax?bx?yc?axbx?y?c 二次函数 ba）的图一元二次方有两相异实有两相等实根 20c?bx?axb)x?xx,x(?x?x 无实根?221121a2的根0a?20?ax?bx?c?b? x或xx?xx?x?x ?21a2 R 的解集)?(a0?20ax?bxc?x?xxx? 21的解集0)(a? 一元二次不等式的解法步骤3. 0；对不等式进行变形，使一端为0，且二次项系数大于）（1 计算相应方程的根的判别式；（2）0? 时，求出相应的一元

3、二次方程的两根；）（3 当 根据一元二次不等式解集的结构，写出其解集。4） （ （一看，二算，三写）注：若不等式左侧可因式分解，则可转化为一元一次不等式组求解。 含参数的一元二次不等式的解法4. 二次项系数含参数时，根据一元二次不等式的标准形式需要化二次项系数为正，所以要 1）（ 对参数讨论；?的符号确表达式含有参数且参数的取值影响这时根据解（2） 的符号，得过程中，若 定的需要，对参数进行讨论；方程的两根表达式中如果有参数，需要对参数讨论才能确定根的大小，这时要对参数进） （3 行讨论。 不等式的恒成立问题5. x 结合二次函数的图像和性质用判别式法，当的取值为全体实数时，一般用此法；（1）

4、 从函数的最值入手考虑，如大于零恒成立可转化为最小值大于零；（2） 能分离变量的尽量把参数和变量分离出来；）（3 数形结合，结合图形进行分析，从整体上把握图形。（4） 分式不等式的解法6. 将分式不等式转化为整式不等式求解，若能直接判断出分子或分母的符号，则可求解，否则应 化为以下形式： 2 ?xf?fx?gx?0?0 ） （1 ?0gx?xg?xf?g?f0xx?0 （2） ?xg?xf?fxgx?0?0? （3）? ?0x?gxg?xf?0xx?g?0?f 4） （ ?xg 一元二次不等式的解法；分式不等式的解法；类型一： 20?2?3x2x 例1.解下列不等式：1220?2?0,2x?3

5、xQ0?2?2xx?32,?x?,x的解集为所以不等式的根是解析： 2121?x?x|2x? 或 21?x?x|2?x 或 答案： 220?x?x4?4 解下列不等式：练习1.2?x|x 答案：20?x3?2x? 解下列不等式：练习2.R 答案：1?x3?不等式例_ 2.的解集是 xx?23?1x?1?x11x?x?0x?x1?20?30?0?3? 即，通分得该不等式等价于由解析：移项得 0x?xxxx111?0?x2x?x?,00x?x| 的两根为即方程故原不等式的解集为或? 222?1x?0x?|x 或答案： 241?x_ 的解集是不等式练习3. 1?x?3,1?1 答案：3 12xx?x

6、的取值范围是使不等式_ 成立的练习4. x?(1)?, 答案：类型二： 含参数的一元二次不等式的解法 ?2x0?a?11ax?x 例3.解关于 的不等式a?0?x?1 ，原不等式 解析：若1x?1?x0,?a 若原不等式或 a1?0?1x?x0,?a原不等式 若 ? a?1a?x （1） 当 ，原不等式1?x?1?1,?a原不等式 （ 2） 当 a1?1?x1,?a?0 原不等式 当 （3） a1?|xx0,a?1x? 综上所述，当 或解集为 aa?0x|x?1 当 ，解集为1?xx|1?1,?0a? 当解集为 ? a?1?a? 当，解集为1?x?1x|1,?a 解集为 当? a?1?xx|x

7、?1?0,a 解集为 答案：当或 a0?a?1xx| 当 ，解集为 1?xx|11,?0?a 当解集为 ? a?1a? ，解集为当1?|xx?11,a? 解集为 当? a? 4 11?2?2a?x?2x?0?0?a的解集为（）已知 ，则不等式 练习5.? a2?1221?,a,a,2a,2a D. C. B. A. ? aaaa?答案：A 1?2b?m?m,?02x?bx?1 _ 若不等式的解集为，则练习6.? 2?2 答案： 类型三： 有关不等式恒成立问题?22mxRx?1?m?mxx?mx?1? 的取值范围例4.关于对不等式恒成立，求实数2x?R0?mx?m?mx1?恒成立 解析：原不等式

8、等价于对m?0?1?0显然成立时，不等式为 （1） 当?40?m0m0?m?m 解得时，由不等式恒成立得或（2） 当 2?01?m4?m?m3m0?m 综上， 的取值范围为 0?m 答案：2mx0mxmx?1? 练习7.对任意的实数，不等式恒成立，则实数的取值范围是（）?4,0?4,0)?4,0(?4,0 D. A. B. C. B 答案：22axaa3?x?2x5? 对任意实数不等式的取值范围为（）恒成立，则实数练习8.?2,5?1,4?)(?4,?(?,?25,),1? C. D. B. A. A 答案：2ax0?xax2a?R_ 上恒成立，则实数 的取值范围是在已知关于练习9.的不等式?

9、0,8 答案： ?2a3?1?ax?2xfxR_ 的取值范围10.练习函数 ，试求的定义域为?3,1? 答案： 5 2) B等于( x|0x3，则A1. 若集合Ax|xx0，B ?|1x3 D Cx Bx|0x3 Ax|0x0( 2. 不等式(1) (3，1) D( ，) C(1,3) A(3,1) B(，3)(1A 答案： 2) 的取值范围是( ax40的解集为空集，则3. 已知不等式xa4 a4D4 a或 Ca4或a A4a4 B4a4 A 答案：12) )x 的解集是( 14. 若0t1，则不等式x0(t t1111 |tx x或xt Dx xBxAx|t x|x或t Cx| ttttD

10、 答案： 2) ( 5不等式x的解集为2x301 Dx|3x或C3 Bx|1x3 x|x3x1 1xA|x或xC 答案：2) 的解集是( 4x506. 不等式x5 x| |1x5x CxB 答案： 2) 7. 不等式xx2的解集为( D? 1 x2|C xx 1x2xxA|或 B|21 x C 答案： _ _ 基础巩固 6 210x?) ( 1. 不等式组的解集为?20x3x?Ax|1x1 Bx|0x3 Cx|0x1 Dx|1x3 答案：C 22mx2xm2. 如果不等式mx的解集是x|0x2，则实数的不等式7. 若关于xxm的值是_ 2答案：1 2x20的解集为 不等式x_ 8.答案：x|2

11、x1 22x35的解集为_x9. 不等式0 答案：x|2x1或3x5 222axc，求不等式4bx3b0x|30的解集为x|3x4， 2ax答案：a0且3和4是方程axbxc0的两根， 2 b?43 aab?，解得. ?ca12c?43 a不等式bx2axc3b0 2可化为ax2ax15a0， 27 ，x5x2x150，3即2 xx5.所求不等式的解集为30(a11. 解关于x的不等式x(aaR2)0. a原不等式可化为(xa)(x答案： a；a，x当a0时，a22 0；时，aa，x当a02 ；或aa当022a，x1时，a|xa或x综上所述，当a1时，原不等式的解集为x2 ； 或xa；当0a1

12、时，原不等式的解集为x|x0的解集为x|4，那么对于函数f12.(5) (2)f Df(1)f (5)f(1) Cf(2)f(1)f(5) fAf(5)f(2)f(1) B(2)0的解集是x|x3或x0x|x2，则的不等式15. 已知关于xxbxcA5 B4 C1 D2 答案：A 220(a0 x2， x?1,2 D 2,1 1,1 B2,2 CA 答案：A22的取值范m3对任意实数xx)4(1mxy19. 已知函数(m，函数值恒大于零，则实数4m5) 围是_19 答案：m12x|xa0且BA，则ax|3x2x的取值范围是0，B( ) 20. 已知集合AAa1 B1a2 Ca2 Da2 答案：

13、A 236x4x450的解集)1(nN时，规定xn，则不等式x21. 对于实数x，当且仅当nn为_ 答案：x|2x0；(3)x 223xx20. (4)2答案：(1)原不等式化为(x5)(x1)0， 1x5. 故所求不等式的解集为x|1x5 8118x2(2)原不等式化为4x0， 49(2x即2 0)29x. 49故所求不等式的解集为x|x 4 6100x，2x(3)原不等式化为9 即(x3)10， 2x2(4)原不等式化为37即2(x20 ) 48xR. 故所求不等式的解集为R. 22 的解集为Bx30的解集为A，不等式x6023. 已知不等式xx2(1)求AB； 22xb0的解集AB，求不

14、等式ax (2)若不等式x的解集为axb02x30，得1x3， 2x答案： (1)由A(1,3) 由xx60，得3x2， 2B(3,2)，AB(1,2) 0ab1? ，由题意，得(2)?0ab42? 1a?解得. ?2b?xx20， 22不等式xx20的解集为R. 222bxa0，求不等式24已知不等式ax的解集为bxc0x|x0的解集为x|x， 2ax答案： 、是方程axbxc0的两根，且a0. 2cb，ca，ba() aacxbxa0，axa()xa0. 2110，0， 111x(2)x0. 11111方程x(0的两根为、2. )x 11111x(，或x， |)x0的解集为xx 11即不等式cxbxa，或x0. x的不等式：解关于25. x56axa10 axa0可化为 22x56答案：(7xa)(8xa)0. aaaa当a0时，x或x； 8778aaaa当a0时，x或x； 8787当a0时，x0. aa综上所述，当a0时，原不等式的解集为x|x或x； 78当a0时，原不等式的解集为x|xR且x0； aa当a或x0. 1mxx答案：原不等式可化为0， 1mx即x(mx1)0. 1当m0时，解得x； m1当m0时，解得x0； m当m0时，解得x0时，不等式的解集为x|