函数定义域值域求法总结精彩

1、函数定义域、值域求法总结一、定义域是函数y=f（x）中的自变量x的范围。 求函数的定义域需要从这几个方面入手：（1）分母不为零（2）偶次根式的被开方数非负。（3）对数中的真数部分大于0。（4）指数、对数的底数大于0,且不等于1（5）y=tanx 中 xm kn +n 12 ; y=cotx 中 xmkn 等等。（6）x0 中 x 0二、 值域是函数y=f（x）中y的取值范围。这些解题思想与方法贯穿了高中数学的始终。 常用的求值域的方法：（1）直接法（2）图象法（数形结合）（3）函数单调性法（4）配方法（5）换元法（包括三角换元）（6）反函数法（逆求法）（7）分离常数法（8）判别式法（9）复合函

2、数法 （10）不等式法（11）平方法等等三、典例解析1、定义域问题例1求下列函数的定义域：1 | 1 f （x）: f（x） ,3x 2 : f （x） x 1-x 22 x解：I x-2=0,即卩x=2时，分式无意义，x 21而x 2时，分式有意义，.这个函数的定义域是x | x 2 .x 2 3x+20,即xv-2时，根式 3x 2无意义，3而3x 20，即x -时，根式 3x 2才有意义，3这个函数的定义域是x| x - .3 当x 1 0且2 x 0，即x 1且x 2时，根式、x 1和分式丄 同时有意义,1 且 x 2x 10 x 12x0x22 x 这个函数的定义域是x | x另解：

3、要使函数有意义，必须：例2求下列函数的定义域： f (x)、4 x21 f (x)2 3x 4 f(x) _1_ lx 1 2，丄1丄x f(x) 1) y x 2 3 3 1寸|x| xV3x 7第一页解：要使函数有意义，必须：4 x21即：,3 x ,3函数 f(x) JJ4 x21的疋义域为：“3,(3x要使函数有意义，必须：23x 40x4或x1x1 2 0x3且x 1疋义域为：x| x3或 3 x1 或 x 4x 01 1 0x0要使函数有意义，必须：x1x11x1 021 x函数的定义域为：x| xR且 x0, 1,占2要使函数有意义，必须：x 101 1x1x x 0x 0定义域

4、为：x|x1或1x 0要使函数有意义，必须：x 23 0x R73x 70x3即x - 定义域为：x|x-3 33例3若函数y Jax2 ax丄的定义域是R,求实数a的取值范围+解：定义域是R；. ax2 ax -0恒成立，aa 0等价于a2 4a - 0 0 a 2a例4若函数y f (x)的定义域为1, 1,求函数y f (x ) f (x )的定义域-4 4解：要使函数有意义，必须：1133函数y f (x)f (x一)的定义域为：x|-x-4444例5已知f(x)的定义域为1, 1，求f(2x - 1)的定义域。例6已知已知f(x)的定义域为1,1，求f(x 2)的定义域。第二页例5分

5、析：法则f要求自变量在1, 1内取值，则法则作用在2x 1上必也要求2x 1在1,1 内取值，即 K 2x 1 1,解出x的取值范围就是复合函数的定义域；或者从位置上思考f(2x 1)中2x 1与f(x)中的x位置相同，范围也应一样，一 K 2x K 1,解出x的取值范围就是复合函 数的定义域。(注意：f(x)中的x与f(2x 1)中的x不是同一个x，即它们意义不同。)解：I f(x)的定义域为1 , 1, 1 2x 1 1,解之 OW x0二 0x 22 0 x 6 4 ., 2函数f(、_x 2)的定域义为：x|0 x 6 4.2例7已知f(2x 1)的定义域为0 , 1，求f(x)的定义

6、域因为2x 1是R上的单调递增函数，因此由2x 1, x 0,1求得的值域1,1是 f(x)的定义域。练习：已知f(3x 1)的定义域为1, 2),求f(2x+1)的定义域。-,2 )2(提示：定义域是自变量x的取值范围) 练习：【练1】已知f(x 2)的定义域为1, 1，求f(x)的定义域【练2】若y f X的定义域是0,2，则函数f X 1 f 2x 1的定义域是()A.1,1B丄122【练3】已知函数f x1 x的疋义域为A,1 x()A.AUB BB. B AC.2、求值域问题厂1,1C.,1D. 0,-22函数 y f f:x 的定义域为B,则AI B BD. A B利用常见函数的值

7、域来求(直接法)一次函数y=ax+b(a 0)的定义域为R,值域为R;k反比例函数y (k0)的定义域为x|x 0,值域为y|y 0;x二次函数f (x) ax2bx c(a 0)的定义域为R,当a0时，值域为y|y (4ac X)；当a0,. y x =（Jx -）222,xJx1 1当 x0时，则当xb时,其最小值ym.(4ac b2).2a4a当a0)时或最大值(a 0，故 3+V (2 3x) 3。函数的值域为 3,.【练2】求函数y x2 2x 5 , x 0,5的值域解：对称轴x 10,5例3求函数y=4xV 1-3x(x 1/3)的值域。法一：(单调性法)设f(x)=4x,g(x

8、)=-V 1-3x,(x 1/3),易知它们在定义域内为增函数，从而y=f(x)+g(x)=4x-V 1-3x在定义域为x 1/3上也为增函数，而且yw f(1/3)+g(1/3)=4/3,因此， 所求的函数值域为 y|y 3)第五页点评：将无理函数或二次型的函数转化为二次函数，通过求出二次函数的最值，从而确 定出原函数的值域。这种解题的方法体现换元、化归的思想方法。它的应用十分 广泛。练习：求函数y=2 x-1 - x的值域。（答案： y|y - 3/4 例5 （选）求函数y x 3 5 x的值域解：（平方法）函数定义域为：x 3,5例6 （选不要求）求函数y x . 1 x2的值域解：（三

9、角换元法）1 x 1设x cos0,小结：（1）若题目中含有a 1,则可设(2)若题目中含有a2b2,其中0(3)若题目中含有(4)若题目中含有(5)若题目中含有，贝U可设xcos，其中0，贝U可设xtan，其中一2r (x 0, y0,r0），则可设x221 则可设 a cos ,b sinx y 1 x.1 x2、r cos2解法一：（图象法）可化为,x2x ,11x 3如图,3其中 0 , 2解法二：（零点法）画数轴利用a b|表示实数a,b在数轴上的距离 可得。观察得值域44yy解法三:(不等式法)x 1 |(xx 1 (x3) (x1) 41)练习：y1的值域呢?1,例8求函数y 9

10、x3x 2 (x33第六页）（三种方法均可）0,1 ）的值域同样可得值域4解:（换元法）设3x t，则1 t 3原函数可化为x2 2x解：（换元法）令 t x2 2x (x1)2 1，则 y(t 1)例9求函数y 1的值域由指数函数的单调性知，原函数的值域为例10求函数y2x (x 0)的值域解：（图象法）如图，值域为0,1例11求函数y解法一:（逆求法）解出x , x拧观察得原函数值域为解法（分离常数法）V 1三1，可得值域yy小结：已知分式函数yax bcx d（c 0），如果在其自然定义域（代数式自身对变量的要求）内，值域为 yya ;如果是条件定义域（对自变量有附加条件）， c采用部分

11、分式法将原函数化为,ad b（ad bc），用复合函数法来求值 cx d域。3x例12求函数y 的值域31第七页0 y 1y1 y小结：如果自变量或含有自变量的整体有确定的范围,解法一：（逆求法）解法二：（换元法）设3x汁1宀13131练习：y=W ;( y (-1，1).2x 1例13函数y解法一：（逆求法）x2 12） x 0 时，x（ x） 2 y 1x（ x） y 01 y解法二：（换元法）设x21 t，则解法三：（判别式法）原函数可化为（y1）y 1时不成立2）y 1时，0 04(y 1)( y 1) 0综合1）、2）值域y| 1y 1”的值域11)x2yy0解法四：（三角换元法）x

12、 R设 x tan，则综合1）2 ）知，原函数值域为1 3,第八页1） y 0时，不成立原函数的值域为y| 1 y 1例14求函数y解法一：（判别式法）化为2yx2 4yx （3y 5）02）y 0时，0得综合1）、2）值域y|0 y 5解法二：（复合函数法）令2x2 4x 3 t，则y 5t0 y 5所以，值域y |0 y 51例15函数y x - 1的值域x解法一：（判别式法）原式可化为|x2（1 y）x 101解法二：（不等式法）1）当x 0时，x -2 y 3x例16（选）求函数y 空2（X 1）的值域 x 1解法一:（判别式法）原式可化为x2（2 y）x 2 y 0解法二:（不等式法

13、）原函数可化为y (x 1)1 x 112 ( x 1)x 1x 1当且仅当x0时取等号，故值域为2,例17 （选）求函数yx2 2x 2x 1第九页x 2）的值域解：（换元法）令x 1 t，则原函数可化为1y t t ( 1 t 3)小结：已知分式函数yax2 bx c , 2,2dx2 ex f（a2 d20）,如果在其自然定义域内可采用判别式(选)y 一次式）的形式，采用部分分式法，进而用基本不等式法求出函 二次式法求值域；如果是条件定义域，用判别式法求出的值域要注意取舍，或者可以化为 二次式y 一次式数的最大最小值；如果不满足用基本不等式的条件，转化为利用函数 （x 0）的单调性去解。

14、x练习：【练1】0）；另外,o，yx22 9 (x 丄)2xx11，二 y 11.此题利用基本不等式解更简捷:92 9 11 （或利用对勾函数图像x【练2】y522x2 4x 30y 5.【练3】求函数的值域 y x .2 x ， y 2. 4x x2解：令u 2 x o,则x 2 u21原式可化为y 2 u2 u (u -)2 u 0,二y 9，二函数的值域是(-,9.44解：令t=4x x2 0得0 x 4在此区间内(4x x2)max=4, (4x X2)min=0函数y 2 4x x2的值域是y|0 y 2第十页【练4】求函数y=|x+1|+|x-2|的值域.2x 1(x1)解法1:将函数化为分段函数形式：y 3( 1 x 2)，画出它的图象(下图)，由2x 1( x 2)图象可知，函数的值域是y|y 3.解法2：v函数y=|x+1|+|x-2|表示数轴上的动点x到两定点-1, 2的距离之和，二易见y的最小值是3,.函数的值域是3, + .如图【练5】求函数y 2x 4.1 x的值域解：设 t ,1 x 则 t 0x=1 t2代入得 yf (t) 2 (1 t2) 4t2t2 4t 22(t 1)2 411 0.y 4 【练6】(选)求函数y疋严6的值域x2 x 6方法一：去分母得(y 1)x2+(y+5)x 6y 6=0162( 6)当 y