泛函分析考试试卷自制试卷

1、泛函分析考试试卷自制试卷 泛函分析考试试卷一、选择题。 1、下列说法不正确的是( )、 维欧式空间n 是可分空间 b、 全体有理数集为 的可数稠密子集、l 是不可分空间 d、若x为不可数集则离散度量空间x是可分的 答案：d 2、设t是度量空间(x,d)到度量空间(y，d）的映射，那么t在x0连续的充要条件是( )a、 当xnx（）时,必有xnt0(n）、当nx(n)时,必有txxn(n)c、当x0xn（n)时，必有txntx0(n)d、当xnx0（0）时,必有tnx0(n0) 答案: 3、在度量空间中有（ ）a、 柯西点列一定收敛，但是每一个收敛点列不一定是柯西点列b、 柯西点列一定收敛，而且

2、每一个收敛点列是柯西点列c、 柯西点列不一定收敛，但是每一个收敛点列都是柯西点列d、 柯西点列不一定收敛,但是每一个收敛点列不一定是柯西点列 答案： 4、关于巴拿赫空间叙述不正确的是( )a、完备的赋范线性空间称为巴拿赫空间、lpa,b（p1)是巴拿赫空间c、空间p是巴拿赫空间d、赋范线性空间的共轭空间不是巴拿赫空间 答案:d 5、 下列对共轭算子性质描述错误的是（ ）a、（a+b)*=*b*; b、（a)*=* c、当=y时，(a）b*a* d、(）* 答案:b2、 填空题 、度量空间x到中的映射t是x上的连续映射的充要条件为y中的任意开集m为 。 答案：原像t-1m是x中的开集 、设t是赋

3、范线性空间到赋范线性空间y中的线性算子，则为有界算子的充要条件是是x上的 。 答案：连续算子。 、若t为复内积空间x上有界线性算子，那么=0的充要条件是对一切xx有 。 答案:（x,x）0 4、有界线性算子t的共轭算子t也是有界线性算子，并且 。 答案:= 5、设n是巴拿赫空间x上的一列泛函，如果f在x的每点处有界，那么fn 。 答案:一致有界3、 判断题 1、自伴算子一定为正常算子,正常算子不一定是自伴算子。（ ) 2、设1和t2是希尔伯特空间x上两个自伴算子,则t*2自伴的充要条件是t*t=t2。( ） 3、强收敛必定弱收敛,弱收敛必定强收敛。( ） 4、设x和y都是巴拿赫空间，如果是从x

4、到上的一对一有界线性算子，则的逆算子t-1不是有界线性算子。（ ) 5、无界算子不是闭算子。（ ）四、证明题 . 设x 是赋范线性空间, f 是上连续线性泛函, 证明 f 的零空间 ( f ）是 x 中闭子空间证明:对任何 x, y n ( ), 及任何 a,bf (a x + by) =a f （x) +b f (y) = 0 所以 a x + by n （f ) 所以n (f)是线性空间.又设 n n ( f ), 且 x n x , 由 连续 f(x）= lmn (x n) = 0 所以x n ( f ).所以 ( ) 是闭集 . 设 x 是赋范空间,a， b b (x x)是x上正则算

5、子, 证明 t =a 是x上正则算子.证 a， b是正则算子, 所以a - 1， b-1 存在, 且 a- 1, - 1 b （x ） 令 =b - 1a - b (x x)， 则s t = - a -1 ab = , ab -1a- 1= i 所以 s = t - 1,所以 t是正则算子. . 设是实内积空间,a是h上自伴算子, 证明a=0 的充分必要条件是对所有 h, a x, x = 证明 必要性: a x, x =, x= 0, x h. 充分性: 对任意 x，y h 0 = (x + y), x + y = ax， x+ a x, y + y, + a y， y = x,y+ a y, 由 t是自伴算子 a ，x = y,a =a, y , 所以 2 a ,y= , y h 所以 x= 0 x 所以 a= 0. 4、证明：是可分空间。解:考虑集合,即是由至多有限个坐标不为0，且坐标都是有理数的元素构成。因此,是可数集。对于，有,所以，当时，有有理数的稠密性，可取得,使得令。且即在中稠密。依定义知是可分的。5、设是内积空间,则当，时,即内积关于两变元连续。解:是内积空间,设是由其内积导出的范数,由于,所以，使得当时均有和同时由于,故知有界，所以有限。因此可取因此故，即五、计算题 1、在实数轴