第十章凯恩方程

1、第十章 凯恩方程,东北大学理学院应用力学研究所 李永强,第2页,第十章 凯恩方程,10.1 偏速度和偏角速度 10.2 凯恩方程,1. 同appell思路一样构造独立的速度变量(伪速度)代替不独立的速度变量； 2. 引入偏速度(partial velocity)，偏角速度(partial angular velocity), 广义主动力(generalized active forces) ,广义惯性力(generalized inertia forces), 运动方程由形式简单的广义主动力，广义惯性力表示 3. 广义主动力，广义惯性力便于计算机计算，步骤程序化,第3页,10.1 偏速度和偏角

2、速度,对于刚体系统，类似地可对第 i 个刚体的瞬时角速度表示为:,式中 和 通常是广义坐标 qj 和时间 t 的函数。,根据伪速度的定义，系统的广义速度可以用 f 个独立的伪速度 表示为,则,其中,称为质点系中第 i 个质点相对于第个独立的速度变量 的偏速度。 和 一般为广义坐标 qj 和时间 t 的函数。,第4页,10.1 偏速度和偏角速度,类似可得,式中称 为刚体系中第 i 个刚体相对于第个独立的速度变量 的偏角速度。 和 一般为广义坐标 qj 和时间 t 的函数。,对于完整系统，由于广义速度 ( j=1 , 2 , , k )彼此独立，因此可以取伪速度 为广义速度，即 ( = j = 1

3、 , 2 , , k )，则相对独立广义速度的偏速度,第5页,10.1 偏速度和偏角速度,注意： 偏速度和偏角速度是关于广义坐标 qj 和时间 t 的矢量函数，是相对于独立速度而言的，这里的独立速度可以是独立的广义速度 ，也可以是预先选定的的独立的伪速度 。由于独立速度变量的选取不是唯一的，因此对于同一质点或刚体可以有不同形式的偏速度和偏角速度。但是对于质点系中每一个质点 mi 和刚体系中每一个刚体 di ，都分别有与系统自由度数相同数目的偏速度和偏角速度。因此，在讲偏速度和偏角速度时，必须指明是哪个质点或刚体相对应哪个独立速度的偏速度或偏角速度。,第6页,10.1 偏速度和偏角速度,考虑到

4、和,则可将 和 用 表示为:,因而，点 a 和点 b 对于独立速度 和 的偏角速度成为:,第7页,10.1 偏速度和偏角速度,例10-3 行星齿轮半径为r，由连杆oa带动沿固定的的大齿轮滚动。轮的半径为r。试求偏速度与偏角速度。,解：系统为单自由度完整系统，选连杆的转角 为广义坐标，则点 a 的速度可写成,式中 的矢量系数就是点 a 对于 的偏速度，即,其中l = r+r。以 表示连杆oa的角速度，有,故连杆对于的偏角速度为,第8页,10.1 偏速度和偏角速度,令行星齿轮的角速度为 ，则,于是齿轮的角速度矢 可写为:,故齿轮对于 的偏角速度为:,第9页,10.1 偏速度和偏角速度,例10-4

5、杆长为2l 的直杆 ab 作平面运动，假设其一端 a 的速度始终指向另一端 b ，试写出其中点 c 的偏速度。,解：取xa , ya 和为广义坐标，其约束方程为:,是一非完整约束，故系统为两个自由度。c 点的速度为:,若取,第10页,10.1 偏速度和偏角速度,则 c 点的偏速度:,注意到:,可以取为伪速度，若取,则有,可见伪速度的选择不是惟一的，偏速度将因伪速度的选择不同而有不同的形式。,第11页,10.2 凯恩方程,凯恩方程 广义主动力和广义惯性力的计算,第12页,10.2 凯恩方程,凯恩方程,从动力学普遍方程,出发导出凯恩方程,设有 n 个质点组成的质点系，具有 f 个自由度。选取 f

6、个伪速度 ( =1 , 2 , , f )，使系统中每一质点的速度用伪速度表示，即,由此得:,相对于伪速度 ，引入伪坐标 ，则第 i 个质点的虚位移 可以用独立的伪坐标的变分来表示，即,第13页,10.2 凯恩方程,凯恩方程,将上式代入动力学普遍方程，得:,变换求和次序，得:,令,则,由于是彼此独立的，于是有,凯恩方程,式中 和 分别称为系统对应于第个独立速度的广义主动力和广义惯性力。,第14页,10.2 凯恩方程,凯恩方程,将这 f 个方程与 g 个非完整约束方程联立求解，则可得到 f+g 个关于广义坐标qj(t)的方程组，求其解即可确定系统的运动规律。由此可见，利用凯恩方法建立系统的动力学

7、方程，关键是计算系统的广义主动力和广义惯性力。,凯恩方程,第15页,10.2 凯恩方程,广义主动力和广义惯性力的计算,广义主动力 广义惯性力,第16页,10.2 凯恩方程,广义主动力和广义惯性力的计算_,广义主动力,对于完整系统，如果取广义速度 为独立速度 ( =j)，由上节可知，偏速度 ，于是广义主动力,也就是说，广义主动力即为拉格朗日方程中系统对应于广义坐标的广义力。对照第二类拉格朗日方程，根据凯恩方程给出的结果，广义惯性力可由系统的动能表示，即,因此，对于完整系统，凯恩方程与第二类拉格朗日方程是等价的。,第17页,10.2 凯恩方程,广义主动力和广义惯性力的计算_,广义主动力,对于一般的

8、质点系，广义主动力可表述为：,质点系中每一质点上作用的主动力与该点对应于某一独立速度的偏速度的标积之和，称为系统对应于该独立速度的广义主动力。,以k表示，即,对于刚体，广义主动力可表述为：作用于刚体简化中心上的主矢和主矩，分别与该点对应于某一独立速度的偏速度与偏角速度的标识之和，称为刚体对应于该独立速度的广义主动力。假设o点为刚体的简化中心，则有,第18页,10.2 凯恩方程,广义主动力和广义惯性力的计算_,广义主动力,现进行证明： 当刚体作一般运动时，其上任一质点 i 的速度,式中 表示简化中心的速度， 表示刚体的角速度， 表示质点i相对简化中心 o 点的矢径。,、 和 可用伪速度表示，即,

9、将上式代入,比较等式两边 前面的系数，可得,第19页,10.2 凯恩方程,广义主动力和广义惯性力的计算_,广义主动力,上式表明，刚体上第 i 个质点相对第个独立速度的偏速度，可用刚体简化中心o点和刚体相对第个独立速度的偏速度和偏角速度表示。将上式代入广义主动力的表达式，则有,则,若系统由n个刚体组成，则,第20页,在计算惯性力时，需对各点的加速度进行分析，然后在每个质点上加上惯性力，算出每一质点上作用的惯性力与该点对应于某一独立速度的偏速度的标积之和，即为系统对应于该独立速度的广义惯性力。 对于刚体，与计算广义主动力的推导方法相同，得,10.2 凯恩方程,广义主动力和广义惯性力的计算_,广义惯

10、性力,对于质点系，可由下式计算出,若将简化中心选在刚体的质心 c 上，则,式中m为刚体的质量，ac 为质心的加速度。,第21页,10.2 凯恩方程,广义主动力和广义惯性力的计算_,广义惯性力,若取质心 c 为平动坐标系的原点，则有,表示刚体上第 i 个质点相对于平动坐标系的加速度，,又因 ，则,令,则,同理可得整个刚体系统的广义惯性力,式中角标 ci 表示第 i 个刚体的质心。,第22页,10.2 凯恩方程,例10-5 质量为m，半径为 r 的均质半圆盘，在粗糙的水平面上摆动，设 ，c为半圆盘的质心。试用凯恩方程摆动的微分方程。,解：系统具有一个自由度，取为广义坐标，令 。,c点对应于 的偏速

11、度为:,半圆盘转动的角速度 :,半圆盘对应于 的偏角速度:,在半圆盘上主动力只有其重力 作用，即,质点c的速度:,第23页,10.2 凯恩方程,于是系统的广义主动力:,c 点的加速度:,则半圆盘上各点惯性力的主矢:,半圆盘上各点惯性力对 c 点的主矩:,系统的广义惯性力 :,第24页,10.2 凯恩方程,由凯恩方程:,得,即,第25页,10.2 凯恩方程,例10-6 重量为 p 的滑块可在光滑的固定水平面上滑动。半径为a、重量为q的匀质圆柱同时在滑块的斜面上滚动。已知斜面倾角为，试写出在重力作用下系统的运动方程。,解：系统是两个自由度完整系统, 选取 x, s 为独立的广义坐标，则 , 为独立

12、的广义速度。c1点的速度,c1 点对于两个独立速度的偏速度分别是：,c2点的速度：,c2点的两个偏速度分别是：,这里 是沿 的单位矢。,第26页,10.2 凯恩方程,滑块作平动，其角速度10，故滑块的偏角速度也恒等于零。,圆柱的角速度：,故圆柱的两个偏角速度是：,系统对独立速度 的广义主动力是：,同理可计算出系统对独立速度 的广义主动力是：,第27页,10.2 凯恩方程,在计算广义惯性力以前，可先将各刚体的惯性力系向各自的质心简化。对于滑块，其惯性力系简化为在c1 点的一个主矢:,对于圆柱，其惯性力系简化为在c2 点的一个主矢:,和一个惯性力偶，其矩矢:,第28页,10.2 凯恩方程,则系统对于独立速度 的广义惯性力：,系统对于独立速度 的广义惯性力：,由凯恩方程，得:,或,第29页,10.2 凯恩方程,由此可以解得：,可见，在重力作用下，滑块作匀加速滑动，而圆柱在斜面上作匀加速相对滚动。,第30页,10.2 凯恩方程,例10-7 长为2l ，质量为 m 的均质杆 ab 在水平面上