【教学设计】《线段的垂直平分线》翼教版

1、线段的垂直平分线 教材分析本 是八年 上学期第 16 章第二 内容，它即是 前一 关于 称 形性 的再 ，又是今后几何作 、 明、 算的基 。学 程中渗透的 化、探索、 等数学思想方法 学生今后的数学学 也有重要的意 。 学 段垂直平分 相关知 是 学生 造了一次探究的机会， 是学 几何学的一次磨 ， 更是学生学 几何学的一次成 。 教学目标【知 与能力目 】1. 理解 段垂直平分 的性 定理及其逆定理, 能灵活运用 段垂直平分 的性 定理及其逆定理解 .【 程与方法目 】1. 通 探索 段的 称性, 一步体 称的特征, 展合情推理的能力.2. 掌握作 称 形 称 的方法.【情感 度价 目 】

2、1. 增 学生学 的 趣 , 培养学生 的学 度 , 增 学 的自信心 .2. 展学生演 推理能力 , 累一定的数学活 , 体会合情推理和演 推理的不同作用. 教学重难点【教学重点】【教学 点】 段垂直平分 的性 定理及其逆定理 . 段垂直平分 的性 定理及其逆定理的 用. 课前准备【教 准 】 件 15.【学生准 】复 段垂直平分 的定 以及 称的知 . 教学过程新 入【 件 1】 如 所示 , 木条 l 与 AB 在一起 ,l 垂直平分 AB,P1,P2,P3, 是 l 上的点 , 分 量一量点 P1,P2,P3, 到 A 与 B 的距离 , 你有什么 ?1. 用平面 将上述 行 化 ,

3、已知 段 AB及 AB的垂直平分 l, 在 l 上取 P1,P2,P3, , 接 AP1,BP1,AP2,BP2,AP3,BP3 2. 作好 后 , 用直尺量出AP1,BP1,AP2,BP2,AP3,BP3 什么 的 律. 意 通 学生 形的抽象、 察、 量 段垂直平分 上的点到 段两端的距离相等 一 , 从而 下面的 一步探究做好 .自主探究，构建新知活 一 : 一起探究 段垂直平分 的性 【 件 2】如 所示 , 已知 段AB和它的中垂 l,O 垂足 .在直 上任取一点P, 接 PA,PB, 段 PA和 段 PB有怎 的数量关系由.?提出你的猜想 明理学生猜想得出 : 事 上 , 因 段

4、AB是 称 形 , 垂直平分 l 是它的 称 , 所以 段 AB 沿 称 l 折后 , 点 A 和点 B 重合 , 段 PA 和 段 PB 重合 , 从而 PA=PB. 思路二教 指 学生画 段 AB, 通 折的方法 , 找到它的垂直平分 , 然后在 称 上确定几个点, 学生 量 , 思考有什么 ?【 件 3】如 所示 , 直 l 垂直平分 段 AB,P1,P2,P3, 是 l 上的点 , 分 量一量点 P1,P2,P3, 到点 A 与点 B 的距离 , 你有什么 ?由学生 命 , 教 予 正 , 使之 范 .命 : 段垂直平分 上的点到 段两端的距离相等. 个命 , 是我 通 察、猜想得到的

5、, 得在理 上 明是正确的才能作 定理 明 个命 的正确性. 同学 先根据 个命 画出 形( 如 所示 ), 写出已知、求 ., 我 来已知 : 如 所示 , 段 AB和它的垂直平分 l, 垂足 O,点 P 直 l 上任意一点 , 接PA,PB.求 PA=PB.引 学生利用SAS 明PAOPBO,从而得到PA=PB. 明 : 在PAO和PBO中 , PAO PBO(SAS),PA=PB(全等三角形的对应边相等).教师说明 : 经过刚才的证明我们得到这个命题是正确的.因为点 P 是线段的垂直平分线上一点, 所以我们就得到了线段垂直平分线的性质定理:线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等.师:

6、分析定理的条件和结论.点 P 在线段 AB 的垂直平分线上PA=PB.( 条件 )( 结论 ) 知识拓展 (1) 线段垂直平分线的性质是线段垂直平分线上所有点都具有的共同特征, 即线段垂直平分线上的每一个点到线段两端的距离都相等.(2) 由性质定理的证明可知 , 要证明一个图形上每一个点都具有这种性质 , 只需要在图形上任取一点作代表即可 .(3) 这个定理向我们提供了一个证明线段相等的方法.说明 : 今后我们可以直接利用这个性质得到有关线段相等, 同时这也可当作等腰三角形的一种判定方法 .活动一 : 一起探究线段垂直平分线性质定理的逆定理师: 反过来 , 与一条线段两个端点的距离相等的点是否

7、一定在这条线段的垂直平分线上呢?我们也可以通过“证明”来解决这个问题.生: 画出图形 ( 如图所示 ), 写出已知 , 求证 .已知 : 如图所示 ,P 是线段 AB外一点 , 且 PA=PB.求证 : 点 P在线段 AB活动一 : 一起探究线段垂直平分线性质定理的逆定理 过渡语 我们知道 , 线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等. 反过来 , 到线段两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线上吗?思路一师: 反过来 , 与一条线段两个端点的距离相等的点是否一定在这条线段的垂直平分线上呢?我们也可以通过“证明”来解决这个问题.生: 画出图形 ( 如图所示 ), 写出已知 , 求证 .已知 :

8、如图所示 ,P 是线段 AB外一点 , 且 PA=PB.求证 : 点 P在线段 AB的垂直平分线上.师 : 为了证明 P 点在 AB 的垂直平分线上 , 可以过 P 作辅助线 , 先构造 “垂直或平分” 中的一个关系 , 去证明另一个 . 特别要注意防止 “过 P 作线段 AB的垂直平分线” 这种错误 . 你能根据提示, 说出证明过程吗 ?证明 : 设线段 AB的中点为O,连接 PO并延长 .在 POA和 POB中 , POA POB(SSS), POA=POB, POA+POB=180 , 2 POA=180 , POA=90.直线 PO是线段 AB的垂直平分线,点 P 在线段 AB 的垂直

9、平分线上.师 : 在证明过程中 , 我们又得到了线段垂直平分线的判定方法 : 与一条线段两个端点距离相等的点 , 在这条线段的垂直平分线上 . 所以线段的垂直平分线可以看成是与线段两端点距离相等的所有点的集合 .生 : 判定方法只能判定点在线段的垂直平分线上 , 那怎么才能判定这条直线就是线段的垂直平分线呢 ?师: 这个问题提得很好, 大家想一想 , 几点确定一条直线?生: 两点 .师: 所以只要我们能证明一条直线上有两点满足判定方法的条件, 那么这条直线就一定是线段的垂直平分线. 知识拓展 (1) 要证明某条直线是某条线段的垂直平分线, 有两种证明方法: 一是根据定义去证明 ; 二是根据“两

10、点确定一条直线”, 证明直线上的两个点都在这条线段的垂直平分线上.(2)根据线段垂直平分线的判定定理可以作线段的垂直平分线.的垂直平分线上.师 : 为了证明 P 点在 AB 的垂直平分线上 , 可以过 P 作辅助线 , 先构造 “垂直或平分” 中的一个关系 , 去证明另一个 . 特别要注意防止 “过 P 作线段 AB的垂直平分线” 这种错误 . 你能根据提示, 说出证明过程吗 ?证明 : 设线段 AB的中点为O,连接 PO并延长 .在 POA和 POB中 , POA POB(SSS), POA=POB, POA+POB=180 , 2 POA=180 , POA=90.直线 PO是线段 AB的

11、垂直平分线,点 P 在线段 AB 的垂直平分线上.师 : 在证明过程中 , 我们又得到了线段垂直平分线的判定方法 : 与一条线段两个端点距离相等的点 , 在这条线段的垂直平分线上 . 所以线段的垂直平分线可以看成是与线段两端点距离相等的所有点的集合 .生 : 判定方法只能判定点在线段的垂直平分线上 , 那怎么才能判定这条直线就是线段的垂直平分线呢 ?师: 这个问题提得很好, 大家想一想 , 几点确定一条直线?生: 两点 .师: 所以只要我们能证明一条直线上有两点满足判定方法的条件, 那么这条直线就一定是线段的垂直平分线. 知识拓展 (1) 要证明某条直线是某条线段的垂直平分线, 有两种证明方法

12、: 一是根据定义去证明 ; 二是根据“两点确定一条直线”, 证明直线上的两个点都在这条线段的垂直平分线上.(2)根据线段垂直平分线的判定定理可以作线段的垂直平分线.【课件4】已知 : 如图所示, 点 A,B是直线外的任意两点, 在直线l 上 , 试确定一点P, 使AP+BP最短 .解: 如图所示 , 作点 A 关于直线l 的对称点A, 连接 AB, 交直线 l 于点 P, 则 AP+BP最短 .引导学生分析 , 证明 .【提出问题】(1) 我们知道两点之间线段最短, 那么怎样把PA和 PB 这两条线段转化到一条线段上?学生讨论、 分析得到 : 要作其中某一点关于直线l 的对称点 , 对称点与另

13、一点的连线与直线的交点 , 即为点 P.(2) 在直线 l 上任取一个异于点P 的点 P, 怎样利用“两点之间线段最短”加以证明.学生小组内交流, 教师指一名学生板演.解: 点 A和点 A 关于直线l 对称 ,l AP=AP. AP+BP=AP+BP=AB(等量代换 ),如图所示 , 在直线 l 上任取一个异于点P 的点 P, 连接 AP,BP,AP,则 AP+BPAB(两点之间线段最短 ).即 AP+BP=AP+BPAB=AP+BP. AP+BP最短 .已知 : 如图所示 , 在 ABC中 ,AB,AC 的垂直平分线 DP与 EP相交于点 P.求证 : 点 P在 BC的垂直平分线上.引导学生

14、分析 , 要让点 P 在 BC的垂直平分线上, 就是要证明BP=CP.学生证明 , 写出证明过程, 教师巡视指导后全班讲评.证明 : 如图所示 , 连接 PA,PB,PC. DP,EP 分别是 AB,AC的垂直平分线 , PA=PB=PC,点 P 在 BC的垂直平分线上.( 教材第 116 页做一做 ) 已知 : 如图所示 , 在四边形ABCD中 ,AB=BC=CD=AD,ACBD,垂足为 O.求证 :AO=OC,BO=OD.让学生独立思考后完成.证明 : 因为 AB=BC,CD=AD,所以点 B,D 均在线段 AC的垂直平分线上 , 直线 BD是线段 AC的垂直平分线 , 所以 AO=OC,

15、同理 ,BO=DO.【拓展延伸】三角形三边的垂直平分线交于一点.教师讲解 : 根据线段垂直平分线的性质定理及判定定理 , 我们很容易证明三角形三边的垂直平分线交于一点 .如图所示 , 其思路可表示为: 设计意图 让学生尝试应用线段垂直平分线的性质定理的逆定理解题, 培养学生的应用能力 .课堂总结：用自己的话说一说，本节课你学到的知识；线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等.到线段两端距离相等的点, 在线段的垂直平分线上.检测反馈，巩固提高1.(2015 随州中考 ) 如图所示 ,ABC中 ,AB=5,AC=6,BC=4, 边 AB的垂直平分线交AC于点 D,则 BDC的周长是 ( ) A.8

16、 B.9C.10D.112.(2015 达州中考 ) 如图所示 ,ABC中 ,BD 平分 ABC,BC的垂直平分线交BC于点 E, 交 BD于点 F, 连接 CF. 若 A=60 , ABD=24, 则 ACF的度数为 ( 提示 : 等腰三角形的两个底角相等) ()A.48 B.36 C.30D.243.(2015 遂宁中考 ) 如图所示 , 在ABC中 ,AC=4 cm, 线段 AB的垂直平分线交 AC于点 N, BCN的周长是7 cm, 则 BC的长为()A.1 cmB.2 cm C.3 cmD.4 cm4. 如图所示 ,ABC中 ,DE 是 AC的垂直平分线 ,AE=4 cm,ABD的周长为 14 cm, 则 ABC的周长为()A.18 cm B.22 cm C.24 cm D.26 cm5. 如图所示 , 四边形 ABCD中,AC 垂直平分BD,垂足为 E, 下列结论不一定成立的是( 提示 : 等腰三角形的两个底角相等)()A.AB=AD B. ABC=ADCC.AB=BD D.BEC DEC6. 如图所示 , 点 D 在ABC的边 BC上 , 且 BC=BD+AD,则点 D在 () 的垂直平分线上.A.ABB.ACC.BCD.不能确定7. 直线 l 外有两点A,B, 若要在 l 上找一点 , 使这点与点A,B 的距离相等 , 这样的点能找到()A.0个B