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1、1,第七章 埃尔米特（Hermite）多项式,特殊函数之三,2,7.1 Hermite多项式的定义,1. v阶Hermite方程的解,v阶Hermite方程,用幂级数法求解该方程，设方程的解为,代入方程，整理，得,从而有,由上式知,3,4,从而得方程的解为,5,其中是任意常数，又是方程的两个线性无关的解，故上式是方程的通解。,两个级数在实数域内收敛。,6,考察系数递推关系式,为了了解上述多项式的系数形式，改写递推关系式为,2. Hermite多项式,当v是正整数n（包括零）时，,进一步知，当n是偶数（包括零）时，变成了多项式， 仍为无穷级数；当n是奇数时，变成了多项式，仍为无穷级数。,则,7,

2、则,8,取则,当n为偶数时，有系数，对应多项式,为关于x的偶次方的多项式,当n为奇数时，有系数，对应多项式,为关于x的奇次方的多项式,n次Hermite多项式,9,统一写法，有,前几次Hermite多项式,10,7.2 Hermite多项式的母函数与递推公式,令,将其展开成变量t的Taylor级数，则有,则是n次Hermite多项式。,证明：,11,比较同次幂系数有,即,12,即,比较同次幂系数有,即,13,是Hermite方程的解，故是Hermite多项式。,定义：称是Hermite多项式的母函数。,Hermite多项式的微分形式：,14,Hermite多项式的微分形式：,Hermite多项式的递推公式：,15,证明从略。,7.3 Hermite多项式的正交性及其应用,结论：Hermite多项式在上关于权函数 正交，即,结论：设f(x)为定义在上的函数，且满足,（1）f(x)在任何有限区间内都是分段光滑的函 数；,（2）,16,则f(x)必能展成如下形式的级数：,其中,在不连续处有,在连续处有,17,解

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