高二数学第4讲 双曲线1学生

1、3 L 高二学生卷 数学团队专用 L3 新思维学校成功成功法则：目标兴趣信心方法勤奋? 22xyabL3:)?0?0,b?1(ax?xyy 的渐近线）是3、双曲线的渐近线:；（ 圆锥曲线与方程 专题（选修高二数学2-1） 22baba2bc2c 双曲线及其几何性质第四讲 ?1e?e1?e 叫做双曲线的离心率。、离心率：，范围：4 2aa2a 一、考点定位：2222ayxa?xl:?1l:x 。 5、准线方程： 对于；右准线，左准线 2122ccba 、掌握双曲线的定义、标准方程和双曲线的简单几何性质；12222ayax?:yl?1l?:y 。 对于；上准线，下准线 2、理解直线与双曲线的位置关

2、系问题。 2122ccba 、理解与双曲线有关的面积问题、对称问题、范围问题、向量问题、最值、定值等问题。3?ey?MF?exMF?a?a 0110xy轴：轴：焦点在 焦点在焦半径公式： 6、 ?ey?MF?MFa?exa? 二、知识网络：?0220 。 两种形式的区别可以记为：左加右减，下加上减（带绝对值号） 轴焦点一 2b2?|ABBA定 两点，则弦长 7、通径的定义：过焦点且垂直于实轴的直线与双曲线相交于意a,b,c,图标准方 a义y 轴上焦点在 2?cotbS?FPF2）（。 8、焦点三角形面积公式： ，21PFF?21 e?2b?a。（四）等轴双曲线： 即实轴和虚轴等长，这样的双曲线

3、叫做等轴双曲线， 实、虚轴对称性 准线方程 双（五）双曲线的关系： 曲 性质 b线x?y?，那么与此双曲线方程共渐 1、共渐近线的双曲线系：已知一双曲线的渐近线方程为 焦半径 范围 渐近线 a 22yx? 中点问题面积问题 对称问题?0(?), 。 近线的双曲线的方程可以设为 第 22ba 应用二 22yx定 。 弦长问题向量问题。 C:?1的实轴为虚轴，虚轴为实轴，这样得到的双曲、共轭双曲线：以已知双曲线 2义 122ba 2211xy 三、主干梳理：:?C?1C?1e?e?22。的共轭双曲线，且有和 称为双曲线线 21212222abeey （一）双曲线定义 21|)a22|MF?|MF|

4、?a?FF| 1、第一定义：（。 四、考点聚焦：2121B|MF 双曲线的定义问题 考点题型1 2)?e1?(e 。 2、第二定义： d 、双曲线的第一定义1 （二）双曲线标准方程)0(1,P到定点例1动点F)03,(F2P ）的距离比它到定点 ，则点 的轨迹是（ 的距离小 22yx21xAAO)?0b0a1?(?,x 1；、焦点在轴上的双曲线标准方程： 21 22ba ）两条射线 （D（C）一条射线 （A）双曲线 （B）双曲线的一支 22xyB)b0a(?1?,?0y 2、焦点在轴上的双曲线标准方程：。 1 22 ba22yx 1? （三）双曲线的性质：以研究双曲线的几何性质。 22ba x

5、y 轴叫双曲线的对称轴。原点叫双曲线的对称中心，简称中心，: 、对称性 1轴、22yx（湖南联考）已知双曲线2例 两点，F，交双曲线左支于A、B1，直线l过其左焦点? 1aAAb0,0B),?b,0(Ba?A),0a(,Aa2m7 实轴：， 长为, 、顶点： 2 ，特殊点：叫做实212211222BBbc?abb2 。其中叫做虚半轴长。，长为虚轴： 半轴长 . F，|AB|4 且21 ）的周长为为双曲线的右焦点，ABF20，则m的值为（221 翻印必究 版权所有 成就梦想 追求卓越3L 高二学生卷 新思维学校 L3数学团队专用 成功成功法则：目标兴趣信心方法勤奋? LC; 求圆的方程D）20

6、的圆心轨迹）16 （ ）8 （B）9 （C（ ArC)yC(x, 22，圆，半径为的圆心为解析：设圆5,0)?F(4?x?5)y(, 的圆心为1 2 22圆半径为 ；5,0)(F4?y?(x?5)2 ,的圆心为半径为； 2 2?CF|?r|? 2?r?|CF|所以， 依题意,有或?|F?|FCF|?4?25|CF|?| 11?2211 2、双曲线的第二定义?|2CFr?|CF?r?2|?2255M(5,1?x. 例3，且以直线已知双曲线经过点为右准y5c22LC , 轴上 所以圆,的圆心轨迹,是以原点为中心焦点在焦距为 )(2,0F 为此双曲线右焦点，求双曲线的方程；1）如果（2x15,b?L

7、2?4a2a 2的方程为,实轴长为 ,因此故轨迹的双曲线1?y. M M42e? ）如果离心率，求双曲线中心的轨迹方程。（21：2),2:(4(4)2222已知圆变式训练?C?x?yCx?yM与两圆都相切，则动，动圆21),y(Px （解析：1）设是所求双曲线上任一点，FANA1M1 ） 圆圆心 的轨迹方程是（ 由双曲线的第二定义：222222yxyyxx2222x)2)?(55?02(x?)y?(5)1(2110x?O或 （D）B ） （）（AC） （?x?, e? 1?x142141422|?11x|?|5|22222整理可得： 0y3x?x?4?)x)?(x2?y4?(?1 ，即0?x

8、)(,)x,y(N，则右焦点）设双曲线中心（2y?Fcx)(yxa?,A ，右顶点 1|AF|)(a?x?xc?)(2ac?2 ，又依题意：，（1 2?A?,是右准线与实轴的交点） 11x?)?a(|AA|1 |MF|),3(4x2?a2（故 ，即 1MMMyxF?2? 垂直于右准线，又,为垂足） 111|MM1 圆锥曲线的方程问题 考点题型3 12)(9x?222)?345(?x(y55)?)(55y? 3 、圆锥曲线方程成立的条件112 ，整理可得： 即? 646415?1)(5(322讨论6例?y?m?mx 表示的曲线。 2 考点题型 与定圆相切中的动圆圆心轨迹问题010:242222已

9、知定圆4例0y?:Fx?x?9?x?10?F?xyMy0m?3?05?m3m?与定圆，定圆，动圆 1）当，曲线为焦点在轴上的双曲线；，时，（解析：21FF、M 的轨迹方程。都外切，求动圆圆心2123?m2时，方程为：（2）当x?1?y2y ，表示两条平行于轴的直线； 2 0m?05?3?m?5m3 ）当（3，曲线为椭圆型曲线时， 11 x04?3?m ，曲线为焦点在时，轴上的椭圆；当 ? m35?m? 14m?22时，曲线为圆，方程为：当 ?xy 115?4?m时，当?0y 轴上的椭圆；，曲线为焦点在 mm?35? C 2222与两圆例5（广东）设圆45)?(x?x4,(?5)y?y中的一个内

10、切，另一个外切。2 翻印必究 版权所有 成就梦想 追求卓越3L 高二学生卷 新思维学校 L3数学团队专用 成功成功法则：目标兴趣信心方法勤奋? 25?m时，方程为：）当（42y?x?1?2x ，表示两条平行于轴的直线； 2 x0m?3?05?m5m? ，时，（5）当，曲线为焦点在轴上的双曲线； 、求曲线方程2考点题型6 最值问题、存在性问题 例10是否存在同时满足下列条件的双曲线，若存在，求出其标准方程；若不存在，说明理由。 22yx)?3A(23,1 共渐近线且过点的双曲线的标准方程。例7求与双曲线? 916x?2y?0x?2y?0；及 渐近线为 6P)0(5,A。的距离的最小值为 点到双曲

11、线上动点 解析：假设存在满足条件的双曲线 2x22yxxP(x,y)22则有设设方程为：，（1）若双曲线的焦点在，轴上：)1,(0b?y? ?b? 422bb4 5 )?2b,?2b?x?(?,2222 ） （， b?5(x(x?5)?y4?)|AP|? 4 弦长问题考点题型4 2b?4x?4|562时，当时，当?AP?b，无解； min2x已知双曲线例81Fl2ll、C的，过双曲线为右焦点作垂直于的渐近线分别?yC:?562165|2b2b2x?421 时，时，当当?AP?b?b?4 ，即 min22BA、C|AB）（ 直线交双曲线于）两点，（1求2；FAB?FC 的左焦点，求的周长。为11

12、22yx465 即1?b?，此时的双曲线为： 2222)5?6)?6(5( 22xy1yRx? 2）若焦点在轴上，设方程为：，（ ? 22bb4 5 222同理可得： b54(x?)?|AP|?4x?6?b?|AP|?5 ，当时， min4 2x 11?b2，此时双曲线的方程为：即?y? 。 4 222 xy4x112或综上所述，双曲线的方程为：?y? 。 422)(5?6(56)? 焦点三角形问题 5 考点题型 2由直线和双曲线的位置关系确定参数取值范围 考点题型7 x 12的两个焦点为9已知双曲线例?yF、F3?SP 在双曲线上，点 21PF?F4212x12kx?l:y?B、A2 两点，

13、11直线和双曲线的左支交于例?y?则PFPF （ ） 3213?32?2 ）（ C D（） ）B（ ）（A y k 1）求的取值范围；（P AB的垂直平分线（2）若线段m),mM(0yl 与轴交于点，求的取值范围。? y xOFF 21 A3 成就梦想 追求卓越 翻印必究 版权所有 xOB3 L 高二学生卷 新思维学校 L3数学团队专用 成功成功法则：目标兴趣信心方法勤奋? 1243 D） ）（ （B） （CA （） 22yx31xy的渐近线方程为、若双曲线4?，则双曲线的焦点坐标是 。 m42 122、双曲线5?xky?k2的值为 的一条渐近线的斜率是 ，则 。 22yx(,)l为左准线，的

14、左、右焦点，6、设1?yPxFF、为双曲线左支上分别为双曲线 002154 Pld，已知点到的距离为一点， d,PF,PFx的值. 成等差数列，求 210 531 )C是到点、已知曲线7?y,?P(Q(?1,0)l的直和到直线是过点距离相等的点的轨迹， 882MMA?lMB?xllCBA,y 线，是在上（不在上）的动点；轴上， M 六、精彩点评：C 1）求曲线的方程；（l 、与双曲线有关的性质问题。1 、最值、定值问题。 2 2|QB|Al为常数. 2）求出直线的方程，使得（B |QA| 4 、直线与双曲线的位置关系问题。 3、定型、定位、定量 xQO 5、解析几何题的解题思路 七、超越梦想：

15、 22yx1k （ ） 表示双曲线，则、已知方程1的取值范围是 ? k1?k1? 10?k?k?1k100?k?k A（） ）D或）（ ）（B C（ 2y1P2为双曲线2、设 ?x?2?:PFPF:3F、F,上的一点，是该双曲线的两个焦点，若 212112 则F?PF （ 的面积为 ） 21 363122412 ）（ A ）（ C ）D（ ）B （ 22yx（湖南）设双曲线、3a0)a?1(?0?y?x32 的渐近线方程为的值为（，则 ） 29a 4 翻印必究 版权所有 成就梦想 追求卓越3 L 高二学生卷 数学团队专用新思维学校 L3 成功成功法则：目标兴趣信心方法勤奋? 2222yxxy1

16、1 ）与双曲线有公共焦点，则双曲线的渐近线为（、椭圆1 ? 2222n2m3nm35 315153yx）（Axy?y?xyx? （C ） （D（ B） 4422 参考答案：22yx2、已知双曲线0)?a?0,b?1(,0)c,0),F(cF(?，若双曲线上存的左、右焦点分别为1 2122ba)(?7,0),(7,0、54、 A 1、 2、B 3C 、 ? 4FPFsin?aP 在一点 使 成立，则该双曲线的离心率的取值范围是 21?43 , 由双曲线方程知，、解析:6.x?2?a2,e?l:x?, csin?PFF 01232 则根据已知条件及双曲线的定义可得： 55,0)(FCO 的离心率为

17、中心，3、（重庆）已知以原点为右焦点的双曲线?e. 32 4PFPF?PFPF?d?2d?PF ,，, 111222C 的标准方程及其渐近线方程；）求双曲线（12848d? ， 由以上条件解得?,?x8?x? 。）如图，已知过点（2x?x),yxNM(x,y)(4?x?4yyxl）（其中与过点的直线： 0033122211111 22的直线4?4yyxx?ClEMN31与双曲线的两条渐近线：在双曲线的交点上，直线?)，(NxyC ）解：设（7、1为，上的点，则222?y?NP|x?y82? OH?OGHG . 、两点，求分别交于的值ll1 222 51355? ?y?yyx?N?y 由题设得到

18、直线的距离为? 88288?G 1C2的方程为化简，得曲线)xx?y(? N 2x OH )?xBkkxyl:?(，kxk2，从而2（）直线，则1|x?k1|QB?| M E1l0)，1(?Q的直线垂直于过1)?x(?y:l 1ky Mg|2?kx1|x|?| |?|QAMH| 因为，所以?QA|l 2k?21 lA1B 222H 1?kx1k2(1QB|?)g? 2|QA|k| ?xxQOk 2|QB|2k? 时，当55? ， |QA| 0yx2?2?l 从而所求直线方程为 L3: 2-1高二数学专题（选修） 圆锥曲线与方程 第四讲 双曲线及其几何性质（提高卷） 双曲线的离心率、渐近线问题是

19、考查双曲线性质的重要考点5 翻印必究 版权所有 成就梦想 追求卓越3L 高二学生卷 新思维学校 L3数学团队专用 成功成功法则：目标兴趣信心方法勤奋? 2xE441上，所以在双曲线因为点222?xy?y? 代人上式 EE4 12123得3?OG?OH?OH?OG? 。，故 参考答案： 224y4x?EEx 222222轴上，且1、解析：由方程可知曲线的焦点在n?mm?3n3m8?5n?2 2n33x22由双曲线方程知其渐近线的方程为?yn?8mx?y? ，将代入，得， 24m2L3 :专题高中数学复习备考训练D 故选|PF|PF| 一、选择题： 、解析：因为在，2F?PF12?中，由正弦定理得

20、 21FPFFPFsin?sin?122122yxP2222为双曲线1.FPFsin?caa1?1y4(x?5)(x?5)?y?NM,上和的右支上一点， 分别是圆?，则由，得又有 21|?c?PF|?a|PF|? ，即，169 21|PFF|PF|sin?PFc|PN?|PM|1122 ）的最大值为（ 的点，则 |PFaP1在双曲线的右支上，设点知点又由)x(,y2?9786 由焦点半径公式， D （）（C） （B） （A） 00c|PF11?x)0x?)xf(|?PFexa|则满足设时是单调函数，是连续的偶函数，且当2x(f)?f(2x，得)?ex)?caex?(aa之和的所有PFc?a|?

21、|PF|a?exPF 则 00212?1?4x?1)aa()c?ae?()a(e1?ax?a ）为（ 由双曲线的几何性质知，则解得?x? 001)e?e(ca)?e()1?e(e79）（A?88? ） （D B （） （C） 2整理得0,ee?2?11)?(1?,2e2e1?2?1?1?e ，又解得，故椭圆的离心率 2222yx 二、填空题：C5?c)01(,0 ，1（）设双曲线的的标准方程为，由题意、解析：3?b?a 22ba1x?y?2x5c?, 又 2C12?,ba?1?y?e的标准方程为得双曲线的,42x?y? y3?x?zyx,42a 。 满足 3已知，则函数 的最小值是?x3?2y

22、?C0y?x2?y?20x? 双曲线的和的渐近线方程。?3?2y3x?)(,）由题意知点2（4?yyx:lyy?:lyExxx4?4x?4 上，和在直线21E2E211RR?x)(3f6)?(xy?f()x)?ff(x?44成立，当因此有上的偶函数，对于是都有4已知函数4?y4?x?xxyyxy ，E1E221EE4yy?xx4?N,M 上，均在直线故点)x(xf)?fEE 给出下列命题：x?x0,3?,xx210?时，都有，且MNMN4yy?4xx?HG, 与渐近线分别是直线因此直线的方程为 。已知2121xx?EE214?x4x?yy?6x?)y?f3f()?0(x 是函数的图象的一条对称

23、轴； 直线 ； EE及0x?2x?y0y2?组，交的点由方程及?02x?y?)x?f(?f(x)?9,6yy?99,? 在函数函数上为增函数； 在 上有四个零点44?x?x?) 填上命题的序号都 (把所有正确 其中所有正确命题的序号为 GH4?yy?xx4yx?2y?x2?EEEEEE 及，解得 ?0x?y?222 三、解答题：?y?y? GH?x2?yy?x2?EEEExxx)2已知向量5)cos?(cos,?m(3sin),1n 。122424 故444?OHOG? 22yxy2x?2yxy2?x2?y?4x?2EEEEEEEEEE1n?m?求（,1）若?xcos()的值; 36 翻印必究 版权所有 成就梦想 追求卓越3L 高二学生卷 新思维学校 L3数学团队专用 成功成功法则：目标兴趣信心方法勤奋? n?f(x)?mABC?c,A,B,Ca,b1? 的对边分别是中，角，且满足，在（2）记3?20qqa?a?2q?q?11 或解之得2?Ccos?b(2a?c)cosB)(Af 的取值范围。，求函数2a?28aaq?32?a113?1 n 又 a2a?2?a2q? ，单调递增， n1n nnn）（22?n?logb2?2 , 1n 2已知单调递增的等比数