柯西不等式各种形式的证明及其应用

1、2柯西不等式各种形式的证明及其应用nn2 ,2 ak tkk 1 k 1naAk 1柯西不等式是由大数学家柯西（Cauchy）在研究数学分析中的“流数”问题时得到的。但从历史的角度讲，该不等 式应当称为Cauehy-Bu niakowsky-Schwarz 不等式，因为， 正是后两位数学家彼此独立地在积分学中推而广之，才将这一不等式应用到近乎完善的地 步。柯西不等式非常重要，灵活巧妙地应用它，可以使一些较为困难的问题迎刃而解。 西不等式在证明不等式、解三角形、求函数最值、解方程等问题的方面得到应用。一、柯西不等式的各种形式及其证明二维形式在一般形式中,2,ai a,a2 b,bi cbd,得二

2、维形式等号成立条件:扩展：a：d2ad2ae bdbe a/bc/d2a22aa2anbi2 b2 bab2aibia2b2aadanbn等号成立条件:a2 ：b2an ：bn0或b 0时，ai和bi都等于0,当a不考虑 a : b ,i 1,2,3, ,n二维形式的证明:a2 be2 d2a,b,e,d2 2a e2 2a eae2 abed2bd2, 2a d1-2.2b dadbe.2 2b e2, 2a d22abed b2eae2bd等号在且仅在即ad=be时成立adbe三角形式等号成立条件：ad三角形式的证明：beb22 .2a bd2 2b2 Tc2d2 a2 ab22ac2c2

3、c2cd22|acb2-2bd2dbdd2注：表示绝对值两边开根号,Va2b2 Jc2d2向量形式等号成立条件:ai,a2,a3 , an为零向量，或bi,b2,b3R，bnn N,n 2向量形式的证明： ur令 m= ai, a2, a3 ,Lu rm n a1b, a2b2r,an ,nb,b2,b3,Lma3b3Lanbnr22Vai a2 严r Q cost m, na3 Lbr n cos( m,n)b2 b3 Lb： cos( m, nur rqbi &2鸟般形式anbia； a3 L a；bjnn2.2akbkk i k inakbk:i等号成立条件:ai : bia2: b2a

4、n：bn,或ai、bi均为零。般形式的证明:nn2,2akbkk i k inakbkk 1证明:不等式左边=a%2 ai2共n2/2项不等式右边=aibiajbjajbjaibiL L共n2/2项用均值不等式容易证明， 不等式左边不等式右边, 推广形式（卡尔松不等式）： 卡尔松不等式表述为：在m*n 之积的几何平均之和。得证。矩阵中,各行元素之和的几何平均数不小于各列元素m J X12X121mXiX1nX211mXi2X21L X2n1mX3Xm1Xm1XinL Xmni 1 其中, 或者：m, nj 1其中,nXj1Xji 1或者Xi注:m, nX2X表示X-I,推广形式的证明:推广形式

5、证法一:，Xjy2y,记 A X1 Y1 LA由平均不等式得Y1同理可得鱼XnYn,Xn的乘积,其余同理X2Y2L ,L AnXnYnX1X2L XnAA2LL L上述n个不等式叠加，得1nAl A2 L AnYML YnAl A2L AnAA2L 代AA2L1XnAA2LX1Y11X1AnAALAnX2Y2XnYnL,证毕或者 推广形式证法二:事实上涉及平均值不等式都可以用均值不等式来证, 这个不等式并不难，可以简单证明如下：由均值不等式rm j 1Xj1nXjii 11 m Xj1n刈1同理有rm j 1Xj2nXjii 1Xj2nXjnnXjii 1XjnnXji1以上各式相加得Xjkn

6、X 八ji11m上式也即kXjk j 1nXjii 11,该式整理，得:n mXjkk 1 j 1得卡尔松不等式，Xjij 1 i 1证毕付：柯西（Cauchy ）不等式相关证明方法:a1b1 a2b2. 2 2 2anbna1a2a2 b2aibiR, i 1,2 n等号当且仅当 a1 a2an 0 或 bikai时成立（k为常数，i1,2 n）现将它的证0明介绍如下:证明1:构造二次函数f（X）a1x b-ia2X b2 2anXbn 222.n 2=a1a2L an x2 a1bia2b2an bn Xb2 b2 L22,nQ a1a2Lan0恒成立2anbnA2214 a1 a2 La

7、n b2 b； L b：0即 a1b1a2b2anbn2a2a； Lnanb2b； L bn当且仅当aixbx1,2L n即bla2b2a时等号成立bn证明（2）数学归纳法(1 )当n 1时左式=dib)右式=2aA显然左式=右式当 n 2时，2 .2a2 hbla2b2 22 2 2 2aib22 2a2b22a1a2b,b2aib2a2b2右式仅当即a2b,aid壬时等号成立故n 1,2时不等式成立（2）假设nk k ,k时，不等式成立qh a2b2 L akbka：a； La：E2b；bi kai，k为常数，i1,2L n或 a1a2ak0时等号成立2 2aia2L aibl2b； Lb

8、ka1bia2b2Lakbk2ak 1b：1b21ak 1bk1C2 2Cak1bk1ak 1bk 1C ak1bk 1当bi2 a1kai，L aia2b2 Lk为常数,2ak 1b2 blb2b21akbkak 1bk 1i 1,2L n 或 a1a2ak0时等号成立k 1时不等式成立即n综合（1）（ 2 ）可知不等式成立2二、柯西不等式的应用1、巧拆常数证不等式 例1设a、b、c为正数且互不相等。求证:Q a、b、c均为正数为证结论正确，只需证9 为证结论正确,只需证:又 Q9 (11 1)2只需证:1又Q a b、c互不相等，所以不能取等 原不等式成立，证毕。2、求某些特殊函数最值例2

9、：求函数y丐 4j9 X的最大值。函数的定义域为5，9, y f 0y 3jx 5 4X7 32 42 V/x 55*210函数仅在4/r5=3即X 6.44时取到3、用柯西不等式推导点到直线的距离公式。已知点x0, y0及直线l :设点p是直线l上的任意一点，则X X C 0(1)P1 P2/ 2 2V X0 X1y。y1点P1P2两点间的距离P-iP2就是点P到直线I的距离,求（2）式有最小值，有2 2 27V X0 X1y y1X0X1X0y0 CX1y1C由(1) (2)得:V2 gPi P2Xoyo cP1P2Xoy。C52当且仅当yoyi : XoXiP1P2l(3)式取等号即点到

10、直线的距离公式PlP2Xoyo C2 T4、证明不等式例3已知正数a,b,c满足a b c 1 证明3.3a ba2 b2 c23证明：利用柯西不等式a2 b2c2 231a2a2312cc23a223b23c2又因为c2abbc ca在此不等式两边同乘以2，再加上a2 b2c2得：aa2b2c2c2a3b3c3 ?3a2b2 c2故 a3 b3b25、解三角形的相关问题例4设P是VABC内的一点,x,y,z是p到三边a,b,c的距离，R是VABC外接圆的半径，证明JX jy vz1 r2 72 2 j=Pa b c V2R证明：由柯西不等式得,1 1 b c记S为VABC的面积，贝yabc

11、abcax by cz 2S 2严4R 2R血百丘標Jabc ab be caabcJab beca_b2_c2阿V2R故不等式成立。6、求最值例5已知实数a,b, c ,d满足a2 2 2 2a 2b 3c 6d 5试求a的最值解：由柯西不等式得，有2b2 3c26d2即 2b2 3c26d2由条件可得,a2解得，1 a2当且仅当72bWc时等号成立,代入b 1,cb 1,c1 1-,d 时,362,d 1 时33amaxamin7、利用柯西不等式解方程例6在实数集内解方程2229x y z -4398x 6y 24 y解:由柯西不等式,6222428x 6y 24 y622464 3614

12、43928x 6y 24y2 392 2 2862428x 6y 24zi 1i 1i 11 ij nz24它与8x6y 24y39 联立,可得9y 266138、用柯西不等式解释样本线性相关系数1813n(Xi X) yiyi 1在线性回归中，有样本相关系数r=-Inn11 (xi x)2i1Y i 1i 1，并指出r 1且r越接近2yiy于1,相关程度越大,r越接近于0,则相关程度越小。现在可用柯西不等式解释样本线性即不等式中只有等号成立从而由柯西不等式中等号成立的条件，得X飞相关系数。现记aXib yi y，则,aibi，由柯西不等式有,a21bi211时,aibnn2.2aib1 i

13、1此时,1时,ababk为常数。上,a ib2aii 12aibi2i 1nbi2x, y ii 1,2 n均在直线n2aii 1nbi21abj2ajbi2aibj ajbi0 abj1 i j nb丄k,k为常数。ai点xi,yi均在直线yajbi0biaik为常数x附近，所以r越接近于1，相关程度越大0时，ai，b不具备上述特征,在直线y y k X x附近。所以,9、关于不等式(a2 b2 )(c2 d 2)几何背景：如图，在三角形 OPQ中,OP| Ja2 b2,|OQ Vc2 d2,PQ J(a c)2 (b d)2.将以上三式代入余弦定理cosac bd因为0cos2于是PQ从而

14、，找不到合适的常数k，使得点Xi,yi都r越接近于0,则相关程度越小。(ac bd)2的几何背景P(a,b),Q(c,d),OPQOPOoQ2f或 cos2b2(ac bd)2(a2 b2)(c2 d2)(ac bd)21，所以，(a2 b2)(c2 d2)2 2 2 2(a b )(c d )2(ac bd).柯西不等式的相关内容简介(1) 赫尔德(Holder)不等式1P P /L. q L. qan ) p(b1 b21bnq 炳 ab a2b21 1an bn (丄-1)P q当P q 2时，即为柯西不等式。因此，赫尔德不等式是柯西不等式更为一般的形式,在分析学中有着较为广泛的应用。(2) 平面三角不等式(柯西不等式的等价形式)Ja12 a22an27b12 b22bn2 J(a1 b1)22 d)2(anbn)22(a2 b2)来理解，根据12b2)P(anbn)卩n维空间中的对称凸几可以借助其二维形式 Ja厂Qb2 b22 J(ai bj2 三角形的两边之和大于第三边，很容