数理方程重点总结

1、数学物理方法,一些典型方程和定解条件,第一讲（基础）,caculations of some typical eqations with difinitec conditions,数学物理方程与特殊函数,一. 均匀弦的横振动方程,二. 传输线方程(电报方程), 一维波动方程, 高频传输线方程,三. 电磁场方程, 三维波动方程,四. 热传导方程,(场点 t 时刻的温度分布), 三维热传导方程,(振幅),(电流、电压),例. 设长为 的均匀细弦，两端固定，初始位移为 0 。开始时，在 处受到冲量为 的作用，试写出其定解问题。,解：建立坐标系，并选取研究对象如图示。,其一维波动方程为：,泛定方程（1

2、）,由两端固定，知：,边界条件（2）,为了导出初始条件，考虑：由初始位移为 0，知,由开初时，在 处受到冲量 的作用知,上的动量改变，即为冲量，于是有,对于 点周围足够小的 ，弦段,为了导出初始条件，考虑：由初始位移为 0，知,由开初时，在 处受到冲量 的作用知,上的动量改变，即为冲量，于是有,对于 点周围足够小的 ，弦段,质量,速度,由此可见：初始条件为,初始条件（3）,冲量：力的时间作用效应 。,动量定理：动量的改变=冲量的作用。,受冲击时的初位移,受冲击时的初速度,动量：质量与速度的乘积 。,例,将积分结果作为 e 的幂， 这就是积分因子。 这里，大可不必去考虑它了。,数学物理方法,第三

3、讲 分离变量法 ( method of separate variable ),例,最易混淆的概念！,最易出错的地方！,数学物理方法,第四讲 行波法 method of travling wave,二阶线性偏微分方程 自变量的非奇异变换,二阶线性偏微分方程 自变量的非奇异变换,其通解为：,上述偏微分方程的特征方程,积分，得到两族积分曲线（特征曲线）为,对特征方程行因式分解，得,二阶线性偏微分方程 自变量的非奇异变换,（2）得到特征变换为,（3）通解为,试写出下列方程的通解,例 求下面柯西问题的解：,解 泛定方程所对应的特征方程为,特征曲线（两族积分曲线）为,作特征变换,其中 是两个任意二次连续

4、可微的函数。这样，原方程的通解为,注意：这里括号内仅表示自变量！而不是具体函数！,代回原来的自变量，从而得到所求的解为,特征变换,和差化积公式,为什么这里不可以相消？,数学物理方法,第五讲 积分变换法 integral variable method,积分变换法举例,fourier 积分变换法 laplace 积分变换法 混合变换法,用来解常微分方程,将未知函数的常微分方程，化成像函数的代数方程，达到消去对自变量求导运算的目的。,用来解偏微分方程,通过选取积分变换,在工程力学、电磁场理论、光学、热学、无线电学、通讯理论、微电子学、核科学与技术、地震资料数据处理等方面，均有广泛的应用。,在偏微分方程的两端，对某个变量取变换，消去未知函数对该自变量求偏导的运算，得到像函数的较为简单的微分方程。如果原来的偏微分方程只包含两个自变量，通过一次变换就能得到像函数的常微分方程。,fourier 积分变换 laplace 积分变换,数学中的变换手段，旨在化繁为简.,傅立叶积分变换,f,f,f