2013高考圆锥曲线经典总结(教师版)

1、圆锥曲线综合复习基础概念一、 基础 知识概述1、圆锥曲线定义与性质：2、椭圆、双曲线、抛物线统称为圆锥曲线：教材中以例题形式对圆锥曲线给出了另外一种定义即统一定义第一定义展示了三类曲线的各自独特的性质及几何特征；统一定义（也叫第二定义）则深刻地揭示了三类曲线的内在联系，使焦点、离心率和准线等构成了一个和谐的整体它使几种不同的曲线统一在同一个定义之中，从而使我们能在更高的层次上深化对圆锥曲线本质的认识圆锥曲线第二定义把“曲线上的点 M ”、“焦点 F ”、“ 相应准线 l ”和“ 离心率 e ” 四者巧妙地联系起来，所以，在圆锥曲线的问题中，凡与准线、离心率、焦点有关的问题应充分利用第二定义3、

2、根据圆锥曲线的统一定义，很容易推导出圆锥曲线的焦半径公式下面是用得较多的焦半径公式：x2y21（ ab 0 ）而言， | PF1 | aex0 ， | PF2 | a ex0 对于椭圆2b2a1x2y 20 ， b0）而言 当 P 位于右支上时， | PF1 | ex0a ， 对于双曲线22 1 （ aab| PF2 | ex0 a；当 P 位于左支上时， | PF1 |ex0a ， | PF2 | a ex0 对于抛物线 y22 px （ p0 ）而言， | PF |x0p 2以上各式中， P(x0, y0 ) 是曲线上的一点，F1 、 F2 分别是椭圆、双曲线的左、右焦点，F 是抛物线的焦

3、点，在这里特别强调的是，随着曲线方程的不同，焦半径公式也各不相同4、直线与圆锥曲线的位置关系：直线与圆锥曲线的位置关系是解析几何的重点内容之一可从代数与几何两个角度考虑（ 1）从代数角度看， 可通过将表示直线的方程， 代入圆锥曲线的方程消元后所得的情况来判断， 但要注意的是 ，对于椭圆方程来讲，所得一元方程必是一元二次方程，而对双曲线方程来讲未必例如：把 ykx m 代入 x2y 2 1 中，消去 y 后整理得： (b2 a2 k 2 ) x2 2a2 kmxa2m2a2b20 a2b2当 kb；当 kb时，该方程为一次方程， 此时直线 y kx m 与双曲线的渐近线平行时，方程aa 为二次方

4、程，这时可以用判别式来判断直线与双曲线的位置关系（ 2）从几何角度看，可分为三类：无公共点，仅有一个公共点及两个相异的公共点具体如下： 直线与圆锥曲线的相离关系，常通过求二次曲线上的点到已知直线的距离的最大值或最小值来解决 ； 直线与圆锥曲线仅有一个公共点，对于椭圆，表示直线与其相切；对于双曲线，表示与其相切或与双曲线的渐近线平行，对于抛物线，表示直线与其相切或直线与其对称轴平行； 直线与圆锥曲线有两个相异的公共点，表示直线与圆锥曲线相割，此时直线被圆锥曲线截得的线段称为圆锥曲线的弦5、曲线与方程：曲线与方程的关系说明了轨迹的纯粹性和完备性，两种关系必须同时满足，缺一不可求曲线的方程时，若原题

5、中没有确定坐标系要首先选取适当的坐标系，坐标系选取适当可使运算简便，所得方程的形式简单一般常取图形的对称中心为原点，对称轴为坐标轴二、复习过程中要紧靠高考要求，牢牢抓住以下几点1、坚持源于课本、高于课本，以考纲为纲的原则：明确考点及对知识点与能力的要求，其实质是精通课本，而本章考题大多数是课本的变式题，即源于课本，因此掌握双基、精通课本是关键2、要突出 “ 曲线与方程 ”这一重点内容：曲线与方程有两个方面：一是求曲线方程，二是由方程研究曲线的性质这两方面的问题在历年高考2中年年出现， 且常为压轴题 因此复习时要掌握求曲线方程的思路和方法，即在建立了平面直角坐标系后，根据曲线上点适合的共同条件找

6、出动点P( x , y) 的纵坐标 y 和横坐标 x 之间的关系式， 即 f (x , y)0 为曲线方程，同时还要注意曲线上点具有条件，确定x 、 y 的范围，这就是通常说的函数法，它是解析几何的核心，应培养善于运用坐标法解题的能力求曲线的常用方法有两类：一是曲线形状明确且便于用标准形式，这时用待定系数法求其方程；另一类是曲线形状不明确或不便于用标准形式表示，一般可用直接法、间接代点法、参数法等求方程二要引导如何将解析几何的位置关系转化为代数数量关系进而转化为坐标关系，由方程研究曲线，特别是圆锥曲线的几何性质问题常化为等式解决，要加强等价转化思想的训练3、加强直线与圆锥曲线的位置关系问题的复

7、习：由于直线与圆锥曲线的位置关系一直为高考的热点这类问题常涉及到圆锥曲线的性质和直线的基本知识点、线段的中点、弦长、垂直问题，因此分析问题时利用数形结合思想来设而不求法与弦长公式及韦达定理联系去解决这样就加强了对数学各种能力的考查4、重视对数学思想、方法进行归纳提炼，达到优化解题思维、简化解题过程：（ 1）方程思想 ：解析几何的题目大部分都以方程形式给定直线和圆锥曲线，因此把直线与圆锥曲线相交的弦长问题利用韦达定理进行整体处理，能简化解题过程减少运算量（ 2）用好函数思想方法 ：对于圆锥曲线上一些动点，在变化过程中会引入一些相互联系、相互制约的量，从而使一些线的长度及a 、 b 、 c 、 e

8、 之间构成函数关系，函数思想在处理这类问题时就很有效（ 3）掌握坐标法 ：坐标法是解析几何的基本方法，因此要加强坐标法的训练（ 4）对称思想 ：由于圆锥曲线和圆都具有对称性质，可使分散的条件相对集中，减少一些变量和未知量，简化计算，提高解题速度，促成问题的解决（ 5）参数思想 ：参数思想是辩证思想在数学中的反映，一旦引入参数，用参数来划分运动变化状态，利用圆、椭圆、双曲线上点用参数方程形式设立或(x0 , y0 ) 即可将参量视为常量，以相对静止来控制变化，变与不变的转化，可在解题过程中将其消去，起到“ 设而不求 ”的效果（ 6）转化思想 ：解决圆锥曲线时充分注意直角坐标方程与参数方程的联系及

9、转化，利用平移得出新系坐标与原坐标之间转化，可达到优化解题的目的除上述常用数学思想外， 数形结合 、分类讨论 、整体思想 、构造思想 也是不可缺少的思想方法，复习也应给予足够的重视三、求解圆锥曲线要“ 三重视 ”1、要重视定义在解题中的地位和作用；2、要重视平面几何知识在解题中的简化功能；3、要重视根与系数的关系在解题中的作用3典型例题1、要重视定义在解题中的地位和作用：例 1、已知双曲线的虚轴长、实轴长、焦距成等差数列，若双曲线以y 轴为右准线，且过点A(1 , 2) ，求此双曲线右焦点F 的轨迹2、要重视平面几何知识在解题中的简化功能：例 2、如图，设x2y 2（ a b0 ）上任意一点，

10、P x0,y0) ，为椭圆1F2为椭圆的右焦点；求证分(b2a2别以 PF 2 及椭圆的长轴为直径的两圆必相内切3、要重视根与系数的关系在解题中的作用：例 3、已知椭圆 x2y 21（ ab 0 ）与直线 y x1相交于点P和点 Q ，且 OPOQ ，10a2b2| PQ |，2求椭圆的方程44、圆锥曲线及其标准方程：例 4、如图直线 l1 和 l 2 相交于点M ， l1l2 ，点 N l1 以 A 、 B 为端点的曲线段 C 上的任一点到 l2 的距离与到点 N 的距离相等 若AMN 为锐角三角形， | AM |17 ， | AN | 3 ，且 | BN | 6 建立适当的坐标系，求曲线段

11、 C 的方程 55、圆锥曲线的简单几何性质：例 5、如图，已知F1 、 F2x2y21（ a0， b0 ）的焦点，过 F2 作垂直于 x 轴的直线交双为双曲线b2a2曲线于点 P ，且PF1 F230 ，求双曲线的渐近线方程66、圆锥曲线的定值问题：例 6、点 P 是椭圆 x2y21（ ab 0 ）上不重合于短轴两端点B1 与 B2 的动点， 设两直线 B1P 、 B2Pa2b2与 x 轴分别相交于M 、 N ，问 |OM | | ON | 是否为定值？若为定值，求出这个定值；若不为定值，请证明你的结论 7、求解轨迹问题：例 7、已知常数 a0 ，在矩形 ABCD 中， AB4 ， BC4a

12、， O 为 AB 的中点，点 E 、 F 、 G 分别在BECFDG， P 为 GE 与 OF 的交点（如图） ，求动点 P 的轨迹方程 BC 、 CD 、 DA 上移动，且CDDABC78、圆锥曲线中参数范围：例 8、如图，已知梯形 ABCD 中， | AB |2 | CD |，点 E 分有向线段 AC 所成的比为，双曲线过 C 、 D 、E 三点，且以23e 的取值范围 A 、 B 为焦点，当时，求双曲线离心率349、圆锥曲线的对称问题：例 9、已知椭圆 x2y21 的焦点为 F1 、 F2 ，在直线 l : x y 60上找一点 M ，求以 F1 、 F2 为焦点，958通过点 M 且长

13、轴最短的椭圆的方程9例 10、已知双曲线 x2y 21 的准线过椭圆x2y21 的焦点，则直线 ykx 2 与椭圆至多有一个交224b2点的充要条件是（）11B k(,11,)A k , 2222C k 2 ,2 D k(,2 2 ,)2222例、设双曲线 x2y21 的一条渐近线与抛物线yx21 只有一个公共点，则双曲线的离心率为112b2a（）A 5C5D5B 542例 12、已知椭圆 x2y2 1（ a b 0 ）的两个焦点分别为F1( c , 0) 和 F2 (c , 0)（ c0 ），过点 E ( a2, 0)a2b2c的直线与椭圆相交于A 、 B 两点，且 F1 A / F2B ，

14、| F1 A |2 | F2 B | （ 1）求椭圆的离心率；（ 2）求直线 AB的斜率；（ 3）设点 C 与点 A 关于坐标原点对称，直线 F2 B 上有一点 H (m , n) （ m0 ）在 AF1C 的外接圆上，求 n 的值m1011基础练习一、选择题、已知双曲线x2y 21（a0，b0）的实轴长、虚轴长、焦点成等差数列，则双曲线的离心率e1a2b2为（）A 2B 3C453D32、如果方程x2y21表示双曲线，则下列椭圆中，与该双曲线共焦点的是（）pqA x 2y 21B x2y21Cx2y 21Dx 2y212q p p2 p q p2q p q2 p q q3、过点 M (2 ,

15、 0) 的直线 l 与椭圆 x22 y22交于 P1 、 P2 两点，线段 P1P2的中点为 P ，设直线 l 的斜率为 k1 （ k1 0 ），直线 OP 的斜率为 k2，则 k1k2 等于（）A 2B 2C1D122x2y21的一条准线方程为x10 ，则 m 的值为（）4、若曲线49mA 8 或 86B 6 或 56C 5 或 56D 6 或 865、若抛物线 y 22 px （ p0）上一点到准线和抛物线的对称轴的距离分别为10 和 6，则该点的横坐标为（）A 10B 9C8D 66、已知圆 O : x2y 2a2 ， A(a , 0)， B(a , 0) ， P1 、 P2 为圆 O

16、上关于 x 轴对称的两点，则直线AP1 与直线 BP2 的交点的轨迹方程为（）A x2y 22a2B x2y 24a2C x 2y 24a2D x2y 2a27y轴相切且和半圆x2y24（ 0x2）内切的动圆圆心轨迹方程是（）、与A y24(x 1) （ 0x1）B y24(x1) （0x1）C y 24( x1) （ 0x 1）D y22(x1) （0x1）8、与抛物线 y 2x 关于点 (2 ,1) 对称的曲线是（）12A ( y 2)2x 4B ( y 2) 24 xC ( x 2)2y 4D ( x 2)24 y9y2x的焦点 F 的直线交抛物线于A 、B 两点，且 A 、B 在直线x

17、1上的射影分别是 M 、过抛物线4N ，则MFN 等于（）A 45B60C 90 D 以上都不对10、直线y kx 2 与双曲线 x2y26 的右支交于不同两点，则k 的取值范围是（）A (15 , 15 )B (0 , 15 )C (15 , 0)D (15 , 1)3333311、如图，南北方向的公路 l ， A 地在公路的正东2 km 处， B地在 A 地东偏北 30方向 23 km 处，河流沿岸 PQ （曲线）上任一点公路 l 和到 A 地距离相等现要在曲线PQ 上选一处 M 建一座码头，向 A 、 B两地转运货物， 经测算从 M 到 A ， M 到 B 修建公路的费用均为a 万元 /

18、 km ，那么修建这两条公路的总费用最低是（）A (23)a 万元B 2( 31) a 万元C 5a 万元D 6a 万元12、已知直线 l 交椭圆 4x25y280 于 M 、N 两点， B 是椭圆与 y 轴正半轴的交点，若BMN 的重心恰好为椭圆的右焦点，则直线l 的方程是（）A 5x 6 y 28 0B 5x 6 y 28 0C 6x 5 y 28 0D 6x 5 y 28 0二、填空题x2y2A 、 B ，若 ABF2 的面积是 20，13、椭圆1的焦点分别是 F1 和 F2 ，过中心 O 作直线与椭圆交于4520直线 AB 的方程是 _14、已知 F1 、 F2 是椭圆x2y21（ a

19、b0）的焦点， P 是椭圆上一点，且F1PF290 ，则椭圆a2b2的离心率 e 的取值范围是 _15、已知直线 y kx 2与双曲线 x2y26的右支交于不同的两点，则k 的取值范围是 _1316、过抛物线y 24x 的焦点 F 作弦 AB ，记 | AF |m ， | BF |n ，则 11_mn三、解答题x2与过点 M (0 ,1) 的直线 l 交于 A 、 B 两点， O 为原点，若 OA 和 OB 的斜率之和为17、抛物线 y21，求直线 l 的方程18、已知 (0 ,5 ) 是中心在原点，长轴在 x 轴上的椭圆的一个顶点，又椭圆的离心率为3 （ 1）求椭圆2的方程；（ 2）若直线 y1 x m 与椭圆相交