2013年高考新课标I卷理科数学试题及答案(word解析版)

1、2013 年普通高等学校招生全国统一考试新课标（ 1）理科数学（完整解析版）本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分。第卷 1 至 2 页，第卷 3 至 4 页。全卷满分 150 分。考试时间 120 分钟。注意事项：1. 本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分。第卷 1 至 3 页，第卷 3 至 5 页。2. 答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置。3. 全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效。4. 考试结束，将本试题和答题卡一并交回。第卷一、选择题共 12 小题。每小题 5 分，共 60 分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项。1

2、、已知集合 A=x|x2 2x0，B=x|5x5，则()A 、AB=B、AB=RC、 B? AD、A? B【命题意图】 本题主要考查一元二次不等式解法、集合运算及集合间关系， 是容易题 .【解析】 A=(-,0)(2,+), AB=R, 故选 B.2、若复数 z 满足 (3 4i)z |4 3i |，则 z 的虚部为( )A 、 44（C） 44（B）（D）55【命题意图】本题主要考查复数的概念、运算及复数模的计算，是容易题.- 1 -【解析】由题知 z = | 43i | =4232 (34i ) =34i ，故 z 的虚部为 4，故选 D.34i(34i )(34i )5553、为了解某地

3、区的中小学生视力情况，拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查，事先已了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女生视力情况差异不大，在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是()A、简单随机抽样B、按性别分层抽样 C、按学段分层抽样 D、系统抽样【命题意图】本题主要考查分层抽样方法，是容易题.【解析】因该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，故最合理的抽样方法是按学段分层抽样，故选C.x2y254、已知双曲线 C:221(a0，b 0) 的离心率为，则 C 的渐近线方程为 (ab2)111（D） y=xA、y= x（B）y= x（C） y= x432【命

4、题意图】本题主要考查双曲线的几何性质，是简单题.【解析】由题知，c5，即5=c2a2b2b2=1b1Ca24a2=2， 24， =2， 的渐aaa近线方程为 y1 x ，故选 C .25、执行右面的程序框图，如果输入的t 1， 3，则输出的 s 属于()A、3,4B、5,2C、4,3D、2,5- 2 -开始输入 t是否tb0)的右焦点为 F(3,0) ，过点 F 的直线交椭圆于 A、B 1(a2b 2两点。若 AB 的中点坐标为 (1， 1) ，则 E 的方程为( )x2y2x2y2x2y2x2y2A、 1B、 1C、 1D、 1453636272718189【命题意图】本题主要考查椭圆中点弦

5、的问题，是中档题.【解析】设 A( x1, y1 ), B( x2 , y2 ) ，则 x1x2 =2， y1y2 =2，x12y121x22y221a2b2a2b2(x1x2 )( x1x2 )( y1y2 )( y1y2 )得a2b20，kAB= y1y2 =b2 ( x1x2 ) = b2，又 kAB = 0 1 = 1 ，b2 = 1 ，又 9= c2 = a2b2 ，x1x2a2 ( y1y2 ) a231 2a22解得 b2 =9， a2 =18 ，椭圆方程为 x2y 21，故选 D.189- 5 - x2 2x x 011、已知函数 f(x)，若 | f(x)|ax， a 的取

6、范 是 ( )ln(x1)x0A、（，0B、（，1C、 2，1D、2，0【命 意 】本 主要考 函数不等式恒成立求参数范 的解法，是 。【解析】| f ( x) |=x22x, x0 ，由| f (x) | 得， x0且 x 0，ln( x1), x0axx22xaxln( x 1)axx0可得 ax2 ， a ，排除，由2xaxx2-2当 a=1 ，易 ln( x1)x 对 x0恒成立，故 a =1 不适合，排除 C，故 D.12、 A BC的三 分 a,b,c，A BC的面 S， n=1,2,3, n nnnnnn nnn若 bc，bc 2a ， aa，bcna n，cbnan1n1n1，

7、 ( )1111n 1n22A、Sn 减数列B、Sn 增数列C、S2n1 增数列， S2n 减数列D、S2n1 减数列， S2n 增数列【命 意 】 本 主要考 由 推公式求通 公式，三角形面 海 公式， 属于难题【解析】 Bb12a1c10且 b1 c1 2a1c1 c1a1c1b1a12a1c1a1a1c10 b1a1c1又 b1c1a12a1c1c1a12c1a1a1c1bncn21 (bn cn 2a1 )由题意， bn 1cn 1a1bn 1cn12a122bncn2an0 bncn2an2a1bncn2a1- 6 -又由题意， bncnbnbn 1(2 a1bn 1 )2a1 bn

8、bna1bn1cn 1221 ( a1a1 )( 1)n 1bn 1a1bn ) bna1(b12a1)( 1 )n 1 ,cn2a1 )( 1) n 1bna1(b12a1bn a1(b122Sn23a1 (3a1a1 ) 3a1a1(b1a1 )( 1) n 13a1a1(b1a1)( 1 )n 12222223 a2a12( 1) n 1(ba )2单调递增（可证当 n=1时 a12(ba )20)414411411第卷本卷包括必考题和选考题两个部分。第（13）题 -第（ 21）题为必考题，每个考生都必须作答。第（ 22 ）题 -第（ 24 ）题为选考题，考生根据要求作答。二填空题：本大

9、题共四小题，每小题5分。13、已知两个单位向量 a，b 的夹角为60，ca(1b，若 bc，则 t=_.tt)=0【命题意图】本题主要考查平面向量的数量积，是容易题.【解析】 b c= b ta(1 t)b = ta b(1t)b2 = 1 t1 t = 11 t =0，解得 t = 2 .222114、若数列 n的前n项和为 Snan ，则数列 n的通项公式是an=_.a3a3【命题意图】本题主要考查等比数列定义、 通项公式及数列第n 项与其前 n 项和的关系，是容易题 .【解析】当 n=1 时， a1 = S1 = 2 a11 ，解得 a1 =1，33当 n 2 时， an = Sn Sn

10、 1 = 2 an1 ( 2 an 11 )= 2 an2 an 1 ，即 an = 2an 1 ，333333 an 是首项为 1，公比为 2 的等比数列， an = ( 2)n 1 .15、设当 x=时，函数 f(x) sinx2cos x取得最大值，则 cos =_【解析】 f ( x) = sin x 2cos x =5(525sin x5cosx)5- 7 -令 cos=5 ， sin2 5 ，则55f (x) = 5(sin xcossincosx) = 5sin( x) ，当 x= 2k, kz ，即 x = 2k, kz 时， f ( x) 取最大值，此时22= 2k, kz

11、，cos = cos(2k2) = sin =2 5 .25本题还可用反三角函数理解，求解。16、若函数 f(x)=(1 x2 )(x2 ax b)的图像关于直线 x=2对称，则 f(x)的最大值是_.【命题意图】本题主要考查函数的对称性及利用导数求函数最值，是难题.【解析】由f (x) 图像关于直线 x=2 对称，则0= f ( 1)f (3) = 1(3)2 (3)23ab ，0= f (1)f (5) = 1(5)2 (5)25ab ，解得 a =8， b =15 ，f ( x) = (1 x2 )( x28x15) ，f (x) =2x( x28x15)(1x2 )(2x8) = 4(

12、x36x27x2)= 4(x 2)( x25)( x25)当 x (, 25 )(2,25 )时， f ( x) 0，当 x ( 25 ,2) ( 25 ,+)时， f (x) 0，f ( x) 在（， 25 ）单调递增，在（ 25 ，2）单调递减，在（ 2，2 5 ）单调递增，在（ 25 ，+）单调递减， 故当 x = 25 和 x = 2 5时取极大值， f (25) = f (25) =16.三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17、（本小题满分 12 分）- 8 -如图，在ABC 中，ABC 90，AB=3 ，BC=1 ，P 为ABC 内一点，BPC90 1(1)若 P

13、B= ，求 PA ；2(2)若APB 150 ，求tan PBACPAB【命题意图】本题主要考查利用正弦定理、 余弦定理解三角形及两角和与差公式，是容易题 .【解析】（）由已知得，PBC= 60o ，PBA=30 o，在PBA 中，由余弦定理得PA2 = 312 31 cos30o = 7 ，PA=7；4242（）设PBA=，由已知得， PB= sin，在 PBA中，由正弦定理得，3sin，化简得， 3 cos4sin ，sin150osin(30o)=3，PBA=.tantan34418、（本小题满分 12 分）如图，三棱柱 ABC-A 1B1C1 中，CA=CB ，AB=AA1，BAA 1

14、=60 .（）证明ABA1C;- 9 -（）若平面 ABC 平面AA1 B1B， AB=CB=2 ，求直 A1C 与平面 BB 1C1 C 所成角的正弦 。【命 意 】本 主要考 空 面、 垂直的判定与性 及 面角的 算，考 空 想象能力、 推 能力，是容易题.【解析】（）取AB 中点 E， CE ， AB ， A E ，11AB= AA1 ，BAA1 = 60 0 ， BAA1是正三角形，A1 E AB，CA=CB ，CE AB ，CEA1 E =E，AB 面CEA1 ，AB AC ； 6分1（）由（）知EC AB， EA1 AB，又 面ABC 面 ABB1 A1 ， 面ABC 面ABB1

15、A1 =AB ，EC面ABB1 A1 ，EC EA1 ，EA ，EC ，EA1两两相互垂直， 以 E 坐 原点， EA 的方向 x 正方向， | EA | 位 度，建立如 所示空 直角坐 系Oxyz ，有 题 设 知 A(1,0,0), A1(0, 3 ,0),C(0,0,3 ),B( 1,0,0), 则 BC = （ 1,0 ，3 ）, BB = AA =( 1,0,3 ), AC =(0, 3 ,3 ), 9 分111设 n = ( x, y, z) 是平面 CBBC 的法向量，11nBC0x3z03 ， 1， -1），则BB10，即，可取 n=（nx3 y01n AC110 ，cos n

16、, AC=5| n | AC |1111C所成角的正弦 10 12 分直 A C与平面 BBC.5- 10 -19、（本小 分 12 分）一批 品需要 行 量 ， 方案是： 先从 批 品中任取4 件作 ，这 4 件 品中 品的件数 n。如果 n=3 ，再从 批 品中任取 4 件作 ，若都 品， 批 品通 ；如果 n=4 ，再从 批 品中任取 1件作 ，若 品， 批 品通 ；其他情况下， 批 品都不能通 。1假 批 品的 品率 50% ，即取出的 品是 品的概率都 2 ，且各件 品是否 品相互独立（1）求 批 品通 的概率；（2）已知每件 品 用 100 元，凡抽取的每件 品都需要 ， 批 品作

17、 量 所需的 用 X（ 位：元），求 X 的分布列及数学期望。【命 意 】【解析】 第一次取出的4 件 品中恰有3 件 品 事件A，第一次取出的 4件 品中全 品 事件B,第二次取出的4 件 品都是 品 事件C，第二次取出的1 件 品是 品 事件D， 批 品通 事件E，根据 意有 E=(AB) (CD), 且 AB 与 CD 互斥，P(E)=P(AB)+P(CD)=P(A)P(B|A)+P(C)P(D|C)= C43 (1 )21( 1 )4 + ( 1)41=3.22222646 分（）X 的可能取 400,500,800 ，并且- 11 -P(X=400)=1- C 43 (1)31(1)

18、4 =11 ，P(X=500)=1 ，P(X=800)= C43(1)31=1 ，2221616224X 的分布列 X405800000P111116164 10 分EX=400 11+500 1+800 1=506.25 12 分16164(20)( 本小 分 12分 )已知 M：(x 1)2y2 =1， N：(x 1)2 y2 =9， P 与 M 外切并与 N内切， 心 P 的 迹 曲 C（）求C 的方程；（）l 是与 P ， M 都相切的一条直 ， l 与曲 C 交于 A，B 两点，当 P的半径最 ，求 |AB|.【命 意 】【解析】由已知得 M 的 心 M （ -1，0）,半径 r1

19、=1， N 的 心 N (1,0),半径 r2 =3.设动圆 P 的 心 P （ x ， y ），半径 R.（） 与 M外切且与 N内切，|PM|+|PN|= ( R r1) (r2R) = r1 r2 =4，P由 的定 可知， 曲 C是以 M，N 左右焦点， 半 2，短半 3的 (左 点除外 )，其方程 x2y21(x2) .43- 12 -（） 于曲 C上任意一点 P （ x ， y ），由于 |PM|-|PN|= 2R22 ，R2,当且 当 P的 心 （ 2， 0） ， R=2.当 P的半径最 ，其方程 (x2)2y 24，当 l 的 斜角 90 0 ， l 与 y 重合，可得 |AB|

20、= 2 3 .当 l 的 斜角不 900 ，由 r1 R知 l 不平行 x ， l 与 x 的交点 Q， | QP | = R ，可求得 Q（ -4，0）， l ： yk( x4) ，由 l 于 M相切得| QM |r1| 3k |1，解得 k21k 2.4当 k =2 ，将 y2 x2 代入 x2y21(x2) 并整理得 7x28x 8 0 ，4443解得 x1,2 =4 62 ，|AB|=1k 2 | x1x2 |= 18 .77当 k =2 ，由 形的 称性可知 |AB|=18 ，47 上， |AB|=18 或 |AB|= 23 .7（21 ）（本小 分共12 分）已知函数()2ax ，

21、 ()ex(cx )，若曲 y ()和曲 y ()都 f xxb g xdf xg x点 P(0 ，2)，且在点 P 有相同的切 y 4x+2（）求a，b，c，d 的 （）若x2 时 ,f (x)kg( x) ，求 k 的取 范 。【命 意 】 本 主要考 利用 数的几何意 求曲 的切 、函数 性与 数的关系、函数最 ，考 运算求解能力及 用意 ,是中档 .【解析】（）由已知得 f (0)2, g (0)2, f (0)4, g (0)4 ，而 f (x) = 2xb ， g (x) = ex (cxdc) ，a =4， b =2 ， c =2， d =2 ； 4 分- 13 -（）由（）知，

22、f ( x)x24x 2 ， g( x)2ex ( x1) ，设函数 F ( x) = kg(x)f (x) = 2kex (x 1)x24x2 （ x2 ），F ( x) = 2kex (x 2) 2x4 = 2( x 2)( kex1)，有题设可得 F (0) 0，即 k 1 ，令 F ( x) =0 得， x1 =ln k ， x2 = 2，（1 ）若 1 k e2 ，则 2 x 0，当x (2, x ) 时， F (x) 0，当 x ( x ,) 时，111F (x) 0，即 F ( x) 在 (2, x1 ) 单调递减，在 ( x1 ,) 单调递增，故 F ( x) 在 x = x1

23、取最小值 F ( x1 ) ， 而 F ( x1 ) = 2x1 2 x124x12 = x1 (x12) 0，当x2 时， F ( x) 0，即 f ( x) kg( x) 恒成立，(2) 若 ke2 ，则 F (x) = 2e2 ( x2)(exe2 ) ，当x2 时， F (x) 0，F ( x) 在(2,+ )单调递增，而 F ( 2) =0，当x2 时， F ( x) 0，即 f ( x) kg( x) 恒成立，(3) 若 ke2 ，则 F ( 2) =2ke 22 =2e 2 (ke2 ) 0，当x 2 时， f (x) kg (x) 不可能恒成立，综上所述， k 的取值范围为 1

24、, e2 .请考生在第（ 22 ）、（23 ）、（24 ）三题中任选一题作答。注意：只能做所选定的题目。如果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑。（22 ）（本小题满分10 分）选修 41：几何证明选讲如图，直线AB 为圆的切线，切点为 B，点 C 在圆上， ABC 的角平分线 BE 交圆于点 E，DB 垂直 BE交圆于 D。- 14 -（）证明：DB=DC ；（）设圆的半径为 1， BC=3，延长 CE 交 AB 于点 F，求BCF 外接圆的半径。【命题意图】本题主要考查几何选讲的有关知识，是容易题.【解析】（）连结DE ，交 BC 与点 G.由弦切角定理得， ABF= BCE ，ABE= CBE ，CBE= BCE ，BE=CE ，又DB BE ，DE 是直径，DCE= 900 ，由勾股定理可得 DB=DC.3（）由（）知，CDE= BDE ，BD=DC ，故 DG 是 BC的中垂线，BG=.设DE 中点为 O，连结 BO ，则BOG= 60o ，ABE= BCE= CBE= 30o ，CF BF，RtBCF 的外接圆半径等于3 .2（23 ）（本小题 10 分）选修 44：坐标系与参数方程- 15 -x=4+5cost已知曲线 C1 的参数方程为（t 为参数），以坐标原点为极点，