随机过程试题及答案

1、 一填空题（每空2分，共20分） it?-1)(e?e。的泊松分布，则X的特征函数为 1设随机变量X服从参数为 ?t),-X(t)=Acos(? t+?A是相互独立的随机变量，为正常数， 其中2设随机过程和1?0,1X(t)?t)(sin(t+1)-sinA。的数学期望为且 和上的均匀分布，则服从在区间 2 1的同一指数分布。 3强度为的泊松过程的点间间距是相互独立的随机变量，且服从均值为 ? ?0?,n?1X(t),tWW?分布。服从是与泊松过程对应的一个等待时间序列，则4设 nn t袋中放有一个白球，两个红球，每隔单位时间从袋中任取一球，取后放回，对每一个确定的5t?,?如果t时取得红球

2、?X(t)，则 这个随对应随机变机量过程的状态空间?3?t,e时取得白球t如果?21?2LL;e,et,t, 。? 33? (n)(n)(n)n?(pP)P=(pPP?n，。二者之间的关系为步转移矩阵 6设马氏链的一步转移概率矩阵 ijij ?jX(n)p?P?X,n?0=i)P(Xp?I，绝对概率，设初始概率为马氏链，状态空间，70innj?(n)(n)pp(n)?p?pn 步转移概率，三者之间的关系为。jiijiji?I ?(n)0,n?X1,?ijX?,n?fPX?j,1?vn-1,X? 中，记8在马氏链 n0ijvn?(n)f?ff?1i为非常返的。 ，称状态，若iiijij n=19

3、非周期的正常返状态称为遍历态。 ?(n)?pi?。 10状态常返的充要条件为ii n=0二证明题（每题6分，共24分） A,B,CP(BCA)=P(BA)P(CAB)。设1.为三个随机事件，证明条件概率的乘法公式： P(ABC)P(ABC)P(AB)?P(CAB)P(BA) =右边= 证明：左边 P(A)P(AB)P(A)XttXXtt30是一个马尔科夫过程。),(30是独立增量过程, 且 (0)=0, 2.设证明(),0?t?t?L?t?t时，证明：当n12 P(X(t)?xX(t)=x,X(t)=x,LX(t)=x)=n21n12 P(X(t)-X(t)?x-xX(t)-X(0)=x,X(

4、t)-X(0)=x,LX(t)-X(0)=x)= n2nn1n21P(X(t)?xX(t)=x)=P(X(t)-X(t)?x-xX(t)=x)x-xP(X(t)-X(t)? =，又因为 nnnnnnnn X(t)=x)P(X(t)?xX(t)=x)LP(X(t)?xX(t)=x,X(t)=x,)x-xP(X(t)-X(t)? =，故nnn2n21n1n?ln?0,1n0,n?XIi,j?In步转移 3.设，为马尔科夫链，状态空间为和，则对任意整数n?ll)(n-(n)()pp?p 概率，称此式为切普曼科尔莫哥洛夫方程，证明并说明其意义。 kjijikI?k?U?(n)X(0)=iPX(n)=j

5、,X(l)=kX(0)=i?PX(n)=j,X(l)=kP?PX(n)=jX(0)=i 证明：=?ij?k?Ik?I?(n-l)(l)gPPX(l)=k,X(0)=iX(n)=jPX(l)=kX(0)=iPn =步转移概率可以，其意义为 =kjikI?k用较低步数的转移概率来表示。 ?L,k=1,2,N(t),t?0Y是一列独立同分布随机变量，且与 4.设的泊松过程，是强度为kN(t)?2?0tX(t)=?Y,Y0?X(t)EtEN(t),t?)E(Y? ，则。独立，令，证明：若1k1k=1N(t)? N(t)EX(t)X(t)E?EnYN(t)?EX(t)N(t)?n?E? ，证明：由条件期

6、望的性质而?i?i=1nn? Y?EtEX(t)nE(YYE?nN(t)EY。= ，所以=?11ii?i=1i=1 三计算题（每题10分，共50分） ?t H cos?1t?(-?,+?)p(H)=p(T)=X(t)=， ,设定义一随机过程：1.抛掷一枚硬币的试验，? 2t T ? ?)?(?,X(t),t?F(x;0),F(x;1)。 求（1）（2）一维分布函数的样本函数集合；?,t?(-?cos,+t,t?)； （1）样本函数集合为解：1?PPX(0)=0X(0)=1?t=0，）当 时， （2 200?x0x-1?11?F(x;0)=0?x1F(x;1)=?1?x0由p知，此链有遍历性；=,31ij2 ?11? 12153 ?方程组31? 23253?1?1?11? 123300522?11?00?223，I=01，2 设有四个状态5.的马氏链，它的一步转移概率矩阵 ?P=?11114444?1000? （）画出状态转移图； （）对状态进行分类；I （）对状态空间进行分解。 ）图略；1解：（?3C=p1,p?而p，p，03构成一个闭集，它是吸收态，记） （2；均为零，所以状态323331301?1C=，0，且它们都是正常返1两个状态互通，且它们不能到达其它状态，它们构成一个闭集，记2CCC，C，为非中的状态，而中