拉格日中值定理及函数的单调性

1、4.2拉格日中值定理及函数的单调性教学内容1. 拉格朗日中值定理；2. 函数增减性判别法；3. 不等式的各种证明方法 . 教学目的1. 熟练掌握拉格朗日中值定理；2. 熟练掌握函数增减性判别法，熟练不等式的证明方法 . 教学重点拉格朗日中值定理 . 函数增减性判别法，不等式的证明方法教学难点函数增减性判别法，不等式的各种证明方法.复习1. 柯西中值定理；2. 罗必塔法则及其应用 .3. 应用罗必塔法则需要注意的问题一 、格朗日中值定理1. 定理：条件：（1） f ( x) 在闭区间 a,b 上连续；（2） f (x) 在开区间 (a,b) 内可导 .结论：至少存在一点 (a,b) ，使 f(

2、)f (b)f (a) .ba2、几何意义 ：在满足（ 1）、（ 2）的曲线段 AB 上，至少有一点处的切线平行于弦 AB .3、证明：（教材 P110）4、拉格朗日结论式的另外几种形式（1） f (b) f (a)f(a(b a)(ba) ， 01.（这是因为 ab0a ba 0a1，baa令即可 . ）b a（2） f ( xx)f ( x)f ( ) x( f ( xx) x) ，( x, xx)（取 bxx, ax 即可）（3） yf ( xx) x ， 01.注：（ 3）式是 y 的精确表达式，而 dyf ( x)x 只是y 的近似表达式 .故拉格朗日中值定理也称为有限增量定理或微分

3、中值定理.二、两个重要推论推论 1若x (a,b) ，有 f( x)0 ，则 f ( x)C . 反之也真（显然） . 即f( x)0f ( x)C .证：取一定点 x0(a,b) ， x (a,b) ，只须证明 f ( x)f ( x0 ) 即可 . 因为f (x) 在 (a,b) 内可导，所以 f (x) 在以 x0和 x 为端点的闭区间上连续，开区间内可导，从而由拉格朗日中值定理知，存在在 x0 与 x 之间，使f ( x)f (x0)f ( )( x x0) 0 ，即 f ( x)f ( x0 ) .再由 x0 的固定性和 x 的任意性知，x (a, b) ，均有 f ( x)f (

4、x0 ) ，f ( x) f ( x0 ) （常数） .推论 2若x (a,b) ，有 f( x)g (x) ，则 f (x) g( x)C（作 F (x)f ( x) g( x) ，用上面的定理即可得证） .例 1 验证 f ( x)x2 在 0,1上拉格朗日中值定理的正确性 .解 显然 f (x)x2 在0,1 上连续，在 (0,1)内可导 ，故至少存在 一点(0,1) ，使 f (1)f (0)f()(10)，下面求出具体的，由 f (1)f (0)f( )(10)1021(0,1) ，2即确实存在(0,1) ，使 f (1)f (0)f ()(10)成立 .三、函数的单调性1. 判定法

5、定理：设 yf x 在a,b 上连续，在（ a,b ）内可导1.若对x（a,b ） , 有 f x 0 ，则 yf x 在a,b上 ；2.若对x（a,b ），有 f x 0 ，则 yf x 在a,b上 .证：x1 , x2a,b，且 x1 0 ，即 f x2 f x1 .由定义 yf x 在a,b上.同理证 2.2. 举例例 1 （P111例 1. ）例 2 确定函数 y 3x x3 的单调区间解：定义域为（,）， y33x2=3（ 1- x)(1x) ，令 y =0 得 x1，无 y 不存在的点 .用 y =0 和 y 不存在的点从小到大将定义分区列表（见下页）：x(,1)1（-1 ，1）1

6、(1,)y -0+0-y fx于是y3xx3 在 (,11,) 上，在 -1 ， 1 上 .例 3证明当 x0 时， xarctan x.证：方法 1 用中值定理，作函数f (u)arctanu, 取区间 0,x (x o )显然 f (u) 在 0,x上连续，在（0， x ）内可导，于是有arctan xarctan011,(0, x)x012即 x arctanx.证法 2：用单调性，作函数 f ( x)xarctanx ， f x=110 （对xo）， f ( x) 在 0, ) 上，由单调性的1 x2定义知，对 x 0，有 f ( x)f (0)而 f (0)0arctan00 , f

7、 (x) 0 , 即 xarctan x （对x0） .例 4设 f ( x) 在 (,) 有二阶导数 , 并且 f ( x)0 求证 f ( x) 是一次函数 .证 ( f ( x)f ( x)0存在常数 a , 使 f ( x) a .f(x) axf( x)a0存在 b 使得 f (x)ax b .例 5求证当 x0 时恒有 x1 x2ln( 1 x) .21证 研究函数 f ( x) ln( 1x)xx2 ,我们有2f (x)11 x ,f( x)111xx) 2(1当 x0 ,f(x)110f ( x) 在 0,) 单调增 .x)2(1f ( x)及 f (0)0当 x0时 , f

8、( x) 0f ( x) .即，当 x0 时 ,恒有 x1 x 2ln(1x) .2例 6求 证 对 于 任 意 x 0 , 都 有ln 2 (11 )1.xx(x1)证设 t1 ,不等式变成：t0 ,t 2ln 2 (1t)x1t（方法一）设 f (t)t 2tln 2 (1t ) ,1今要证 :t0 ,f (t)0.f 00 ,f (t )2tt 22ln 1t1,1t21tg t1 t其中：gt2tt 22ln 1t,1tg 00gt22tt 22t 20g t 0121t1t2tf00fx1g t0fx01t（方法二） 设 f (t)t1t ln(1t ) ,今要证 :t0 ,f (t )0 .f(t )111ln 1t ,1t21t121t2ln 1t1g(t) ,212 1tt其中， g (t )2 1t2 ln 1t ,因 g (0)0, g ( x)110g (t)0 .1t1 t( 方 法 三 )把 不 等 式 变 成 ： t0 ,tt ) .ln( 11 t设 f (t)tln(1t ) ,今要证 :t0 ,f (t)0 ，1t因