组合16387.ppt

1、1.2.2 组合（一）,问题一：从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加某天的一项活动，其中1名同学参加上午的活动，1名同学参加下午的活动，有多少种不同的选法？,问题二：从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加某天一项活动，有多少种不同的选法？,甲、乙；甲、丙；乙、丙,3,情境创设,有 顺 序,无 顺 序,一般地，从n个不同元素中取出m（mn）个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合,排列与组合的概念有什么共同点与不同点？,概念讲解,组合定义:,组合定义: 一般地，从n个不同元素中取出m（mn）个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合,排列定义: 一般地，从n个不同

2、元素中取出m (mn) 个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个排列.,共同点: 都要“从n个不同元素中任取m个元素”,不同点: 排列与元素的顺序有关， 而组合则与元素的顺序无关.,概念讲解,思考一:ab与ba是相同的排列还是相同的组合?为什么?,思考二:两个相同的排列有什么特点?两个相同的组合呢?,概念理解,构造排列分成两步完成，先取后排；而构造组合就是其中一个步骤.,思考三:组合与排列有联系吗?,判断下列问题是组合问题还是排列问题?,(1)设集合A=a,b,c,d,e，则集合A的含有3个元素的子集有多少个?,(2)某铁路线上有5个车站，则这条铁路线上共

3、需准备多少种车票?,有多少种不同的火车票价？,组合问题,排列问题,(3)10名同学分成人数相同的数学和英语两个学习小组,共有多少种分法?,组合问题,(4)10人聚会，见面后每两人之间要握手相互问候,共需握手多少次?,组合问题,(5)从4个风景点中选出2个游览,有多少种不同的方法?,组合问题,(6)从4个风景点中选出2个,并确定这2个风景点的游览顺序,有多少种不同的方法?,排列问题,组合问题,组合是选择的结果，排列 是选择后再排序的结果.,1.从 a , b , c三个不同的元素中取出两个元素的所有组合分别是:,ab , ac , bc,2.已知4个元素a , b , c , d ,写出每次取出

4、两个元素的所有组合.,ab , ac , ad , bc , bd , cd,(3个),(6个),概念理解,从n个不同元素中取出m（mn）个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号 表示.,如:从 a , b , c三个不同的元素中取出两个元素的所有组合个数是:,如:已知4个元素a 、b 、 c 、 d ,写出每次取出两个 元素的所有组合个数是：,概念讲解,组合数:,注意： 是一个数，应该把它与“组合”区别开来,1.写出从a,b,c,d 四个元素中任取三个元素的所有组合。,abc ， abd ， acd ， bcd .,练一练,组合,排列,abc bac cab

5、acb bca cba,abd bad dab adb bda dba,acd cad dac adc cda dca,bcd cbd dbc bdc cdb dcb,不写出所有组合，怎样才能知道组合的种数？,你发现了什么?,组合数公式,排列与组合是有区别的，但它们又有联系,根据分步计数原理，得到：,因此：,一般地，求从 个不同元素中取出 个元素的排列数，可以分为以下2步：,第1步，先求出从这 个不同元素中取出 个元素的组合数 ,第2步，求每一个组合中 个元素的全排列数 ,这里 ，且 ，这个公式叫做组合数公式,概念讲解,组合数公式:,从 n 个不同元中取出m个元素的排列数,概念讲解,（2)列出

6、所有冠亚军的可能情况.,（2）甲乙、甲丙、甲丁、乙丙、乙丁、丙丁 乙甲、丙甲、丁甲、丙乙、丁乙、丁丙,(1) 甲乙、甲丙、甲丁、乙丙、乙丁、丙丁,解：,例题分析,(4)求,例3,例题分析,例3：一位教练的足球队共有17名初级学员，他们中以前没有一人参加过比赛。按照足球比赛规则，比赛时一个足球队的上场队员是11人。问： （1）这位教练从这17名学员中可以形成多少种学员上场方案？ （2）如果在选出11名上场队员时，还要确定其中的守门员，那么教练员有多少种方式做这件事情？,变式练习,按下列条件，从12人中选出5人，有多少种不同选法？ （1）甲、乙、丙三人必须当选； （2）甲、乙、丙三人不能当选； （

7、3）甲必须当选，乙、丙不能当选； （4）甲、乙、丙三人只有一人当选； （5）甲、乙、丙三人至多2人当选； （6）甲、乙、丙三人至少1人当选；,例7.(1)平面内有10个点，以其中每2个点为端 点的线段共有多少条？,(2)平面内有10个点，以其中每2个点为端点的有向线段共有多少条？,例题分析,解：以每2个点为端点的线段的条数，就是从10个不同元素中取出2个元素的组合数，即 由于有向线段的两个端点中一个是起点，一个是终点，以每2个点为端点的有向线段的条数，就是从10个不同元素中取出2个元素的排列数，即,例3：在100件产品中有98件合格品，2件次品。产品检验时,从100件产品中任意抽出3件。 (1

8、)一共有多少种不同的抽法? (2)抽出的3件中恰好有1件是次品的抽法有多少种? (3)抽出的3件中至少有1件是次品的抽法有多少种? (4)抽出的3件中至多有一件是次品的抽法有多少种？,说明：“至少”“至多”的问题，通常用分类法或间接法求解。,例8 在100件产品中，有98件合格品，2件次品从这100件产品中任意抽出3件（1）一共有多少种不同的抽法？（2）抽出的3件中恰好有1件是次品的抽法有多少种？（3）抽出的3件中至少有1件是次品的抽法有多少种？,解：（1）所求的不同抽法的种数，就是从100件产品中取出3件的组合数，为 （2）从2件次品中抽出1件次品的抽法有 种，从98件合格品中抽出2件合格品

9、的抽法有 种因此抽出的3件中格有1件是次品的抽法的种数是 （3）抽出的3件中至少有1件是次品的抽法的种数，就是从100件中抽出3件的抽法种数减去3件都是合格品的抽法的种数，即,例8 在100件产品中，有98件合格品，2件次品从这100件产品中任意抽出3件（1）一共有多少种不同的抽法？（2）抽出的3件中恰好有1件是次品的抽法有多少种？（3）抽出的3件中至少有1件是次品的抽法有多少种？,(3) 第一类：抽出的3件中格有1件是次品的抽法的种数是 第二类：抽出的3件中格有2件是次品的抽法的种数是,抽出的3件中至少有1件是次品的抽法的种数有,课堂练习：,2、从6位同学中选出4位参加一个座谈会，要求张、王

10、两人中至多有一个人参加，则有不同的选法种数为 。,3、要从8名男医生和7名女医生中选5人组成一个医疗队，如果其中至少有2名男医生和至少有2名女医生，则不同的选法种数为（ ）,4、从7人中选出3人分别担任学习委员、宣传委员、体育委员，则甲、乙两人不都入选的不同选法种数共有（ ）,1、把6个学生分到一个工厂的三个车间实习，每个车间2人，若甲必须分到一车间，乙和丙不能分到二车间，则不同的分法有 种 。,9,9,C,D,例3 高二年级8个班,组织一个12个人的年级学生分会,每班要求至少1人,名额分配方案有多少种?,解 此题可以转化为:将12个相同的白球分成8份,有多少种不同的分法问题,因此须把这12个

11、白球排成一排,在11个空档中放上7个隔板,每个空档最多放一个,即可将白球分成8份,显然有 种不同的放法,所以名额分配方案有 种.,结论3 隔板法:解决指标分配问题,分析 此题若直接去考虑的话,就会比较复杂.但如果我们将其转换为等价的其他问题,就会显得比较清楚,方法简单,结果容易理解.,例4 袋中有5分不同硬币23个,1角不同硬币10个,如果从袋中取出2元钱,有多少种取法?,解 把所有的硬币全部取出来,将得到 0.0523+0.1010=2.15元,所以比2元多0.15元,所以剩下0.15元即剩下3个5分或1个5分与1个1角,所以共有 种取法.,结论4： 剩余法:在组合问题中,有多少取法,就有多

12、少种剩法,他们是一一对应的,因此,当求取法困难时,可转化为求剩法.,分析 此题是一个组合问题,若是直接考虑取钱的问题的话,情况比较多,也显得比较凌乱,难以理出头绪来.但是如果根据组合数性质考虑剩余问题的话,就会很容易解决问题.,对应法,例7 在100名选手之间进行单循环淘汰赛（即一场 比赛失败要退出比赛），最后产生一名冠军，问要 举行几场？,分析：要产生一名冠军，需要淘汰掉冠军以外的 所有选手，即要淘汰99名选手，淘汰一名选手需要 进行一场比赛，所以淘汰99名选手就需要99场比赛。,例5、9人排成一行，下列情形分别有多少种排法？甲不站排头，乙不站排尾,点评：利用对称的思想， （一）先排甲（特殊

13、元素优先考虑） （二）先排尾位(特殊位置优先考虑） (三）间接法,练习： 用0，1，2，3，4这五个数，组成没有重复 数字的三位数，其中1不在个位的数共有_种。,分析：五个数组成三位数的全排列有 个，0排在首位的 有 个 ，1排在末尾的有 ，减掉这两种不合条件的排 法数，再加回百位为0同时个位为1的排列数 （为什么？） 故共有 种。,甲乙必须排在一起，丙丁不能排在一起,点评：小团体排列问题中，先整体后局部，再结合不相邻问题的插空处理。,甲乙丙从左到右排列（固定顺序问题） 分析：,评：对于某几个元素顺序一定的排列问题， 可先将这几个元素与其它元素一同进行排列， 然后用总的排列数除以这几个元素的全

14、排列数.,引申：有三人从左到右顺序一定,点评：定序问题除法处理,分析：,练习： 有4名男生，3名女生。3名女生高矮互不等， 将7名学生排成一行，要求从左到右，女生从矮到高 排列，有多少种排法？,前排三人，中间三人，后排三人 分析：,引申：前排一人，中间二人，后排六人,点评：分排问题直排处理,练习： 七人坐两排座位，第一排坐3人，第二排坐 4人，则有多少种不同的坐法？,分析：7个人，可以在前后排随意就坐，再无 其他限制条件，故两排可看作一排处理，所以 不同的坐法有 种.,分成甲、乙、丙三组，甲组4人，乙组3人，丙组2人。 分析：,引申：分成甲、乙、丙三组，一组4人，一组3 人， 一组2人 分析：

15、,分成甲、乙、丙三组，每组3人。 分析：,分成三组，每组3人 分析：,引申：分成三组，一组5人，另两组各两人 分析：,点评：局部均分无序问题易出错,实验法（穷举法）,题中附加条件增多，直接解决困难时，用实验逐步寻求规律有时也是行之有效的方法。,例 将数字1，2，3，4填入标号为1，2，3，4的四个方格内，每个方格填1个，则每个方格的标号与所填的数字均不相同的填法种数有（ ）,A.6 B.9 C.11 D.23,分析：此题考查排列的定义，由于附加条件较多，解法较为困难，可用实验法逐步解决。,第一方格内可填2或3或4。如填2，则第二方格中内可填1或3或4。,若第二方格内填1，则第三方格只能填4，第

16、四方格应填3。,若第二方格内填3，则第三方格只能填4，第四方格应填1。,同理，若第二方格内填4，则第三方格只能填1，第四方格应填3。因而，第一格填2有3种方法。,不难得到，当第一格填3或4时也各有3种，所以共有9种。,练 习 （不对号入座问题）,（1）（2004湖北）将标号为1，2，3，10的 10个球放入标号为1，2，3，10的10个盒子中， 每个盒内放一个球，恰好有3个球的标号与其所在盒子 的标号不一致的放入方法有_种,（2）编号为1、2、3、4、5的五个球放入编号为1、2、3、4、5的五个盒子里，至多有2个对号入座的情形有_种,109,直接法：,间接法：,例8、高二（1）班从7人中选4人

17、组成4100m接力赛其中甲乙二人不跑中间两棒，有多少种选法？,点评：排列组合综合题的解法应遵循在分类的基础上，先组合后排列的原则，分类与分步相结合，分类时做到不重复不遗漏.,练习:（徐州二检）从6人中选4人组成4100m接力赛，其中甲跑第一棒，乙不跑最后一棒，有多少种选法？ 分析：（一）直接法 （二）间接法,48,例9、从正方体的6个面中任选3个，其中2个面不相邻的选法有多少种？,练习：从正方体的8个顶点中选4个作四面体，则不同的四面体的个数为 。,58,练习：（南通一检）一个三位数，其十位上的数字既小于百位上的数字也小于个位上的数字（如，等），那么这样的三位数有 个,285,练习1 某人射击8枪，命中4枪，那么命中的4枪中恰有3枪是连中的情形有几种？,练习2 一排8个座位，3人去坐，每人两边至少有一个空座的坐法有多少种？,练习3 马路上有编号为1,2,3,10的十只路灯,为节约电而不影响照明,可以把其中的三只路灯关掉,但不能同时关掉相邻的两只或三只,也不能关掉马路两端的灯,问满足条件的关灯方法有多少种？,练习4 A、B、C、D、E五人站成一