概率论与数理统计：第六章 数理统计的基本概念

1、,第六章 数理统计的基本概念,概率论：随机变量的概率分布,数理统计：分析带有随机影响数据,理 论 基 础,生 物 统 计,应用领域：,计 量 经 济,教 育 统 计,保 险 统 计,地 质 数 学,总体与样本,6.1,一个统计问题总有它明确的研究对象.,1.总体,研究对象的全体称为总体(母体)，,总体中每个成员称为个体.,总体,一、总体和样本,然而在统计研究中，人们关心总体仅仅是关心其每个个体的一项(或几项)数量指标和该数量指标在总体中的分布情况. 这时，每个个体具有的数量指标的全体就是总体.,为推断总体分布及各种特征，按一定规则从总体中抽取若干个体进行观察试验，以获得有关总体的信息，这一抽取

2、过程称为 “抽样”，所抽取的部分个体称为样本. 样本中所包含的个体数目称为样本容量.,2. 样本,但是，一旦取定一组样本，得到的是n个具体的数 (X1,X2,Xn)，称为样本的一次观察值，简称样本值 .,样本是随机变量.,抽到哪5辆是随机的,容量为n的样本可以看作n维随机变量.,基本概念:,总体：研究的问题所涉及的对象的全体,个体：总体中的每个成员,样本：从总体中抽取部分个体,样本容量：样本所包含的个体数量,样本的二重性,数的属性,随机变量的属性,设X1,X2, ,Xn为总体X的一个容量为n的样本。若它满足 独立性，即X1,X2, ,Xn 相互独立； 同分布性，即每个Xi都与总体X服从相同的分

3、布. 则称这样的样本为简单随机样本，简称为样本。,统计量与抽样分布,6.2,设X1,X2, ,Xn是总体X的样本，g(X1,X2, ,Xn)是样本的实值函数，且不包含任何未知参数，则称g(X1,X2, ,Xn)为统计量。,统计量的二重性,统计量,样本均值,常用统计量,样本方差,样本均方差或样本标准差S,常用统计量,样本k阶(原点)矩,样本k阶中心矩,设X1,X2, ,Xn是取自总体X的样本，记x1,x2, ,xn是样本的任一观测值，将它们按由小到大的顺序重新排列为x(1) x(2) x(n) 。若X(k)= x(k) ，则称X(1),X(2), ,X(n)为样本X1,X2, ,Xn的次序统计量

4、。,次序统计量,第k个次序统计量,最小次序统计量,最大次序统计量,设X1,X2, ,Xn是取自总体X的样本，对应的次序统计量为X(1) X(2) X(n) ，当给定次序统计量的观测值x(1) x(2) x(n)时,对任意实数x，称函数,经验分布函数,为总体X的经验分布函数。,例1：从总体X中抽取容量为3的样本，其 观测值为 （1） 1，2，3 （2）1，1，2 试求X的经验分布函数。,解：将样本观测值由小到大排序得,例1：从总体X中抽取容量为8的样本，其 观测值为 33，45，25，33，35，65，30，27。 试求X的经验分布函数。,解：将样本观测值由小到大排序得 25273033=333

5、54565 则由定义得经验分布函数为,3. 抽样分布,统计量既然是依赖于样本的，而后者又是随机变量，故统计量也是随机变量，因而就有一定的分布，这个分布叫做统计量的“抽样分布” .,抽样分布,2分布,t 分布,F分布,2分布,定义：设X1,X2, ,Xn独立同分布, 都服从N(0,1), 则称统计量 2=X12+X22+Xn2 所服从的分布是自由度为 n 的2分布.记为22(n),2分布的概率密度函数图形,2分布,性质1(可加性) Y1 2(m)， Y2 2(n)，Y1与Y2独立， 则Y1 +Y2 2(m+n),性质2(数字特征) 若2 2(n)，则 E(2)=n，D(2)=2n,例2. 设X1

6、,X2, ,Xn是来自正态总体 XN(,2)的样本，求随机变量 Y=(X1- )2+ (X2- )2+ (Xn- )2/2 的概率分布。,解:X1,X2,Xn相互独立且都服从N(,2) 分布，令Yi=(Xi- )/,则Y1,Y2, ,Yn相互独立且Yi N(0,1) ，,由定义知Y= Y12+Y22+Yn2 2(n),t分布,定义: 设XN(0,1) , Y2(n), 且X与Y相互独立，则称随机变量,服从自由度为 n的 t 分布.记为Tt(n).,t分布的概率密度函数图形,例3.设X1,X2, ,Xn是来自正态总体N(0,4) 的样本，试问统计量,服从什么分布？,F分布,定义：设X 2(m)，

7、 Y 2(n)， X与Y相互独立，则称随机变量 F=(X/m)/(Y/n) 所服从的分布是自由度为(m,n)的F分布.记为FF(m,n),F分布的概率密度函数图形,F分布,性质1 若XF(m,n)， 则1/XF(n,m),性质2 若X t(n)，则X2F(1,n),例4.设X1,X2, ,Xn是来自正态总体N(0,1) 的样本，试问统计量,服从什么分布？,抽样分布的分位点1,设为给定的常数，且01. 若存在2(n)使,其中fn(x)为2的概率密度，则称点2(n)为2分布关于的上侧分位点。,抽样分布的分位点2,设为给定的常数，且01. 若存在t (n)使,其中fn(t)为T的概率密度，则称点t (n)为t分布关于的上侧分位点。,抽样分布的分位点3,设为给定的常数，且01. 若存在F (m,n)使,其中f(y)为F的概率密度，则称点F (m,n)为F分布关于的上侧分位点。,分位点的性质,(2),(3),(4) 当n较大(n45)时,有,正态总体的抽样分布,定理1：设X1,X2, ,Xn是来自正态总体N(,2) 的样本，则,正态总体的抽样分布,定理2：设X1,X2, ,Xm是来自正态总体N(1,2) 的样本， Y1,Y2, ,Yn