大学物理（下）：3高斯定理VIP

1、1,10-2,高斯定理,2,高斯（Carl Friedrich Gauss 1777-1855） 德国数学家和物理学家。1777年4月30日生于德国布伦瑞克，幼时家境贫困，聪敏异常，受一贵族资助才进学校受教育。1795-1799年在哥廷根大学学习，1799年获博士学位。1833年和物理学家W.E.韦伯共同建立地磁观测台，组织磁学学会以联系全世界的地磁台站网。1855年2月23日在哥廷根逝世。,高斯长期从事于数学并将数学应用于物理学、天文学和大地测量学等领域的研究，著述丰富，成就甚多。他一生中共发表323篇（种）著作，提出404项科学创见（发表178项），在各领域的主要成就有：,3,（1）物理学

2、和地磁学中，关于静电学、温差电和摩擦电的研究、利用绝对单位（长度、质量和时间）法则量度非力学量以及地磁分布的理论研究。,（2）利用几何学知识研究光学系统近轴光线行为和成像，建立高斯光学。,（3）天文学和大地测量学中，如小行星轨道的计算，地球大小和形状的理论研究等。,（4）结合试验数据的测算，发展了概率统计理论和误差理论，发明了最小二乘法，引入高斯误差曲线。此外，在纯数学方面，对数论、代数、几何学的若干基本定理作出严格证明。,在CGS电磁系单位制（emu）中磁感应强度的单位定为高斯（1932年以前曾经用高斯作为磁场强度单位），便是为了纪念高斯在电磁学上的卓越贡献。,4,一、定理表述,静电场中通过

3、任意的闭合曲面的电通量，等于曲面内电荷的代数和除以 0 。,二、定理证明,1、先证明点电荷的情况成立。取点电荷位于坐标原点高斯面是半径为R的闭合球面。,q是曲面S内所包含的电荷。,5,穿过球面的电通量,左边,球面上各点E大小相等， E/dS ,cos =1,右边,左边=右边,6,2、当曲面是任意形状时，通过球面的电力线也必然通过曲面。即高斯面不是球面时 高斯定理也成立。,3、当高斯面内包含的点电荷不止一个时，利用场强的叠加原理：,7,4.点电荷位于闭合面外,左边,穿入与穿出的电场线根数相同，正负通量抵消。,右边,由于闭合面内无电荷。,左边=右边,8,3.点电荷系：设有 1、2、k 个电荷在闭合

4、面内，k+1、k+2、n 个电荷在闭合面外,由场叠加原理，高斯面上的场强为：,面内电荷,面外电荷,证毕,i在高斯面内,9,三、明确几点,1.高斯面为闭合面。,3. E 为高斯面上某点的场强，是由空间所有电荷产生的，与面内面外电荷都有关。,2.电通量 只与曲面内电荷有关，与曲面外电荷无关。, = 0，高斯面内不一定无电荷，有可能曲面内电荷等量异号。, =0，高斯面上各点的场强不一定为 0，可能是高斯面内无静电荷。,高斯定是理静电场的基本定理，在计算电场强度上也有广泛的应用。,10,例1：计算半径 R、带电量为 q 的均匀带电球体内、外的电场强度。,解：1.球体外部 r R，均匀带电球体决定场强为

5、球对称,取半径为 r 的球面为高斯面。,球面内电荷代数和为,球面上各点的场强 E 大小相等，方向与法线同向。,11,球面上各点的场强 E 大小相等，方向与法线相同。,与点电荷的场相同。,2.球体内部 r R,面内电荷代数和为,12,将两边的计算结果代入得：,在球体内部电场强度与r成正比。,13,四、选取高斯面原则,1.要求电场具有高度对称性。,2.高斯面应选取规则形状(通常是圆柱面或球面）。,3.高斯面上各点的法向与场强的关系可以选择为： 场强方向与法线方向一致或者垂直。,写成,或高斯面上某一部分各点的场强方向与高斯面法线方向垂直，该部分的通量为0。,14,例2：计算无限长均匀带电直线外一点P的电场强度 E ，设P点到直线的距离为r,线电荷密度为 。,解：作半径为r高为h的闭合圆柱面，,P,15,侧面上各点的场强E 大小相等，方向与法线相同。,16,例3：无限大均匀带电平板，面电荷密度为 ，求平板附近某点的电场强度。,解：作底面积为 S ，高为 h 的闭合圆柱面，,17,18,做第20次规范作业。,19,例4：两无限大带电平面（平行板电容器），面电荷密度分别为 + 和 - ， 求：电容