第1章随机事件及概率5-6节

1、第五、六节,随机事件的独立性,与伯努利概型,基本内容：,一、事件的相互独立,二、伯努利概型,2020/5/9,1,一、事件相互独立,1.,问题的引入,设,A,，,B,是试验,E,的两事件，,若,P,(,B,)0,，可定义,P,(,AB,),P,(,A,|,B,),?,P,(,B,),现比较,P,(,A|B,),与,P,(,A,).,一般地,P(A|B),P(A).,只有,B,的发生对,A,发生的概率无影响,，,才会有,P(A|B),=P(A),这时有,P,(,AB,),?,P,(,A,|,B,),P,(,B,),?,P,(,A,),P,(,B,),2020/5/9,2,引例：,放回地连续,设在

2、,10,个元件中有,7,个一等品，,抽取两次，,每次抽取一个元件,.,设,A,i,表示“第,i,次取得一等品,”,试比较,P,(,A,2,),与,P,(,A,2,|,A,1,).,7,P,(,A,2,),?,.,10,7,分析：,由题意知,P,(,A,1,),?,10,7,P,(,A,2,|,A,1,),?,10,7,P,(,A,1,A,2,),?,2,10,2,有,P,(,A,2,|,A,1,),?,P,(,A,2,),而,P,(,A,1,A,2,),?,P,(,A,1,),P,(,A,2,),结果表明,:,事件,A,1,的发生并不影响事件,A,2,发生的概率大小,.,2020/5/9,3,

3、2.,事件的两两独立,定义,.,对任意两个随机事件,A,与,B,若,P(,AB,),?,P(,A,)P(,B,),则称事件,A,与事件,B,相互独立,(,简称为,独立,).,注：,1,A,与,B,独立,0,P,(,AB,),?,P,(,A,),P,(,B,),若,P,(,B,),?,0,P,(,A,|,B,),?,P,(,A,),解释,:,A,与,B,相互独立，是指,A(,或,B,),的发生与,B,(,或,A,),的发生的概率无关,.,2020/5/9,4,2,o,独立与互不相容的关系,它们是两个不同的概念，无必然的联系,.,(1) A,与,B,相互独立：,P(AB)=P(A)P(B),意义：

4、,A,的发生与否对,B,的发生的,(,概率,),无影响,.,(2)A,与,B,互不相容,:,AB,?,?,意义,: A,与,B,不能同时发生,是事件间本身的关系,.,容易证明，若,P(A)0, P(B)0,则,A, B,相互独立与,A, B,互不相容不能同时成立的,.,2020/5/9,5,性质,:,(,1,),必然事件,及不可能事件,?,与任何事件都独立.,(2),若事件,A,与,B,相互独立，,则下列各对事件,A,与,B,也相互独立,.,A,与,B,A,与,B,推论：若,A,B,;,A,B,;,A,这四对事件中,只要有一对独立，,B,;,A,B,则其余三对也独立,.,2020/5/9,6,

5、证,(2):,只证事件,A,与,B,因为,AB,?,A,?,AB,?,A,B,(,AB,与,A,B,不相容,),从而,由此得,P,(,A,),?,P,(,AB,),?,P,(,A,B,),P,(,A,B,),?,P,(,A,),?,P,(,AB,),?,P,(,A,),?,P,(,A,),P,(,B,),?,P,(,A,),1,?,P,(,B,),?,P,(,A,),P,(,B,).,2020/5/9,7,例,1.,一个家庭中有三个小孩,假定生男孩和女孩,是等可能的,A,=“,一个家庭中有男孩、又有女孩”,B,=“,一个家庭中最多有一个女孩”,讨论,A,与,B,的独立性？,解：,有三个小孩的家

6、庭的样本空间为,?,?,(男,男,男),(男,男,女),(男,女,男),(女,男,男),(男,女,女),(女,男,女),(女,女,男),(女,女,女),2020/5/9,8,A,?,(男,男,女),(男,女,男),(女,男,男),(男,女,女),(女,男,女),(女,女,男),B,?,(男,男,男),(男,男,女),(男,女,男),(女,男,男,),AB,?,(,男,男,女),(男,女,男),(女,男,男),于是,有,3,4,1,6,3,P,(,A,),?,?,P,(,B,),?,?,P,(,AB,),?,8,8,2,8,4,3,P,(,AB,),?,?,P,(,A,),P,(,B,).,8,

7、因此事件,A,与,B,相互独立,.,2020/5/9,9,3.,多个事件的独立性,(1),三个事件的独立性,如果满足下述等式,定义,1.,设三个事件,A,、,B,、,C,，,P,(,AB,)=,P,(,A,),P,(,B,),P,(,BC,)=,P,(,B,),P,(,C,),P,(,AC,)=,P,(,A,),P,(,C,),则称事件,A,、,B,、,C,两两独立,.,2020/5/9,10,定义,2.,设三个事件,A,、,B,、,C,，,如果满足下述等式,P,(,AB,)=,P,(,A,),P,(,B,),P,(,BC,)=,P,(,B,),P,(,C,),（两两独立）,P,(,AC,)=

8、,P,(,A,),P,(,C,),P,(,ABC,)=,P,(,A,),P,(,B,),P,(,C,),则称事件,A,、,B,、,C,相互独立,.,注：,3,个事件相互独立,3,个事件两两独立,2020/5/9,11,伯恩斯坦反例,例,2:,一个均匀的正四面体,其第一面染成红色，,第二面染成白色,第三面染成黑色,而第四面同,时染上红、白、黑三种颜色,.,现以,A, B, C,分别,记投一次四面体出现红、白、黑颜色朝下的事件，,问,A,，,B,，,C,是否相互独立,?,解,:,由于在四面体中红、白、黑分别出现两面,1,因此,P,(,A,),?,P,(,B,),?,P,(,C,),?,2,1,又由

9、题意知,P,(,AB,),?,P,(,BC,),?,P,(,AC,),?,4,2020/5/9,12,故有,1,?,P,(,AB,),?,P,(,A,),P,(,B,),?,?,4,?,1,?,?,P,(,BC,),?,P,(,B,),P,(,C,),?,4,?,1,?,P,(,AC,),?,P,(,A,),P,(,C,),?,?,4,?,则三事件,A,B,C,两两独立,.,1,由于,P,(,ABC,),?,4,?,1,?,P,(,A,),P,(,B,),P,(,C,),8,因此,A,B,C,不相互独立,.,2020/5/9,13,(2),n,个事件的独立性,定义,1.,设,n,个事件,A,1

10、,A,2,?,A,n,(,n,?,3,),若其中,任意,两个事件,A,i,与,A,j,(,1,?,i,?,j,?,n,),有,P,(,A,i,A,j,),?,P,(,A,i,),P,(,A,j,),则称这,n,个事件,两两独立,.,2020/5/9,14,定义,2.,设有,n,个事件,A,1,A,2,?,A,n,(,n,?,3,),若其中,任意,k,个事件,A,i,A,i,?,A,i,(,2,?,k,?,n,),有,1,2,k,P,(,A,i,1,A,i,2,?,A,i,k,),?,P,(,A,i,1,),P,(,A,i,2,),?,P,(,A,i,k,),则称这,n,个事件,相互独立,.,n

11、,个事件相互独立需要证多少个等式？,2,3,n,C,n,?,C,n,?,?,?,C,n,?,(,1,?,1,),?,C,?,C,?,2,?,n,?,1,n,1,n,0,n,n,注：,n,个事件相互独立,n,个事件两两独立,2020/5/9,15,性质：,1.,若,n,个事件,A,1,A,2, ,A,n,(n,2),相互独立，则,将,A,1,A,2, ,A,n,中任意多个事件换成它们的对,立事件，所得的,n,个事件仍相互独立,.,则有,2.,设,n,个事件,A,1,A,2,?,A,n,相互独立，,P,(,A,1,A,2,?,A,n,),?,P,(,A,1,),P,(,A,2,),?,P,(,A,

12、n,).,2020/5/9,16,例,3.,用,4,个元件组成一个系统如图,各个元件能否,正常工作是相互独立的,每个元件的可靠性,(,正常,工作的概率,),为,p,(0,p,1),求系统的可靠性,.,解,:,设事件,A,i,表示,1,3,L,则,R,“,第,i,个元件能正常工作,”,2,4,(,i,=1,2,3,4),事件,A,表示“系统,L-R,能正常工,作”,?,(,A,1,?,A,2,)(,A,3,?,A,4,).,A,由于,A,?,(,A,1,?,A,2,),?,(,A,3,?,A,4,),?,(,A,1,A,2,),?,(,A,3,A,4,),2020/5/9,17,则有,P,(,A

13、,),?,P,(,A,1,A,2,),?,(,A,3,A,4,),?,P,(,A,1,A,2,),?,P,(,A,3,A,4,),?,P,(,A,1,A,2,A,3,A,4,),?,P,(,A,1,),P,(,A,2,),?,P,(,A,3,),P,(,A,4,),?,P,(,A,1,),P,(,A,2,),P,(,A,3,),P,(,A,4,),?,2,(,1,?,p,),?,(,1,?,p,),.,2,4,所以,P,(,A,),?,1,?,P,(,A,),?,1,?,2,(,1,?,p,),?,(,1,?,p,),?,1,?,2,(,1,?,p,),?,(,1,?,p,),2,2,2,2,

14、4,2,2,4,?,1,?,(,1,?,p,),?,p,(,2,?,p,),.,2020/5/9,18,二、伯努利概型,考虑一个简单的试验,它只出现,(,或只考虑,),两,种结果,如某批产品抽样检查得到合格或不合格,;,射击手命中目标或不命中,;,发报机发出信号,0,或,1;,掷一次骰子点数“,6”,是否出现等,.,而,P,(,A,)=,p,一般地,试验,E,只有两种结果,A,和,?,A,，,(0,p,1),则称,E,为,伯努利试验,或,伯努利概型,.,2020/5/9,19,1.,n,重伯努利概型,将,伯努利试验,E,独立地重复,进行,n,次,我们把,这,n,次独立重复伯努利试验总起来看成,

15、一个试验,称这种试验为,n,重伯努利试验,(,n,重伯努利概型,).,注：,n,重伯努利试验有,3,个特点：,(1),每次试验的结果只能是,A,或,?,A;,(2),A,在每次试验中出现的概率,p,保持不变,;,(3),各次试验相互独立,;,2020/5/9,20,例,4.,连续抛掷一枚硬币两次，观察正、反面,出现的情况,.,2,重伯努利概型,分析：,每次试验有,2,种结果,A=,正面,A=,反面,且,P,(,A,)=1/2,P,(,A,),?,1/,2,又试验独立重复进行,2,次,例,5.,抛一颗骰子,n,次，观察是否“出现,3,点”,.,n,重伯努利概型,分析：,每次试验有,2,种结果,A

16、=,出现,3,点,A=,不出现,3,点,且,P,(,A,)=1/6,，,P,(,A,),?,5/,6,又试验独立重复进行,n,次,2020/5/9,21,2.,二项概率公式,定理,.,在,伯努利概型,中,设,事件,A,在各次试验中,发生的概率为,P,(,A,)=,p,(0,p,1),则在,n,次试验中,A,恰好出现,k,次的概率为,P,n,(,k,),=,C,p,q,且,?,C,p,q,k,n,k,k,?,0,n,k,n,k,n-k,(,k,=,0,1,L,n,;,q,=,1,-,p,),n,?,k,?,1.,2020/5/9,22,证明：,在,n,重伯努利概型中，,事件,A,恰好出现,k,次

17、：,A,A,?,A,A,A,?,A,;,k,次,k,-1,次,发生的概率均为,p,k,(1,-p,),n -,k,= p,k,q,n -,k,2020/5/9,23,n-k,次,n-k-,1,次,A,A,?,A,A,A,A,A,?,A,;,共有,C,n,k,种方式,且两两互不相容,.,每一种方式,因此事件,A,在,n,次试验中发生,k,次的概率为,P,n,(,k,),?,C,p,q,k,n,k,n,?,k,k,?,0,1,K,n,q,?,1,?,p,.,由于,?,C,k,?,0,n,k,n,p,q,?,C,p,q,?,C,pq,0,n,0,n,1,n,k,n,?,k,n,?,1,?,L,?,C

18、,p,q,n,n,n,0,?,(,p,?,q,),?,1.,故称此公式为,二项概率公式,.,2020/5/9,24,n,3.,应用,例,6,.,设某种药对某种疾病的治愈率为,80%,现有,求,10,个患这种疾病的病人同时服用这种药，,(1),恰有,6,人被治愈的概率；,(2),至少有,6,人被治愈的概率。,解：,设,A,k,表示“恰好有,k,个人被治愈”,A,6,表示“恰好有,6,个人被治愈”,据题意分析知,该模型属于,10,重伯努利模型,.,P,(,A,6,),?,C,0,.,8,0,.,2,6,10,6,2020/5/9,4,?,0,.,113,25,例,6(,续,),.,设某种药对某种疾

19、病的治愈率为,80,%,现有,10,个患这种疾病的病人同时服用这种药，,求,(2),至少有,6,人被治愈的概率。,解：,设,A,k,表示“恰好有,k,个人被治愈”,A,表示“至少有,6,人被治愈”,.,由于,A,6,A,7,?,A,10,互不相容，,且,A,?,A,6,?,A,7,?,?,?,A,10,所以,P,(,A,),?,P,(,A,6,?,A,7,?,?,?,A,10,),?,?,P,(,A,k,),?,k,?,6,10,?,C,k,?,6,10,k,10,0,.,8,0,.,2,k,10,?,k,?,0,.,967,.,26,2020/5/9,内容小结,1.,理解事件的独立性定义；,

20、熟练掌握利用独立性计算事件的概率；,若,P,(,B,),?,0,P,(,A,|,B,),?,P,(,A,),P,(,AB,),?,P,(,A,),P,(,B,),2.,掌握伯努利概型及二项概率公式,并熟练利用,此公式计算事件的概率。,k,n,k,n,?,k,P,n,(,k,),?,C,p,q,2020/5/9,(,k,?,0,1,2,?,n,),27,作业,习题一,(28),：,24,、,26,、,27,、,28,2020/5/9,28,备用题,1,.,已知,P,(,A,),?,0,.,5,P,(,A,?,B,),?,0,.,8,在下列情况下,求,P,(,B,),:,(,1,),A,B,不相容

21、,；,(,2,),A,B,相互独立,；,(,3,),A,?,B,.,解,:,(1),因为,A,，,B,不相容，所以,P,(,A,?,B,),?,P,(,A,),?,P,(,B,),所以,P,(,B,),?,P,(,A,?,B,),?,P,(,A,),?,0,.,8,?,0,.,5,?,0,.,3,2020/5/9,29,(2),因为,A,，,B,独立，所以,P,(,B,),?,P,(,A,?,B,),?,P,(,A,),?,P,(,A,),P,(,B,),?,0,.,8,?,0,.,5,?,0,.,5,?,P,(,B,),?,P,(,B,),?,0,.,6,.,(,3,),因为,A,?,B,所

22、以,A,?,B,?,B,P,(,B,),?,P,(,A,?,B,),?,0,.,8,2020/5/9,30,2. (,血型问题,),某国家的统计数据显示，一个人的血型为,O,A, B, AB,型的概率分别为,0.46,，,0.40,，,0.11,，,0.03.,现任选五人，求下列事件的概率：,(1),两个人为,O,型,其他三人分别为其他三种血型；,(2),三人为,O,型,两人为,A,型；,(3),没有一个人为,AB,型；,解：,设事件,A=,“两个人为,O,型,其他三人分别为,事件,B=“,三人为,O,型,两人为,A,型”,其他三种血型”；,2020/5/9,31,事件,C=“,没有一个人为,AB,型”,则,(,1,),P,(,A,),?,C,?,C