第1章-质点运动学

1、大学物理学,电子教案,同济大学,第一章,质点运动学,机械运动,一个物体相对于另一个物体的空间位置,随时间发生变化；,或一个物体的某一部分相,对于其另一部分的位置随时间而发生变化的,运动。,力学,研究物体机械运动及其规律的学科。,运动学：,研究物体在空间的位置随时间的变化规,律以及运动的轨道问题，而并不涉及物体发,生机械运动的变化原因。,动力学：,以牛顿运动定律为基础，研究物体运动,状态发生变化时所遵循规律的学科。,1-1,质点,参考系,坐标系,1-1-1,质点,质点：,具有一定质量的，大小,和形状可以忽略的理想物体。,行星,可以把行星绕太阳的运动看做是质点的运动。,太阳,1-1-2,参考系和坐

2、标系,?,物质的运动具有绝对性,?,描述物质运动具有相对性,参考系：,为描述物体的运动而选取的参考物体。,坐标系：,用以标定物体的空间位置而设置的坐标系统。,1-2,描述质点运动的物理量,1-2-1,位置矢量与运动方程,上海,热带风暴,位置矢量,（位矢）,从坐标原点,O,出发，指向质点,所在位置,P,的一有向线段,位矢用坐标值表示为：,z,?,O,?,?,r,P,(,x,y,z,),?,y,?,?,?,?,r,?,x,i,?,y,j,?,z,k,2,2,2,x,位矢的大小为：,位矢的方向：,x,cos,?,?,r,y,cos,?,?,r,z,cos,?,?,r,r,?,x,?,y,?,z,运动

3、方程：,矢量形式：,?,?,r,?,r,(,t,),?,?,?,?,r,?,x,(,t,),i,?,y,(,t,),j,?,z,(,t,),k,z,参数形式：,x,?,x,(,t,),y,?,y,(,t,),z,?,z,(,t,),轨道方程：,O,x,?,r,y,F,(,x,y,z,),?,0,1-2-2,位移与路程,设质点做曲线运动,?,t,时刻位于,A,点，位矢,r,A,z,A,?,t,+,?,t,时刻位于,B,点，位矢,r,B,x,O,?,?,r,A,r,B,?,?,r,B,y,位移矢量：,在,?,t,时间内，位矢的变化量（即,A,到,B,的有向,线段），简称,位移,。,在直角坐标系中,

4、?,?,?,?,?,r,?,?,x,i,?,?,y,j,?,?,z,k,z,A,?,?,?,?,r,?,r,B,?,r,A,?,AB,O,x,?,?,r,A,r,B,?,?,r,?,s,B,?,2,2,2,?,r,?,?,x,?,?,y,?,?,z,y,路程：,质点在轨道上所经过的曲线长度,s,?,?,s,?,?,r,?,lim,?,s,?,lim,?,r,?,t,?,0,?,t,?,0,?,d,s,?,d,r,1-2-3,速度,速度是反映质点运动快慢和方向的物理量,速度：,单位时间内质点所发生的位移。,z,A,?,平均速度,B,设质点做一般曲线运动,t,A,时刻位于,A,点,t,B,时刻位于

5、,B,点,y,在,?,t,时间内发生位移：,r,A,O,x,?,?,?,r,?,r,B,?,?,?,?,r,?,r,B,?,r,A,?,?,?,r,平均速度：,v,?,?,t,单位：,m,?,s,?,1,平均速度的方向与,?,t,时间内位移的方向一致,?,瞬时速度,质点在某一时刻所具有的速度,z,A,?,v,?,?,?,r,d,r,?,?,1,v,?,lim,?,单位：,m,?,s,?,t,?,0,?,t,d,t,x,?,r,A,O,?,?,r,B,?,r,B,y,速度的方向为轨道上质点所在处的切线方向。,速度的矢量式：,?,?,?,?,v,?,v,x,i,?,v,y,j,?,v,z,k,d,

6、x,d,y,d,z,v,x,?,v,y,?,v,z,?,d,t,d,t,d,t,速度的三个坐标分量：,速度的大小：,?,2,2,2,v,?,v,?,v,x,?,v,y,?,v,z,?,速率,?,1,在,?,t,时间内，质点所经过路程,?,s,对时间的变化率,?,s,平均速率：,v,?,?,t,单位：,m,?,s,?,s,?,s,d,s,瞬时速率：,v,?,lim,?,d,t,?,t,?,0,?,t,一般情况：,A,?,?,r,B,?,?,r,?,?,s,因此,?,v,?,v,当,?,t,?,0,时：,?,?,?,?,r,?,d,r,?,d,s,则,v,?,v,1-2-4,加速度,加速度是反映速

7、度变化的物理量,?,t,1,时刻，质点速为,v,1,?,t,2,时刻，质点速度为,v,2,?,t,时间内，速度增量为：,z,?,?,r,1,r,2,?,v,1,?,v,2,y,o,?,?,?,v,?,1,平均加速度：,a,?,单位：,m,?,s,?,t,?,?,?,?,v,?,v,2,?,v,1,x,?,v,1,?,v,2,?,?,v,结论：,平均加速度的方向与速度增量的方向一致。,当,?,t,?,0,时，平均加速度的极限即为瞬时加速度。,?,?,2,?,v,d,v,d,r,?,?,1,?,?,2,单位：,m,?,s,瞬时加速度：,a,?,lim,d,t,d,t,?,t,?,0,?,t,加速度

8、的矢量式：,d,v,x,d,x,a,x,?,?,2,d,t,d,t,2,?,?,?,?,a,?,a,x,i,?,a,y,j,?,a,z,k,2,d,y,a,y,?,?,2,d,t,d,t,d,v,y,d,v,z,d,z,a,z,?,?,2,d,t,d,t,2,加速度的大小：,加速度的方向：,?,2,2,2,a,?,a,x,?,a,y,?,a,z,?,当,?,t,趋向零时，速度增量,?,v,的极限方向。,运动学的两类问题,运动方程是运动学问题的核心,1.,已知运动方程，求质点任意时刻的位置、速度,以及加速度,?,?,r,?,r,?,t,?,?,?,d,r,v,?,d,t,?,2,?,?,d,v,

9、d,r,a,?,?,2,d,t,d,t,2.,已知运动质点的速度函数（或加速度函数）以,及初始条件求质点的运动方程,?,?,d,v,?,a,d,t,?,?,d,r,?,v,d,t,?,t,?,d,r,?,v,d,t,?,?,?,r,0,t,0,?,t,?,d,v,?,a,d,t,?,?,?,v,0,?,r,t,0,?,v,?,?,?,2,例,1,已知质点的运动方程为,r,?,2,t,i,?,19,?,2,t,j,?,?,求：（,1,）轨道方程；（,2,）,t,=2s,时质点的位置、速度,以及加速度；,（,3,）什么时候位矢恰好与速度垂直？,解：,(1),?,?,?,?,?,2,（,2,）,r,

10、?,2,?,2,i,?,19,?,2,?,2,j,m,?,?,4,i,?,11,j,?,m,2,?,?,?,?,?,?,?,d,r,?,1,v,?,?,2,i,?,4,t,j,v,2,?,?,2,i,?,8,j,?,m,?,s,d,t,x,?,2,t,y,?,19,?,2,t,1,2,消去时间参数,y,?,19,?,x,2,2,?,?,v,2,?,2,?,?,?,8,?,m,?,s,?,8,.,25,m,?,s,2,2,?,1,?,1,?,?,?,?,d,r,?,2,i,?,4,t,j,（,3,）,v,?,d,t,?,8,?,?,arctan,?,?,75,?,5,8,?,2,?,?,?,d,

11、v,a,?,?,?,4,j,d,t,a,?,4,m,?,s,（,4,）,?,2,方向沿,y,轴的负方向,?,?,?,?,?,?,2,r,?,v,?,2,t,i,?,19,?,2,t,j,?,?,2,i,?,4,t,j,?,?,?,?,?,?,4,t,?,4,t,(,19,?,2,t,),?,4,t,(,2,t,?,18,),2,2,?,8,t,(,t,?,3,)(,t,?,3,),?,0,t,1,?,0,t,2,?,3,s,两矢量垂直,例,2,设某一质点以初速度,运动，其加速度为,停止前运动的路程有多长？,做直线,。问：质点在,d,v,d,v,解：,a,?,?,?,10,v,?,?,10,d,

12、t,d,t,v,v,d,v,t,v,两边积分：,?,?,?,10,?,d,t,ln,?,?,10,t,v,0,v,0,v,0,v,?,v,0,e,?,10,t,d,x,?,10,t,v,?,d,x,?,v,d,t,?,v,0,e,d,t,d,t,两边积分：,?,x,0,d,x,?,v,0,?,e,0,t,?,10,t,d,t,?,1,?,10,t,?,x,?,v,0,?,?,e,?,1,?,?,10,?,?,?,x,?,10,(,1,?,e,x,0,?,10,(,1,?,e,?,10,?,0,?,10,?,?,10,t,),),?,10,(,1,?,1,),?,0,),?,10,(,1,?,0

13、,),m,?,10,m,x,?,?,10,(,1,?,e,?,x,?,x,?,?,x,0,?,10,m,例,3,路灯距地面高度为,h,，身高为,l,的人以速度,v,0,在,路上匀速行走。求：（,1,）人影头部的移动速度；,（,2,）影长增长的速率。,解：,（,1,）,x,2,?,x,1,x,2,?,l,h,(,h,?,l,),x,2,?,hx,1,h,l,两边求导：,d,x,2,d,x,1,O,x,1,x,2,x,(,h,?,l,),?,h,d,t,d,t,d,x,2,d,x,1,h,v,0,其中：,?,v,?,v,0,v,?,d,t,d,t,h,?,l,（,2,）,令,b,?,x,2,?,x

14、,1,为影长,d,b,l,d,x,2,v,?,?,?,d,t,h,d,t,代入,l,b,?,x,2,h,以,d,x,2,h,v,0,?,d,t,h,?,l,得,l,v,0,v,?,?,h,?,l,1-2-5,自然坐标系下的速度和加速度,自然坐标系：,把坐标建立在运动轨迹上的坐标系统。,s,O,P,?,?,e,t,e,n,?,s,Q,?,e,n,?,?,?,切向坐标轴沿质点前进方向的切向为正，单位矢量为,e,t,?,法向坐标轴沿轨迹的法向凹侧为正，单位矢量为,e,n,规定：,?,e,t,s,O,P,?,?,s,e,n,?,e,t,Q,?,e,t,?,v,质点位置：,s,?,s,?,t,?,路程：

15、,?,s,?,s,P,?,s,Q,d,s,?,?,速度：,v,?,v,e,t,?,e,t,d,t,质点的加速度：,?,?,?,d,e,t,d,v,d,(,v,e,t,),d,v,?,?,e,t,?,v,a,?,?,d,t,d,t,d,t,d,t,d,v,?,e,t,：,d,t,速度大小的变化率，其方向指向曲线的切线方向,切向加速度：,?,d,v,?,d,s,?,a,t,?,e,t,?,2,e,t,d,t,d,t,2,讨论,?,?,?,?,e,t,?,e,t,(,t,?,?,t,),-,e,t,(,t,),当：,?,t,?,0,?,?,?,0,有,?,e,t,?,e,t,?,?,?,?,?,?,

16、方向,?,d,e,t,d,t,?,e,t,?,t,?,?,t,?,O,?,P,2,?,?,s,P,1,?,e,t,?,t,?,?,?,?,e,t,?,e,t,?,?,e,t,?,e,t,?,t,?,?,t,?,?,?,d,e,t,?,e,t,?,?,?,?,lim,?,lim,e,n,d,t,?,t,?,0,?,t,?,t,?,0,?,t,?,?,e,t,?,t,?,?,?,?,?,?,s,?,O,?,e,t,?,t,?,?,t,?,P,2,?,?,d,e,t,?,s,?,?,?,lim,e,n,d,t,?,t,?,0,?,t,1,d,s,?,v,?,?,e,n,?,e,n,d,t,?,2,d

17、,e,t,v,?,v,?,e,n,d,t,?,?,s,P,1,?,e,t,?,t,?,沿法线方向,?,2,d,e,t,v,?,?,?,e,n,法向加速度：,a,n,?,v,d,t,综上所述：,速度的大小：,?,?,?,d,v,?,v,?,a,?,a,t,?,a,n,?,e,t,?,e,n,d,t,?,2,a,?,a,?,a,2,n,2,t,速度的方向（以与切线方向的夹角表示）：,a,n,?,?,arctan,a,t,例：抛体运动,?,a,n,?,?,a,t,?,g,1-2-6,圆周运动及其角量描述,角位置,?,：,质点所在的矢径与,x,轴的夹角。,角位移,?,?,：,质点从,A,到,B,矢径转

18、过的角度,。,规定：,逆时针转向,?,?,为正,顺时针转向,?,?,为负,y,B,角速度,?,：,角加速度：,?,?,d,?,?,?,lim,?,d,t,?,t,?,0,?,t,?,R,?,s,A,?,?,?,O,x,?,?,d,?,?,?,lim,?,d,t,?,t,?,0,?,t,角量表示匀加速圆周运动的基本公式：,?,?,?,0,?,?,t,1,2,?,?,?,0,?,?,0,t,?,?,t,2,2,2,?,?,?,0,?,2,?,?,?,?,?,0,?,角量和线量的关系：,v,?,R,?,a,t,?,R,?,2,a,n,?,R,?,s,?,R,?,d,s,d,?,?,R,d,t,d,t

19、,d,v,d,?,?,R,d,t,d,t,2,v,a,n,?,?,R,?,R,2,可以把角速度看成是矢量,！,?,?,方向由右手螺旋法则确定,。,右手的四指循着质点的转动方向弯曲，拇指,的指向即为角速度矢量的方向。,y,?,线速度与角速度的关系：,?,?,?,v,?,?,?,r,R,?,v,?,?,?,d,v,d,?,?,d,r,?,?,r,?,?,d,t,d,t,d,t,?,?,r,O,x,z,?,?,?,?,?,a,?,?,r,?,?,v,?,?,?,?,r,?,?,R,方向沿着运动的切线方向。,?,?,?,?,r,为切向加速度,?,?,?,?,?,v,y,?,?,?,2,?,?,?,v,

20、?,?,v,?,?,R,?,v,R,?,?,?,v,方向指向圆心,?,?,r,?,?,x,O,?,v,为切向加速度,z,v,?,r,?,?,r,(,?,2,t,?,4,),?,0,.,2,?,(,?,2,?,1,?,4,),m,?,s,?,0,.,4,m,?,s,?,1,例,4,半径为,r,= 0.2 m,的飞轮，可绕,O,轴转动。已知,轮缘上一点,M,的运动方程为,?,= -,t,2,+4,t,，求在,1,秒时,刻,M,点的速度和加速度。,d,?,d,?,解：,?,?,?,?,?,?,2,?,?,2,t,?,4,d,t,d,t,?,2,?,2,?,1,a,t,?,?,r,?,(,?,2,),

21、?,0,.,2,m,?,s,?,?,0,.,4,m,?,s,2,2,?,2,a,n,?,r,?,?,0,.,2,(,?,2,?,1,?,4,),m,?,s,?,0,.,8,m,?,s,?,v,?,2,?,a,n,o,M,?,a,?,a,?,a,?,0,.,89,m,?,s,2,t,2,n,?,2,?,a,t,x,a,n,0,.,8,?,?,arctan,?,arctan,?,63,.,4,?,a,t,0,.,4,?,a,例,5,一质点沿半径为,R,的圆周运动，其路程,s,随时,2,间,t,的变化规律为,s,?,bt,?,1,2,?,ct,，式中,b,，,c,为大于,2,零的常数，且,b,?,Rc,。求（,1,）质点的切向加速,度和法向加速度。（,2,）经过多长时间，切向加速,度等于法向加速度。,d,s,解：,（,1,）,v,?,?,b,?,ct,d,t,2,2,d,v,v,(,b,?,ct,),a,t,?,?,?,c,a,n,?,?,d,t,R,R,（,2,）,a,t,?,a,n,解得,b,R,t,?,?,