概率论与数理统计第六章统计量

1、,数理统计学是一门应用性很强的学科,.,它是研究,怎样以,有效的方式收集,、,整理和分析带有,随机性的,数据,，以便对所考察的问题作出,推断和预测,.,由于大量随机现象必然呈现它,规,律性,，只要对随机现象进行,足够多次,观察，被研究的规律性一定能清楚地,呈现出来,.,客观上，,只允许我们对随机现象,进行次数不多的观察试验,，我们只,能获得,局部,观察资料,.,第一节,随机样本,在数理统计中，不是对所研究的对象全体,(,称,为总体,),进行观察，而是抽取其中的部分,(,称为样本,),进行观察获得数据（抽样），并通过这些数据对总,体进行推断,.,数理统计方法具有“部分推断整体”的,特征,.,在数

2、理统计研究中，人们往往研究有关对象的,某一项,(,或几项,),数量指标和为此，对这一指标进行,随机试验，观察试验结果全部观察值，从而考察该,数量指标的分布情况,.,这时，每个具有的数量指标的,全体就是总体,.,每个数量指标就是个体,.,某批,灯泡的寿命,该批灯泡寿命的全,体就是总体,国产轿车每公里,的耗油量,国产轿车每公里耗油量,的全体就是总体,一,个统计问题总有它明确的研究对象,.,1.,总体,研究某批灯泡的质量,研究对象的全体称为,总体,，,总体,一、总体和样本,总体中所包含的个体的个数称为总体的容量,.,总体中每个成员称为个体，,总体,有限总体,无限总体,?,?,?,?,?,因此在理论上

3、可以把总体与概率分布等同起来,.,我们关心的是总体中的个体的某项指标,(,如人的,身高、灯泡的寿命,汽车的耗油量),.,由于每个个体的出现是随机的，所以相应的数量指,标的出现也带有随机性,.,从而可以把这种数量指标看,作一个随机变量,X,，因此随机变量,X,的分布就是该数,量指标在总体中的分布,.,总体就可以用一个随机变量及其分布来描述,.,例如,:,研究某批灯泡的寿命时，关心的数量指标,就是寿命，那么，此总体就可以用随机变量,X,表示，,或用其分布函数,F,(,x,),表示,.,X:,某批,灯泡的寿命,总体,寿命,X,可用一概率分布,（如指数分布）来刻划,鉴于此，常用随机变量的记号,或用其分

4、布函数表示总体,.,如,说总体,X,或总体,F,(,x,) .,类似地，在研究某地区中学生的营养状况时,，,若关心的数量指标是身高和体重，我们用,X,和,Y,分,别表示身高和体重，那么此总体就可用二维随机变,量,(,X,Y,),或其联合分布函数,F,(,x,y,),来表示,.,统计中，总体这个概念,的要旨是：,总体就是一个概,率分布,.,参数的分布，为推断总体分布及各种特征，按一,定规则从总体中抽取若干个体进行观察试验，以,获得有关总体的信息,，这一抽取过程称为,“,抽,样”,，所抽取的部分个体称为样本,.,样本中所包,含的个体数目称为,样本容量,.,2.,样本,从国产轿车中,抽,5,辆,进行

5、耗油量试验,样本容量为,5,抽到哪,5,辆是随机的,总体分布一般是未知，或只知道是包含未知,一旦取定一组样本,X,1,，, ,X,n,得到,n,个具体的数,(,x,1,x,2,x,n,),，称为样本的一次观察值，简称样本值,.,n,称为这个样本的容量,.,.,2,1,n,X,X,X,n,X,，,，,，,观察，其结果依次记为,次重复、,在相同的条件下，进行,对总体,?,.,2,1,分布,同的,与总体随机变量具有,的一个简单随机样本，,是来自总体,这样得到的随机变量,X,X,X,X,n,?,最常用的一种抽样叫作“,简单随机抽样,”，其特点：,1.,代表性：,X,1,X,2,X,n,中每一个与所考察

6、的总体有,相同的分布,.,2.,独立性：,X,1,X,2,X,n,是相互独立的随机变量,.,定义：,由简单随机抽样得到的样本称为简单随机样本，,它可以用与总体独立同分布的,n,个相互独立的随机,变量,X,1,X,2,X,n,表示,.,),(,2,1,*,n,x,x,x,F,?,=F,(,x,1,),F,(,x,2,) ,F,(,x,n,),),(,2,1,*,n,x,x,x,f,?,=f,(,x,1,),f,(,x,2,) ,f,(,x,n,),若总体的分布函数为,F,(,x,),、概率密度函数为,f,(,x,),则其简单随机样本的联合分布函数为,其简单随机样本的联合概率密度函数为,的取,是总

7、体随机样本,这里,),(,),(,2,1,2,1,n,n,X,X,X,x,x,x,?,?,事实上我们抽样后得到的资料都是具体的、确,定的值,.,如我们从某班大学生中抽取,10,人测量身高,得到,10,个数，它们是样本取到的值而不是样本,.,我,们只能观察到随机变量取的值而见不到随机变量,.,3.,总体、样本、样本值的关系,总体（理论分布）,？,样本,样本值,统计是从手中已有的资料,-,样本值，去推断总,体的情况,-,总体分布,F,(,x,),的性质,.,总体分布决定了样本取值的概率规律，也就是,样本取到样本值的规律，因而可以由样本值去推断,总体,.,样本是联系二者的桥梁,总体：研究对象的全体称

8、为总体,个体：总体中每个成员称为个体,:,简单随机样本,由简单随机抽样得到的样本称为简单随机样本，,它可以用与总体,X,独立同分布的,n,个相互独立的随机,变量,X,1,X,2,X,n,表示,n,为样本容量,其观察值为,.,2,1,n,x,x,x,?,统计模型：,),(,),(,2,1,独立同,的联合分布,样本,n,X,X,X,?,小结,第三节,样本及抽样分布,统计量,统计三大抽样分布,几个重要的抽样分布定理,由样本值去推断总体情况，需要对样本值进行“加工,”，这就要构造一些样本的函数，它把样本中所含的（某,一方面）的信息集中起来,.,1.,统计量,这种不含任何未知参数的样本的函数,称为统,计

9、量,.,它是完全由样本决定的量,其取值,(,观察值,),是,一、统计量,),(,2,1,n,X,X,X,g,?,),(,2,1,n,x,x,x,g,?,几个常见统计量,样本平均值,?,?,?,n,i,i,X,n,X,1,1,它反映了总体均值,的信息,样本方差,?,?,?,?,?,n,i,i,X,X,n,S,1,2,2,),(,1,1,它反映了总体,方差的信息,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,n,i,i,X,n,X,n,1,2,2,1,1,样本标准差,?,?,?,?,?,n,i,i,X,X,n,S,1,2,),(,1,1,常用的统计量,?,?,?,n,i,i,x,n,x,1,1,观察

10、值,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,n,i,i,x,n,x,n,s,1,2,2,2,1,1,观察值,?,?,?,?,?,n,i,i,x,x,n,s,1,2,),(,1,1,观,察,值,?,?,?,n,i,k,i,k,X,n,A,1,1,它反映了总体,k,阶矩的信息,样本,k,阶原点矩,样本,k,阶中心矩,?,?,?,?,n,i,k,i,k,X,X,n,B,1,),(,1,k,=1,2,它反映了总体,k,阶,中心矩的信息,请注意,:,.,2,1,1,),(,1,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,k,X,n,A,n,X,E,k,X,k,p,n,i,k,i,k,

11、k,k,时，,存在，则当,阶矩,的,若总体,.,),(,),(,2,1,2,1,为连续函数,其中,可将上述性质推广,由依概率收敛性质知，,再,g,g,A,A,A,g,k,p,k,?,?,?,?,?,?,?,?,.,根据,这就是矩估计法的理论,.,2,1,),(,2,1,2,1,上述结论,再由辛钦大数定律可得,同分布,独立且与,有,同分布，,独立且与,由,事实上,n,k,X,E,X,X,X,X,X,X,X,X,k,k,i,k,k,n,k,k,n,?,?,?,?,?,?,二、统计三大抽样分布,定义,:,设,相互独立,都服从正态分布,N,(0,1),则称随机变量：,n,X,X,X,2,1,?,2,2

12、,2,2,1,2,n,X,X,X,?,?,?,?,?,?,2,?,分布是由正态分布派生出来的一种分布,.,分布,2,.,1,?,),(,2,2,n,n,?,?,分布，记为,的,为,所服从的分布为自由度,),(,),(,1,),(,),1,(,2,1,2,2,2,2,n,X,N,X,n,i,i,i,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,则,若,独立,2,1,2,2,2,1,2,1,),(,),(,),2,(,X,X,n,X,n,X,?,?,),(,2,1,2,2,1,n,n,X,X,?,?,?,.,2,),(,),(,),(,),3,(,2,n,X,D,n,X,E,n,X,?,?,?,分布的分

13、位点,2,).,4,(,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,),(,2,2,2,),(,),(,n,dy,y,f,n,P,1,0,?,?,?,?,，,对于给定的正数,称满足条件,.,381,.,34,),25,(,),(,.,),(,),(,2,0.1,2,2,2,?,?,?,?,?,?,?,?,可通过查表求，例,如图所示,分位点，,分布的上,为,的点,n,n,n,),(,2,n,?,?,?,386,25,1,.,0,P,n,见,?,?,?,概率密度函数为：,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,t,n,t,n,n,n,t,h,n,2,1,2,),1,(,),

14、2,(,2,),1,(,),(,定义,:,设,X,N,(0,1) ,Y,且,X,与,Y,相互,独立，则称变量,n,Y,X,t,?,所服从的分布为自由度为,n,的,t,分布,.,),(,2,n,?,).,(,n,t,t,记为,分布的密度,分布又称为学生氏分布,),(,.,n,t,t,分布,t,.,2,分布的性质：,t,),2,(,),2,(,),(,0,),(,),(,.,1,?,?,?,?,n,n,n,t,D,t,E,n,t,t,t,n,与方差为：,其数学期,分布,的,具有自由度为,.,2,1,),(,lim,.,0,.,2,2,2,t,n,e,t,h,n,t,t,?,?,?,?,?,?,?,

15、函数的性质有,由,再,分布概率密度的图形，,其图形近似于标准正态,充分大时,当,对称,分布的密度函数关于,).,1,0,(,N,t,n,近似,足够大时，,即当,分布,t,.,2,.,.,),(,),(,如图所,分位点,分布的上,为,的点,?,?,n,t,n,t,),(,n,t,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,),(,),(,),(,n,t,dt,t,h,n,t,t,p,称满足,，,对于给定的,分布的分位点,1,0,.,3,?,?,?,?,t,),(,n,t,?,?,),(,),(,1,n,t,n,t,t,?,?,?,?,?,?,分位点的性质：,分布的上,.,1315,.,2,)

16、,15,(,P285,),(,025,.,0,?,t,n,t,t,求得，例,可查表见,分位点,分布的上,?,?,?,?,?,?,?,z,n,t,n,),(,45,的值，可用正态,时，对于常用的,当,由定义可见，,3,、,F,分布,1,2,1,n,U,n,V,F,?,F,(,n,2,n,1,),分布,F,.,3,服从自由度为,n,1,及,n,2,的,F,分布，,n,1,称为第自,由度，,n,2,称为第二自由度，记作,2,1,n,V,n,U,F,?,F,F,(,n,1,n,2,) .,则称随,定义：设,),(,),(,2,2,1,2,n,V,n,U,?,?,三、几个重要的抽样分布定理,有,和样本方

17、,则样本均值,来自总体的一个样本，,是,，,，方差为,的均值为,设总体,2,2,1,2,X,S,X,X,X,X,n,?,?,?,2,(,),(,),E,X,D,X,n,?,?,?,?,2,2,),(,),(,?,?,?,X,D,S,E,定理,1 (,样本均值的分布,),设,X,1,X,2, ,X,n,是来自正态总体,),(,2,?,?,N,的样本，,是样本均值，则有,),(,2,n,N,X,?,?,),1,0,(,N,n,X,?,?,?,即,X,）,本均值,已知，可由该定理求样,，,（若正态总体的,X,2,?,?,01,(,),X,N,n,?,?,?,?,n,取不同值时样本,均值,的分布,X,

18、请注意,:,),(,2,n,N,X,?,?,定理,2 (,样本方差的分布,),),1,(,),1,(,),1,(,2,2,2,?,?,n,S,n,?,?,设,X,1,X,2,X,n,是来自正态总体,),(,2,?,?,N,的样本,2,S,X,和,分别为样本均值和样本方差,则有,.,),2,(,2,独立,与,S,X,n,取不同值时,的分布,2,2,),1,(,?,S,n,?,）,本方差,已知，可由该定理求样,，,（若正态总体的,2,2,S,?,?,定理,3,(,样本均值的分布,),设,X,1,X,2,X,n,是取自正态总体,),(,2,?,?,N,的样本,2,S,X,和,分别为样本均值和样本方差

19、,则有,),1,(,?,?,n,t,n,S,X,?,且相互独立,分布的定义可得,、,由定理,证,),1,(,),1,(,),1,0,(,t,2,1,2,2,2,?,?,?,?,?,?,?,n,S,n,N,n,X,),1,(,),1,(,2,2,?,?,?,?,?,?,n,t,S,n,n,X,则,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,i,i,x,n,x,n,S,2,2,2,2,2,1,1,s,.,X,(,的值是,这里样本方差,本均值,时，可用本定理计算样,，,在未知总体,?,?,.,),3,.,0,0,(,.,2,3,;,N(0,1),X,.,1,2,10,1,2,2,10,1,2,3

20、,2,2,2,1,2,3,2,2,2,1,3,2,1,n,X,c,c,N,X,X,X,X,X,X,X,X,X,X,X,X,X,i,i,i,分,布,，,并,求,自,由,度,服,从,使,的,值,，,求,独,立,同,分,布,，,设,是,样,本,，,则,，,设,总,体,例,?,?,?,?,?,?,?,?,),3,(,2,?,),3,(,t,),1,0,(,3,.,0,3,.,0,3,.,0,3,.,0,),(,),3,.,0,(,2,2,2,N,X,X,D,X,D,i,i,i,?,?,?,),10,(,3,.,0,3,.,0,3,.,0,2,2,10,2,2,2,1,?,?,?,?,?,?,?,?,?

21、,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,X,X,X,?,),10,(,3,.,0,1,2,1,2,2,?,?,?,?,i,i,X,09,.,0,1,?,c,分,布,，,使,得,服,从,求,常,数,，,来,自,总,体,设,样,本,2,2,6,5,4,2,3,2,1,6,2,1,C,),(,),(,),1,0,(,.,3,?,X,X,X,X,X,X,Y,N,X,X,X,?,?,?,?,?,?,?,),3,0,(,),3,0,(,6,5,4,3,2,1,N,X,X,X,N,X,X,X,?,?,?,?,),1,0,(,3,),1,0,(,3,6,5,4,3,2,1,N,X,X,X,N

22、,X,X,X,?,?,?,?,),2,(,3,2,?,Y,?,3,1,?,?,C,上的均匀分布,分布,的样本，求,来自总体,设,例,2,0,.,2,;,),1,0,(,.,1,),(,),(,),(,),(,2,1,?,X,X,S,E,X,D,X,E,X,X,X,n,?,?,),(,),(,.,1,pq,X,D,p,X,E,?,?,解,?,?,?,n,i,i,X,n,X,1,1,),(,),(,1,),(,;,),(,1,),(,2,1,2,S,E,n,pq,X,D,n,X,D,p,X,nE,n,X,E,n,i,?,?,?,?,?,?,?,3,4,2,),(,;,2,E(X),.,2,2,2,

23、0,2,2,2,0,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,dx,x,X,E,dx,x,解,),(,3,),(,),(,),(,2,2,2,2,S,E,X,E,X,E,X,D,?,?,?,?,?,n,X,D,n,X,D,X,nE,n,X,E,n,i,3,),(,1,),(,;,),(,1,),(,2,1,2,?,?,?,?,?,?,?,?,?,的,概,率。,于,样,本,均值,差,的,绝,对,值大,的,两,独立,的,容,量分,别,为,求,总,体,例,3,.,0,15,10,),3,20,(,N,Y,，,为,解：两样本均值分别记,X,),15,3,20,(,);,10,3,20,(,N,Y,N,X,),2,1,0,(,),15,3,10,3,20,20,(,N,N,Y,X,?,?,?,?,3,.,0,1,3,.,0,?,?,?,?,?,?,?,Y,X,P,Y,X,P,p,所求概率为,6744,.,0,),42,.,0,(,2,2,2,1,3,.,0,2,1,2,1,3,.,0,1,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,Y,X,P,1,),(,2,),(,1,),(,),(,),(,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,a,a,a,a,a,常用的统计量,样本平均值,1,1,?,?,?