第四讲力矩平衡

1、有固定转动轴,物体的平衡,一力矩,M,FL,1,力臂,1,转动轴到力的作用线的垂直距离,2,最大可能值为力的作用点到转动轴,的距离,练习：如图所示，直杆,OA,可绕,O,点转动，图中虚线,与杆平行，杆端,A,点受四个力,F,1,F,2,F,3,F,4,的作用,力的作用线与,OA,杆在同一竖直平面内，它们对转轴,O,的,力矩分别为,M,1,M,2,M,3,M,4,则它们力矩间的大小关,系是,O,A,M,1,M,2,M,3,M,4,B,M,2,M,1,M,3,M,4,F,2,F,3,F,4,O,C,M,4,M,2,M,3,M,1,F,1,D,M,2,M,1,M,3,M,4,A,A,2,力矩计算的两

2、种常用等效转化方法,1,将力分解后求力矩,F,L,M,FL,sin,F,F,1,L,F,2,M,F,1,L,FL,sin,练习：如图所示，直杆,OA,可绕,O,点转动，图中虚线,与杆平行，杆端,A,点受四个力,F,1,F,2,F,3,F,4,的作用,力的作用线与,OA,杆在同一竖直平面内，它们对转轴,O,的,力矩分别为,M,1,M,2,M,3,M,4,则它们力矩间的大小关,系是,O,A,M,1,M,2,M,3,M,4,B,M,2,M,1,M,3,M,4,F,2,F,3,F,4,O,C,M,4,M,2,M,3,M,1,F,1,A,D,M,2,M,1,M,3,M,4,A,2,力矩计算的两种常用等效

3、转化方法,2,重力矩的两种计算方法,a,G,a,M,G,a,2,G,sin,2,力矩计算的两种常用等效转化方法,2,重力矩的两种计算方法,M,G,a,2,sin,2,a,G,a,M,G,a,sin,G,2,4,a,sin,G,2,G,4,3,力矩的方向,力分解法,F,1,F,F,2,二平衡与平衡条件,1,平衡状态：静止或匀速转动,2,平衡条件：合外力矩为零,M,顺,M,逆,三力矩平衡条件的应用,解题步骤,1,选取研究对象,2,受力分析（转动轴上的受力不用分,析,3,对无明显转动轴的物体还要选取转,动轴,4,确定力臂、力矩方向,5,列方程解,例,1,均匀板重,300 N,装置如图,AO,长,4

4、m,OB,长,8 m,人重,500 N,绳子能承受的最大拉力为,200 N,求：人能在板上安全行走的范围,C,A,O,2m,30,B,4m,8m,解,G,1,x,1,G,2,2,G,1,x,2,G,2,2,F,T,sin 30,8,x,2,0.4m,x,1,1.2m,C,A,O,2m,30,B,C,T,A,O,30,B,F,x,1,x,2,G,1,G,2,2m,G,2,G,1,例,2,一杆秤如图，杆及钩的总重为,G,秤砣重为,P,已知秤钩与杆的重心到提纽的距离,OA,和,OG,求：,1,零刻度的位置，,2,证明刻度是均匀的，,3,讨论若,秤砣换成,2,P,某刻度的读数是否为原来的两倍,A,G,

5、O,B,D,P,G,OG,P,OC,解,W,OA,G,OG,P,OB,P,OC,P,CB,W,OA,P,CB,A,G,O,C,G,P,A,G,O,C,B,W,G,P,G,OG,2,P,OC,解,C,比,C,点更左些,W,OA,G,OG,2,P,OB,2,P,OC,2,P,C,B,W,OA,2,P,C,B,C,B,为,CB,的一半,A,G,O,C,G,2,P,A,G,O,C,B,W,G,2,P,解,G,OG,2,P,OC,C,比,C,点更左些,W,OA,G,OG,2,P,OB,2,P,OC,2,P,C,B,W,OA,2,P,C,B,C,B,为,CB,的一半,A,G,O,C,C,G,B,B,P,1

6、,如左图匀质直角尺重为,2,G,C,端为水平轴，不计,摩擦，当,BC,部分处于水平静止时，试求加在,A,端的最小,作用力,A,C,B,L,G,L,F,2,L,解,G,2,A,C,B,2,G,F,A,G,B,G,C,2,均匀杆，每米长重,30 N,支于杆的左端，在离,左端,0.2 m,处挂一重为,300 N,的重物，在杆的右端加一竖,直向上的拉力,F,杆多长时使杆平衡所需加的拉力,F,最,小，此最小值为多大,F,解,Fx,G,1,x,2,G,2,l,x,2,2,G,2,l,F,15,x,60,x,因为,15,x,60,x,为常数,所以,15,x,60,x,时,F,即,x,2m,时,F,有最小值,

7、F,min,60N,G,2,G,1,3,如图，重为,G,边长为,a,的均匀正方形板与长为,2,a,的轻杆相连，支于轻杆中点，在杆的右端施一竖直向,下的力,F,使杆水平，求力,F,的大小，若为使杆与水平方,向成,30,角，力,F,又应多大,a,a,a,A,a,G,F,甲,F,乙,解法一,G,1.5,a,cos,30,0.5,a,sin30,Fa,cos,30,a,a,a,A,a,G,F,F,甲,乙,G,解法二,G,cos,30,1.5,a,Fa,cos,30,G,sin30,0.5,a,a,a,a,A,a,G,F,甲,F,乙,G,例,4,有四根相同的刚性长薄片,A,B,C,D,质量均,为,m,相

8、互交叉成井字形，接触点均在各薄片的中点,放置在一只水平的碗口边（俯视图如图所示），并在,D,薄片右端的,N,点放上质量也为,m,的小物体，那么,D,薄片中,点受到的压力为,_,F,NB,2,L,F,NA,L,mg,L,2,F,NB,F,NA,mg,F,NB,C,B,D,N,A,A,mg,F,NA,F,NA,mg,mg,F,ND,F,NB,2,L,F,NA,L,mg,L,2,F,NB,F,NA,mg,2,F,NC,F,NB,mg,2,F,ND,F,NC,mg,C,B,D,N,A,F,NA,2,L,mg,2,L,F,ND,L,mg,L,2,F,NB,F,NA,mg,2,F,NC,F,NB,mg,2

9、,F,ND,F,NC,mg,2,F,NA,F,ND,3,mg,15,F,ND,17,mg,F,ND,17,mg,15,4,F,NB,2,F,NA,2,mg,8,F,NC,4,F,NB,4,mg,16,F,ND,8,F,NC,8,mg,2,F,NA,F,ND,3,mg,C,B,D,N,L,A,F,NA,2,L,mg,2,L,F,ND,L,mg,四动态平衡,例：如图所示，一根均匀直棒,AB,A,端用光滑铰链,固定于顶板上,B,端搁在一块表面粗糙的水平板上，现,设板向上运动而棒,AB,匀速转动，则木板对棒的弹力说法,正确的是,A,逐渐变大,B,先变大后变小,C,先变小后变大,D,逐渐变小,A,GL,

10、G,F,N,L,f,F,N,L,N,F,N,GL,sin,2,F,N,F,f,L,sin,L,cos,B,G,2,G,1,cot,F,练习,1,一均匀的直角三直形木板,ABC,可绕过,C,点的水平轴转动，如右,A,图所示。现用一始终沿直角边,AB,且作用,在,A,点的力,F,使,BC,边慢慢地由水平位,B,置转至竖直位置。在此过程中，力,F,的,C,大小与,角变化的图线是,F,F,F,F,O,O,90,A,O,90,B,O,90,C,90,D,解,FL,F,GL,G,F,A,G,B,G,C,解,FL,F,GL,G,FL,Ga,cos,F,A,a,G,B,G,C,练习,1,一均匀的直角三形木板,

11、F,ABC,可绕过,C,点的水平轴转动，如右,A,图所示。现用一始终沿直角边,AB,且作用,在,A,点的力,F,使,BC,边慢慢地由水平位,B,置转至竖直位置。在此过程中，力,F,的,C,大小与,角变化的图线是,F,F,F,F,O,O,90,A,O,90,B,O,90,C,90,D,2,如图所示，质量为,m,粗细均匀的均质细杆,AB,在,B,点用铰链与,墙连接，杆与竖直墙面的夹角为,37,A,端固定一轻质光滑小滑,轮，墙上,C,点固定轻绳的一端，轻绳水平跨过滑轮另一端悬挂有,质量为,M,的物体,G,目前杆,AB,与物体,G,都处于静止状态，则杆的质,量与物体的质量的比值为,m,M,_,若略微增

12、加物体,G,的,质量，仍要使整个系统处于平衡状态，可适当,_,选填“增,大”或“减小,角的大小。,sin37,0.6,cos37,0.8,MgL,sin,mgL,sin,2,MgL,cos,C,2,M,cos,sin,m,sin,A,Mg,m,M,2(cos,sin,sin,2(cot,1,2:3,Mg,G,角改变后上面绳不水平了,mg,上述式子不能用了,B,2,如图所示，质量为,m,粗细均匀的均质细杆,AB,在,B,点用铰链与,墙连接，杆与竖直墙面的夹角为,37,A,端固定一轻质光滑小,滑轮，墙上,C,点固定轻绳的一端，轻绳水平跨过滑轮另一端悬挂,有质量为,M,的物体,G,目前杆,AB,与物

13、体,G,都处于静止状态，则杆,的质量与物体的质量的比值为,m,M,_,若略微增加物体,G,的质量，仍要使整个系统处于平衡状态，可适当,_,选填,增大”或“减小,角的大小。,sin37,0.6,cos37,0.8,MgL,sin,mgL,sin,2,MgL,cos,G,增大时，逆时针力矩增加的多,要再平衡必须增大顺时针力矩的,力臂而减小逆时针力矩的力臂,C,Mg,A,增大,角,B,G,Mg,mg,3,如图所示，一根不均匀的铁棒,AB,与一辆拖车相连接，连,接端,B,为一固定水平转动轴，拖车在水平面上做匀速直线运动,棒长为,L,棒的质量为,40kg,它与地面间的动摩擦因数为,3/3,棒,的重心,C

14、,距转动轴为,2,L,3,棒与水平面成,30,角。运动过程中地面,对铁棒的支持力为,_N,若将铁棒,B,端的固定转动轴向下移,一些，其他条件不变，则运动过程中地面对铁棒的支持力将比原,来,_,选填“增大”、“不变”或“减小”,mg,2,L,mg,cos,F,N,L,cos,F,N,L,sin,3,F,N,2,mg,(1,tan,200 N,F,f,B,F,N,C,A,30,五平衡综合问题,解平衡问题的步骤,1,确定研究对象,2,受力分析,3,力的合成分解,4,选择平衡条件列方程,例,1,如图所示，光滑水平面上有一长木板，一均,匀杆质量为,m,上端铰于,O,点，下端搁在板上，杆与板,间的动摩擦因

15、数为,1/2,杆与竖直方向成,45,角，,1,为使板向右匀速运动，向右的水平拉力,F,应多大,2,为使板向左匀速运动，向左的水平拉力,F,应多大,O,F,解：向右匀速运动时,对杆,NL,cos 45,GL,cos 45,2,NL,sin 45,N,mg,O,对板,F,f,F,N,mg,F,mg,2,F,N,f,f,G,解：向左匀速运动时,对杆,NL,cos 45,GL,cos 45,2,NL,sin 45,N,mg,3,mg,3,O,对板,F,F,f,F,N,mg,6,F,N,f,G,f,F,练习,1,如图所示是一种钳子,O,是它的转动轴，在其两手柄,上分别加大小恒为,F,方向相反的两个作用力

16、，使它钳住长方体,工件,M,工件的重力可忽略不计，钳子对工件的压力大小为,F,N,当另外用沿虚线方向的力把工件向左拉动时，钳子对工件的压力,大小为,F,N,1,而另外用沿虚线方向的力把工件向右拉动时，钳子对,工件的压力大小为,F,N,2,则,A,F,N,1,F,N,F,N,2,B,F,N,1,F,N,F,N,2,C,F,N,1,F,N,F,N,2,D,F,N,1,F,N,F,N,2,F,N,顺,F,逆,f,N,F,M,O,f,F,F,F,逆,O,F,F,M,O,F,练习,2,如图所示，重为,G,的物体,A,靠在光滑竖直墙上，一端,用铰链铰在另一墙上的匀质棒支持物体,A,棒重为,G,棒与竖直,方

17、向的夹角为,则,B,增大棒重,G,物体,A,对棒的摩擦力将增大,C,增大物重,G,且棒仍能支持,A,则,A,对棒的摩擦力将增,大，而弹力不变,D,水平向右移动铰链，使,角增大，但棒仍能支持,A,则,A,对棒的弹力将增大,A,物体,A,对棒端的弹力、摩擦力的合力方向必沿棒的方向,F,f,G,F,N,L,N,G,L,G,F,f,L,f,G,F,f,A,F,N,F,f,G,例,2,如图所示，横截面为四分之一圆（半径为,R,的柱体放,在水平地面上，一根匀质木棒,OA,长为,3,R,重为,G,木棒的,O,端与,地面上的铰链连接，木棒搁在柱体上，各处摩擦均不计。现用一,水平推力,F,作用在柱体竖直面上，使

18、柱体沿着水平地面向左缓慢,移动。问,1,当木棒与地面的夹角,30,时，柱体对木棒的弹力多大,F,N,R,cot,G,1.5,R,cos,F,N,3,F,N,G,sin,2,O,A,R,G,F,3,G,4,例,2,如图所示，横截面为四分之一圆（半径为,R,的柱体放,在水平地面上，一根匀质木棒,OA,长为,3,R,重为,G,木棒的,O,端与,地面上的铰链连接，木棒搁在柱体上，各处摩擦均不计。现用一,水平推力,F,作用在柱体竖直面上，使柱体沿着水平地面向左缓慢,移动。问,2,此时水平推力,F,多大,F,F,N,sin,3,2,G,sin,2,3,G,8,3,F,N,G,sin,2,3,G,4,O,A

19、,F,F,N,例,2,如图所示，横截面为四分之一圆（半径为,R,的柱体放,在水平地面上，一根匀质木棒,OA,长为,3,R,重为,G,木棒的,O,端与,地面上的铰链连接，木棒搁在柱体上，各处摩擦均不计。现用一,水平推力,F,作用在柱体竖直面上，使柱体沿着水平地面向左缓慢,移动。问,3,在柱体向左缓慢移动过程中，柱体对木棒的弹力及水平,推力,F,分别如何变化,3,F,N,G,sin,增大,2,3,2,F,G,sin,增大,2,O,A,F,练习,1,如图所示，均匀板质量为,m,2,放在水平地,面上，可绕过,B,端的水平轴自由转动，质量为,m,的人站,在板的正中，通过跨过光滑滑轮的绳子拉板的,A,端，

20、两,边绳子都恰竖直，要使板的,A,端离地，人对绳的最小拉,力为多大,B,A,解法一：隔离法,F,F,F,T,F,N,mg,N,T,F,T,L,mgL,4,mg,F,T,F,N,mg,2,F,N,L,2,B,A,解法二：整体法,F,T,L,F,T,L,2,3,mgL,4,F,T,mg,2,F,T,F,T,B,A,3,mg,2,2,如图所示，两根质量相等的均匀重杆,OA,和,AB,O,与,A,处均为无摩擦铰链连接，且,OA,AB,为使系统静止,在图示位置，则在,B,端需加的力应,A,在,BA,外侧，斜向上,O,B,可沿,C,只能在,D,可沿,BA,方向,OBA,之内斜向上,BO,方向,A,B,2,

21、如图所示，两根质量相等的均匀重杆,OA,和,AB,O,与,A,处均为无摩擦铰链连接，且,OA,AB,为使系统静,止在图示位置，则在,B,端需加的力应,A,在,BA,外侧，斜向上,B,可沿,BA,方向,C,只能在,OBA,之内斜向上,D,可沿,BO,方向,O,A,B,3,如图所示，均匀细杆,AB,质量为,M,A,端装有转轴,B,端连接细线通过光滑滑轮和质量为,m,的重物,C,相连，若,杆,AB,呈水平，细线与水平方向夹角为,时恰能保持静止,则,M,与,m,的关系是,_,杆对轴,A,的作用力大小,为,_,MgL,2,mgL,sin,M,2,m,sin,F,y,mg,sin,Mg,F,x,mg,co

22、s,F,x,mg,F,y,A,B,C,Mg,3,如图所示，均匀细杆,AB,质量为,M,A,端装有转轴,B,端连接细线通过光滑滑轮和质量为,m,的重物,C,相连，若,杆,AB,呈水平，细线与水平方向夹角为,时恰能保持静止,则,M,与,m,的关系是,_,杆对轴,A,的作用力大小,为,_,MgL,2,mgL,sin,M,2,m,sin,mg,F,A,B,F,mg,C,Mg,例,3,如图所示，杆,AB,均匀，长,30,cm,重,20,N,B,端,挂一重为,G,10,N,的物体,A,端铰于墙上，轻杆,CD,为半,径,10,cm,的四分之一圆弧,D,端铰于墙上,C,端铰于杆,AB,上，求杆,CD,对杆,A

23、B,的作用力,A,C,B,D,G,解,G,L,2,GL,FR,sin 45,F,A,C,B,G,D,G,G,1,如图所示，长均为,L,质量均为,m,的两根均匀直,杆,A,B,它们的上端用光滑铰链铰接，悬挂于天花板,上，在距离两杆下端点均为,L,3,处，用光滑铰链,M,N,与,轻弯杆,C,铰接,A,B,两杆被弯杆,C,撑开的角度为,2,则,可知弯杆,C,对杆,A,的作用力的方向为,_,大小,为,F,_,A,B,2,M,N,C,1,如图所示，长均为,L,质量均为,m,的两根均匀直,杆,A,B,它们的上端用光滑铰链铰接，悬挂于天花板,上，在距离两杆下端点均为,L,3,处，用光滑铰链,M,N,与轻弯杆,C,铰接,A,B,两杆被弯杆,C,撑开的角度为,2,则可知弯杆,C,对杆,A,的作用力的方向为,_,大,小为,F,_,L,2,L,mg,2,sin,F,cos,3,M,N,F,C,3