第十五章机械振动

1、第,15,章,机械振动,1,1940,年华盛顿的塔科曼大桥建成,同年,7,月的一场大风引起桥的共振,桥,被摧毁,2,第,15,章,机械振动,15-1,简谐振动,15-5,同方向的简谐振动的合成,3,15-1,简谐振动,机械振动,物体位置在某一值附近来回往复的变化,广义振动,一个物理量在某一定值附近往复变化,该物理量的运动形式称振动,物理量,r,E,H,Q,i,等等,4,振动的形式,受迫振动,振动,自由振动,共振,阻尼自由振动,无阻尼自由振动,无阻尼自由谐振动,简谐振动,5,重要的振动形式是,简谐振动,SHV,simple harmonic vibration,物理上,一般运动是多个简谐振动的合

2、成,数学上,付氏级数,付氏积分,也可以说,SHV,是振动的基本模型,或说,振动的理论建立在,SHV,的基础上,注意,以机械振动为例说明振动的一般性质,6,一,简谐振动的,判据,k,弹簧谐振子,1,运动学表达式,m,0,x,A,cos,t,0,特征量,x,x,x,位移,A,振幅,广义,振动的物理量,最大位移,由初始条件决定,表征了系统的能量,7,x,A,cos,t,0,T,圆频率,角频率,频率,2,周期,T,1,系统的周期性,固有的性质,称固有,频率,t,0,相位,位相,周相,初位相,取决于时间零点的选择,8,0,初相位,相位和初相,相位,t,决定简谐运动状态的物理量,0,初相位,0,t,0,时

3、的相位,0,相位概念可用于比较两个谐振动之间在振动步调,上的差异,设有两个同频率的谐振动，表达式分别为,x,1,A,1,cos,t,10,x,2,A,2,cos,t,20,二者的相位差为,D,t,20,t,10,20,10,9,讨论,D,t,20,t,10,20,10,a,当,称两个振动为同相,D,时,2,k,b,当,D,2,k,时,称两个振动为反相,1,c,当,D,时,称第二个振动超前第一个振动,0,称第二个振动落后第一个振动,D,时,0,D,D,d,当,10,2,动力学方程,以弹簧谐振子为例,设弹簧原长为坐标原点,k,d,x,kx,m,2,d,t,2,m,0,kx,x,x,由牛顿第二定律,

4、整理得,d,x,k,x,0,2,d,t,m,2,2,T,2,m,k,1,k,m,2,k,令,m,2,d,x,2,x,0,2,d,t,简谐振动,11,二,简谐振动的描述,1,解析描述,x,A,cos,t,0,d,x,A,sin,t,0,A,cos,t,0,d,t,d,2,a,A,cos,t,0,d,t,2,x,2,2,a,A,cos,t,0,12,0,常量,和,A,的确定,x,x,0,v,v,0,根据初始条件,t,0,时,得,x,0,A,cos,0,v,0,A,sin,0,A,x,v,0,2,0,2,v,0,0,arctg,x,0,0,在,到,之间，通常,存在两个值，可根据,进行取舍,0,v,0

5、,A,sin,13,x,A,cos,t,A,cos,t,2,2,a,A,cos,t,x,a,均是作谐振动的物理量,频率相同,振幅的关系,相位差,m,A,超前,a,m,A,2,落后,14,2,曲线描述,x,A,cos,t,0,A,cos,t,0,2,2,a,A,cos,t,0,x,a,A,o,A,2,A,t,15,T,3,简谐振动的矢量图示法,A,旋转矢量,一长度等于振幅,A,的矢量,在纸平面内,绕,O,点沿逆时针方向旋转，其角速度与谐振动的角频,率相等，这个矢量称为旋转矢量,采用旋转矢量法，可直观地领会简谐振动表达式,中各个物理量的意义,16,17,A,的长度,旋转的角速度,A,振幅,A,O,

6、A,t,0,x,M,逆时针方向,A,旋转的方向,振动相位,A,与参考方向,x,的夹角,M,点在,x,轴上投影,P,点,的运动规律,振动圆频率,P,X,x,A,cos,t,0,18,优点,1,直观地表达振动状态,分析解析式,x,A,cos,t,0,可知,当振动系统确定了振幅以后,表述振动的关键就是,相位,即,表达式中的余弦函数的,综量,t,0,而旋转矢量图,可,直观地显示该综量,用图代替了文学的叙述,A,t,0,x,t,0,19,x,向负方向运动,在正的端点,旋矢与轴夹角为零,t,0,0,意味,x,A,质点经二分之一振幅,处向负方向运动,o,A,A,x,t,0,意味,3,A,x,2,x,2,0,

7、1,20,质点过平衡位置向负方向运动,A,x,t,0,2,3, 0,t,0,2,同样,x,0, 0,A,A,A,A,o,A,x,t,0,x,A,注意到,x,5,4,2,3,4, 0,3,2,1,21,向负方向运动,向正方向运动,t,0,3,2,或,3,0,x,0,0,A,x,2,3,t,0,2,或,2,A,A,A,6,7,o,x,t,0,3,A,x,2,0,8,x,0,22,向正向运动,678,2,方便地比较振动步调,x,A,cos,t,0,A,cos,t,0,2,2,a,A,cos,t,0,A,A,2,A,a,x,2,由图看出：速度超前位移,加速度超前速度,位移与加速度,称两振动,反相,若,

8、D,0,称两振动,同相,23,3,方便计算,用熟悉的圆周运动代替三角函数的运算,例：质量为,m,的质点和劲度系数为,k,的弹簧,组成的弹簧谐振子,t,0,时，质点过平衡位置且向正方向运动,求：物体运动到负的二分之一振幅处时,所用的,最短时间,24,解：设,t,时刻到达末态,由已知画出,t,0,时刻的旋矢图,再画出末态的旋矢图,由题意选蓝实线所示的位矢,设始末态位矢夹角为,o,D,x,t,0,因为,D,t,得,繁复的三角函数的运算用匀速,圆周运动的,一个,运动关系求得,t,D,7,7,k,6,6,m,25,例,15-1,一物体沿,X,轴作简谐振动，振幅,A=0.12m,周期,T=2s,当,t=0

9、,时,物体的位移,x,0.06m,且向,X,轴正向运动,求,1,简谐振动表达式,2,t,T/4,时物体的位置、速度和加速,度,3,物体从,x,-0.06,m,向,X,轴负方向运动，第一次回到平衡,位置所需时间,解,1,取平衡位置为坐标原点,谐振动方程写为,x,A,cos,t,0,1,其中,A=0.12m,T=2s,2,T,s,初始条件,t,0,x,0,0.06m,可得,0,3,0,12,cos,0,0,06,据初始条件,v,0,A,sin,0,0,得,0,3,x,0,12,cos,t,3,m,26,2,由,1,求得的简谐振动表达式得,d,x,1,0,12,sin,t,3,m,v,s,d,t,d

10、,v,2,2,0,12,cos,t,3,m,a,s,d,t,在,t,T/4=0.5s,时，从前面所列的表达式可得,x,0,12,cos,0,5,3,m,0,104,m,v,0,12,sin,0,5,3,m,s,2,1,2,0,18,m,s,27,1,2,a,0,12,cos,0,5,3,m,s,1,03,m,s,3,当,x,0.06m,时，该时刻设为,t,1,得,cos,t,1,3,1,2,t,1,3,2,3,4,3,因该时刻速度为负，应舍去,4,3,t,1,1,s,t,2,1,83,s,设物体在,t,2,时刻第一次回到平衡位置，相位是,3,2,t,2,3,3,2,因此,另解,从,t1,时刻到

11、,t2,时刻,从,x,0.06m,处第一次回到,平衡位置的时间,所对应的相差为,D,t,t,2,t,1,0,83,s,D,3,2,2,3,5,6,D,t,D,0,83,s,28,4,几种常见的简谐振动,1,单摆,重物所受合外力矩,M,mgl,sin,3,sin,可取,5,很小时,小于,3,5,l,r,T,r,m,g,5,O,M,mgl,2,d,M,mgl,g,据转动定律，得到,2,2,sin,d,t,J,ml,l,令,g,l,2,有,T,2,2,g,l,29,转角,的表达式可写为,角振幅,和初相,由初始条件求得,0,m,单摆周期,T,与角振幅,的关系为,m,m,cos,t,0,1,1,3,2,

12、m,4,m,T,T,0,1,2,sin,2,2,sin,2,2,4,2,2,T,为,很小时单摆的周期,m,0,2,根据上述周期的级数公式，可以将周期计算到,所要求的任何精度,30,2,复摆,一个可绕固定轴摆动的刚体称为复摆,刚体的质心为,C,对过,O,点的转轴,O,的转动惯量为,J,O,C,两点间距离,的距离为,h,C,2,d,据转动定律，得,J,mgh,sin,2,d,t,r,2,d,m,g,若,角度较小时,J,2,mgh,d,t,mgh,2,令,J,2,d,2,J,2,0,2,T,2,d,t,mgh,31,例,15-2,一质量为,m,的平底船，其平均水平截面积为,S,吃水深度为,h,如不计

13、水的阻力，求此船在竖直方向的振动周,期,解,船静止时浮力与重力平衡,O,P,P,y,y,hSg,mg,船在任一位置时，以水面为坐标原点,竖直,向下的坐标轴为,y,轴，船的位移用,y,表示,32,船的位移为,y,时船所受合力为,f,h,y,Sg,mg,y,Sg,船在竖直方向作简谐振动，其角频率和周期为,因,得,Sg,m,h,T,2,g,m,T,2,gS,2,m,Sh,33,5,简谐振动的能量,如，弹簧谐振子,系统机械能守恒,k,m,0,x,x,1,1,2,2,以弹簧原长为势能零点,m,kx,c,2,2,1,1,2,2,2,2,2,mA,sin,t,kA,cos,t,2,2,m,k,2,1,1,2

14、,1,1,2,2,2,2,m,kx,mA,kA,2,2,2,2,34,讨论,1,1,2,1,2,2,m,kx,kA,2,2,2,1,普适,E,A,2,2,时间平均值,能量平均值,E,K,E,P,1,2,kA,4,1,T,1,1,2,2,2,2,E,K,m,A,sin,t,d,t,kA,0,0,T,2,4,1,T,1,2,1,2,2,E,P,kA,cos,t,d,t,kA,0,0,T,2,4,E,K,E,P,E,2,35,15-5,简谐振动的合成,一,振动方向相同,振动频率相同的,两个,SHV,的合成,二,振动方向相同,频率略有差别的,振幅相等的,两个,SHV,的合成,36,一,振动方向相同,振

15、动频率相同的,两个,SHV,的合成,t,1,0,x,1,A,1,cos,x,2,A,2,cos,t,20,结果：仍是谐振动,振动频率仍是,振动的振幅和初相,线性叠加,x,x,1,x,2,t,0,A,1,sin,10,A,2,sin,20,2,2,tg,A,A,1,A,2,2,A,1,A,2,cos,D,37,A,1,cos,10,A,2,cos,20,o,A,1,D,A,A,2,2,1,x,38,A,A,A,2,A,1,A,2,cos,D,2,1,2,2,特殊结果,若,0,若,若,A,A,1,A,2,同相,合振动,加强,反相,合振动,减弱,A,A,1,A,2,A,1,A,2,两振动同相,A,2

16、,A,1,可能的最强振动,两振动反相,A,0,振动加振动”不振,动,39,二,振动方向相同,振动频率相同,振幅相同,相邻相位差相同,的,N,个,SHV,的合成,x,1,a,cos,t,x,2,a,cos,t,x,3,a,cos,t,2,x,N,a,cos,t,N,1,40,线性相加,x,x,1,x,2,x,3,x,N,C,用旋矢法求解,由图得,R,a,2,A,M,MOX,COX,COM,1,1,N,1,N,2,2,2,41,N,sin,2,A,2,R,sin,a,2,sin,2,2,sin,N,R,O,x,a,一般情况,特例,N,sin,2,A,a,sin,2,R,1,2,k,k,0,1,2,a,a,A,a,a,x,A,Na,主极大,2,N,2,k,k,0,N,的倍数的整数,A,0,极小,42,2,同方向不同频率的两个简谐振动的合成,拍,当两个同方向简谐振动的频率不同时，在旋转矢,量图示法中两个旋转矢量的转动角速度不相同，二者,的相位差与时间有关，合矢量的长度和角速度都将随,时间变化,两个简谐振动的频率,1,和,2,很接近，且,2,1,x,1,A,cos,1,t,0,x,2,A,cos,2,t,