2014届高三数学总复习 （回顾 突破 巩固 提升作业） 第二章 第四节 指数与指数函数课件 文

1、第四节 指数与指数函数,1.指数扩充及其运算性质 （1）分数指数幂的概念 给定正实数a,对于任意给定的整数m，n（m，n互素），存在唯 一的正实数b,使得_，把b叫作a的 次幂，记作 它 就是分数指数幂,bn=am,2)正分数指数幂与负分数指数幂 正分数指数幂的根式形式： （a0). 正数的负分数指数幂的意义： (a0,m,nN+,且 n1). 0的正分数指数幂等于_，0的负分数指数幂_,0,没有意义,3)指数运算的性质 若a0,b0,对任意实数m,n,指数运算有以下性质： aman=_； (am)n=_； (ab)m=_. 2.指数函数的概念 （1）解析式：_. （2）自变量：_. （3）定

2、义域：_,am+n,amn,ambm,y=ax(a0,a1,x,R,3.指数函数的图像与性质,R,0,0,1,0,1,y1,0y1,0y1,y1,增函数,减函数,判断下面结论是否正确（请在括号中打“”或“”）. （1） ( ) （2）函数y=a-x是R上的增函数.( ) （3）函数 （a1）的值域是（0，+）.( ) （4）函数y=2x-1是指数函数.(,解析】（1）错误.底数为负数时，指数不能约分. （2）错误.当a1时函数是R上的减函数，当0a1时函数是R上的增函数. （3）错误.因为x2+11，所以ya，即值域为a，+）. (4)错误. 不符合指数函数的定义. 答案：（1）（2）（3）

3、（4,1.化简 的结果为( ) (A)-9 (B)7 (C)-10 (D)9 【解析】选B,2.当a0且a1时，函数f（x）=ax-2-3的图像必过定点_. 【解析】由a0=1知，当x-2=0，即x=2时，函数f（x）的图像恒过定点.此时，f（2）=-2，即图像必过定点（2，-2）. 答案：（2，-2,3.指数函数y=（2-a）x在定义域内是减函数，则a的取值范围是_. 【解析】由题意知，02-a1，即1a2. 答案：（1，2,4.函数 的值域是_. 【解析】1-xR,y0. 答案：（0，,考向 1 指数幂的化简与求值 【典例1】化简：（1） （2） 【思路点拨】将根式化为分数指数幂，负分数指

4、数幂化为正分数指数幂，底数为小数的化成分数，然后运用幂的运算性质进行计算,规范解答】（1）原式 （2）原式,拓展提升】指数幂的一般运算原则 （1）有括号的先算括号里的,无括号的先做指数运算. （2）先乘除后加减,负指数幂化成正指数幂的倒数. （3）底数是负数,先确定符号,底数是小数,先化成分数,底数是带分数的,先化成假分数. （4）若是根式,应化为分数指数幂，尽可能用幂的形式表示,运用指数幂的运算性质来解答. 【提醒】运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数,变式训练】（1）计算下列各题: 【解析】原式 原式,2）已知 求 【解析】 m+m-1=14,考向 2 指数函数图

5、像的应用 【典例2】已知函数 （1）作出图像. （2）由图像指出其单调区间. （3）由图像指出当x取什么值时函数有最值. 【思路点拨】将函数写成分段函数的形式，作出函数的图像，由图像可求单调区间及最值,规范解答】(1)由已知可得, 其图像由两部分组成： 一部分是： 另一部分是：y=3x（x0） y=3x+1（x-1）. 图像如图所示,向左平移,1个单位,向左平移,1个单位,2）函数f(x)在（-，-1上是增加的，在-1，+)上是减少的. （3）当x=-1时，函数 取最大值1，无最小值,互动探究】将本例变为求作“ 的图像”，如何求 解？ 【解析】第一步：先作出 的图像.第二步:把 的图 像向下平

6、移1个单位得 的图像，如图所示,拓展提升】 1.应用指数函数图像研究指数型函数的性质 对指数型函数的性质（单调性、最值、大小比较、零点等）的求解往往利用相应指数函数的图像,通过平移、对称变换得到其图像,然后数形结合使问题得解. 2.利用图像解指数型方程、不等式 一些指数型方程、不等式问题的求解,往往利用相应指数型函数图像数形结合求解,变式备选】k为何值时,方程|3x-1|=k无解？有一解？有两解？ 【解析】函数y=|3x-1|的图像是由函数y=3x的图像向下平移一个单位后,再把位于x轴下方的图像沿x轴翻折到x轴上方得到的,函数图像如图所示,当k0时,直线y=k与函数y=|3x-1|的图像无交点

7、,即方程无解；当k=0或k1时,直线y=k与函数y=|3x-1|的图像有唯一的交点,所以方程有一解； 当0k1时,直线y=k与函数y=|3x-1|的图像有两个不同的交点,所以方程有两解,考向 3 指数函数性质的应用 【典例3】(1)（2013赣州模拟）已知 若对任意x1-1,3，存在x20,2，f(x1)g(x2)，则 实数m的取值范围是( ) (A) (B) (C)-8,+) (D)1,+) (2)已知 （a0且a1）. 讨论f（x）的奇偶性； 求a的取值范围，使f（x）0在定义域上恒成立,思路点拨】(1)只需f(x1)ming(x2)min即可. (2)先求函数的定义域，再判断奇偶性，对于

8、恒成立问题，可借助函数的奇偶性，只讨论x0的情况. 【规范解答】(1)选B.x1-1,3, f(x1)min=0,x20,2, 由题意知f(x1)ming(x2)min,即,2)由于ax-10,则ax1,得x0, 所以函数f（x）的定义域为x|x0,xR. 对于定义域内任意x，有 f(x)是偶函数,由知f（x）为偶函数，只需讨论x0时的情况. 当x0时，要使f（x）0，即 即 即 即ax-10，ax1，axa0.又x0，a1. 因此a1时，f（x）0在定义域上恒成立,拓展提升】指数函数的性质的应用 （1）应用指数函数的单调性可以比较同底数幂值的大小. （2）与指数函数有关的指数型函数的定义域、

9、值域（最值）、单调性、奇偶性的求解方法,与前面所讲一般函数的求解方法一致,只需根据条件灵活选择即可,变式训练】已知函数 （a0且a1）， (1)求f(x)的定义域. (2)讨论f(x)的奇偶性. (3)讨论f(x)的单调性. 【解析】(1)f（x）的定义域是R. (2) f（x）是奇函数,3) 设x1,x2是R上任意两个实数,且x1x2, 则 x1x2,当a1时, 从而 f(x1)-f(x2)0,即f(x1)f(x2),f(x)为R上的增函数.当0 a1时, 从而 f(x1)-f(x2)0,即f(x1)f(x2),f(x)为R上的减函数,易错误区】忽略讨论及验证致误 【典例】（2012山东高考

10、）若函数f（x）=ax（a0，a1） 在-1，2上的最大值为4，最小值为m，且函数 在0，+)上是增函数，则a=_. 【误区警示】本题易出现的错误主要有两个方面: （1）误以为a1,未进行分类讨论从而求得错误答案. （2）对条件“g（x）在0，+）上是增函数”不会使用， 求得结果后未进行检验得到两个答案,规范解答】若a1，有a2=4，a-1=m，此时 此时 为减函数，不合题意.若0a1，有a-1=4，a2=m， 故 检验知符合题意. 答案,思考点评】 1.指数函数的底数不确定时应分类讨论 指数函数的底数不确定时，单调性不明确，从而无法确定其最值，故应分a1和0a1两种情况讨论. 2.根据函数的

11、单调性确定其最值 根据函数的单调性求最值是求函数最值的常用方法之一，熟练掌握基本初等函数的单调性及复合函数的单调性是求解的基础,1.(2013济南模拟）设 则( ) (A)y3y1y2 (B)y2y1y3 (C)y1y3y2 (D)y1y2y3 【解析】选C.y1=21.8,y2=21.44,y3=21.5， 1.81.51.44，21.821.521.44,y1y3y2,2.(2013合肥模拟）函数 的值域为( ) (A)（-，1） (B) (C) (D) 【解析】选C.x2+11, 在R上是减函数,3.(2013宜春模拟)已知函数 则f（f(x)）-2=0的根的个数为( ) (A)1个 (

12、B)2个 (C)3个 (D)4个 【解析】选C.由题意，设1x3,则-1x-21, f(x-2)=2x-2，1x3时,f(x)=2x-2+1. 令f(x)=t，f(f(x)-2=0,f(t)=2. 若f(t)=2t=2,则t=1,f(x)=1,x=0. 若f(t)=2t-2+1=2,则t=2,f(x)=2,x=1或2, f(f(x)-2=0的根的个数为3个,4.(2012上海高考）方程4x-2x+1-3=0的解是_. 【解析】方法一：原方程4x-2x+1-3=0可化为（2x）2-22x-3=0，即（2x-3）（2x+1）=0，由于2x0，xR， 2x-3=0，即x=log23. 方法二：令t=2x，则t0，原方程可化为t2-2t-3=0， 解得t=3或t=-1（舍去），即2x=3，x=log23 答案：x=log23,1.已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x0时，f（x） =1-2-x，则不等式 的解集是( ) (A)（-，-1）