数值分析1 误差及有效数字 精选文档

1、数值分析：,研究各类数学问题求解的数值计算及相,关理论分析。,随着计算机的产生和发展，数值分析越,来越多地研究如何借助于计算机求解相关问,题。,计算方法：,随着计算机产生和发展而建立的一个重,要数学分支，是研究建立计算机解决各种数,学问题的数值计算及相关理论分析。,第一章,绪论,1.1,数值分析,(,计算方法,),介绍：,(Numerical Analysis),(Computational Method),主要内容：,（,1,）数值计算：非线性方程求根，（非）线,性方程组求解，插值，逼近（最小二乘拟,合），数值微分（积分），常微分方程，矩,阵特征值求解，偏微分方程数值解,（,2,）理论分析：

2、误差分析，计算过程的收敛,性、稳定性（数学角度上），算法的计算时,间复杂度，存储容量大小（计算机角度上）,特点,:,?,具有数学的抽象性和逻辑严密性,?,又具有广泛的应用性和高度的技术性（与计,算机结合密切的一门课程）,?,使用计算机进行数值问题求解是主要研究对,象。,如何学习这门课？,?,这门课的学习意义，数值计算的重要性,;,?,如何上这门课（教材）,学习方法,;,?,上课形式（授课、上机、大型实验）,;,?,成绩评定（平时、实验、期中、期末）,.,1.2,误差基本概念,1.2.1,误差定义及来源,?,真实值与观察、测量或计算的值之间存在差,异，其差称为误差。,?,结合实际问题求解，误差来

3、源可分为：,(1).,模型误差（实际问题,数学问题），,如抽象化、忽略次要因素等,.,(2).,观测误差（数学问题中的数据初始值观察,测量时产生）,(Error),(3).,截断误差（计算过程中存在的一些无限计,算），如无穷级数求和（无限次,有限,次：,，,(4).,舍入误差（计算结果中存在数据无限位，,如,Pi,，无理数,有理数，）,整个误差来源可做图表示,:,?,?,?,?,?,?,!,7,!,5,!,3,si,n,7,5,3,x,x,x,x,x,?,?,?,?,?,!,4,!,2,1,cos,4,2,x,x,x,总结：误差是不可避免的，应尽量减少误差，,提高精度（如选择好的计算方法）,1

4、.2.2,绝对误差和绝对误差限,定义：设,为准确值，,是近似值,为绝对误差,分析：,e,可正可负（并不因为是绝对误差，就以为是正值,),e,值实际上无法知道,不知道，,但能知道误差的某个范围（即误差限）,例：毫米刻度的尺子，正常情况下误差不超过,0.5mm.,*,x,x,x,x,e,?,?,*,*,x,?,定义：若,，则,称为绝对误差限，,为正数，有,:,?,?,?,?,x,x,e,*,?,?,?,?,?,?,?,?,?,x,x,x,*,1.2.3,相对误差和相对误差限,为什么引入？,因为用厘米刻度的尺子测量,1,米长和,10,米长的,物体，其绝对误差限都为,0.5,，但测量精度,分别为,1/

5、100,和,1/1000,，所以为了较好反应测,量精确度，引入相对误差。,*,x,x,*,*,*,x,e,x,x,x,e,r,?,?,?,定义：,为准确值，,为近似值，则,分析：,(1).,可正可负,r,e,1,1,*,?,?,?,x,x,e,r,(2).,r,e,*,x,(3).,无法知道，因为,不知道，,r,e,x,e,x,x,x,e,r,?,?,?,*,也可表示为,r,e,r,e,?,?,r,r,e,e,r,r,r,r,e,e,e,e,?,?,?,1,1,2,2,和,之间关系为：,（可作为习题）,r,e,因为,无法求出，所以通常考虑相对误差限,r,r,e,?,?,|,|,r,?,若,或,

6、则称,为相对误差限。,|,|,r,r,e,?,?,1.2.4,有效数字,*,x,当,有很多位数表示时，可按四舍五入取前几位。,x,x,x,定义,：如果近似值,的,误差限,是其末位上的半个单位，,且该位直到,的第一个非零数字共有,n,位，则,有,n,位,有效数字,。,1,2,t,x,aa,a,?,2,1,具体计算,：对,，从左往右数，从第一个非,零数字开始，直到最右面的数共有,n,个，且其误差,限为末位的,个单位，则有效数字为,n,。,有效数字的位数确定,.,4,1,1,0,2,?,?,7,1,1,0,2,?,?,?,例：数,0.00234711,，取五位有效数字，,例：,=1.73205080

7、8,x,若,=1.7321,，,x,但若,=1.7320,，,4,1,1,0,2,?,?,误差限为,则有,5,位有效数字，因为误差限,则只有,4,位有效数字，因为误差限,为,0.0023471,，,1.2.5,误差传播影响,计算过程中（如四则运算）的初始数据误差会导致函,数值误差,.,?,?,2,1,x,x,f,y,?,泰勒级数展开分析误差传播,.,*,2,*,1,x,x,y,?,?,*,2,*,1,*,x,x,f,y,?,2,1,x,x,y,?,?,2,1,x,x,f,y,?,设,为准确值，,准确值为,为近似值，,近似值为,?,?,?,?,?,?,2,1,*,2,*,1,*,x,x,f,x,

8、x,f,y,y,y,e,?,?,?,?,*,1,1,x,x,h,?,?,k,x,x,?,?,2,*,2,先考虑绝对误差：,令,利用二元函数一阶泰勒展开公式,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,1,2,*,*,1,2,1,2,1,2,1,2,1,2,x,x,f,x,x,f,x,h,x,k,f,x,x,h,f,x,x,k,f,x,x,?,?,?,?,?,?,?,?,采用二元函数,所以：,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,1,2,1,2,1,2,1,2,*,*,1,1,2,2,1,2,1,2,1,2,f,x,x,f,x,x,f,x,x,f,x,x,e,y,x

9、,x,x,x,e,x,e,x,x,x,x,x,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,再考虑相对误差：,?,?,?,?,?,?,?,?,2,2,2,2,2,1,1,1,1,1,2,1,x,e,y,x,x,x,x,f,x,e,y,x,x,x,x,f,y,y,e,y,e,r,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,2,2,2,2,1,1,1,1,2,1,x,e,y,x,x,x,x,f,x,e,y,x,x,x,x,f,r,r,?,?,?,?,?,?,根据以上两公式，可得到两数相加、减、乘、除,的误差传播：,?,?,?,?,?,2,1,2,1,x,e,x,e,x,x,e,?

10、,?,?,?,?,?,?,?,?,2,1,1,2,2,1,x,e,x,x,e,x,x,x,e,?,?,?,?,?,?,?,?,?,2,2,2,1,1,2,2,1,1,x,e,x,x,x,e,x,x,x,e,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,2,x,（避免绝对值很大的数为乘数）,（避免,为很小的数为除数）,?,?,?,?,?,2,2,1,2,1,2,1,1,2,1,x,e,x,x,x,x,e,x,x,x,x,x,e,r,r,r,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,2,2,1,2,1,2,1,1,2,1,x,e,x,x,x,x,e,x,x,x,x,x,e,r,r,r,?,?,?,?,

11、?,?,?,?,?,?,?,2,1,2,1,x,e,x,e,x,x,e,r,r,r,?,?,?,?,?,?,?,2,1,2,1,x,e,x,e,x,x,e,r,r,r,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,（避免两相近数相减运算,),1.3,机器数系,.,(,略,.,主要防止计算机处理过程中的数字溢出和含入误差,),p,x,s,?,?,?,s,s,这里，主要介绍计算机中浮点数的表示形式及,表示范围（,4,个参数）：,其中，,=,0.a,1,a,2,a,3,a,t,称为尾数,-1,1,中的正负号用一位数字区分；,为基数，如取,2,、,10,、,8,、,16,；,p,为阶数，有上限,U,和下限,

12、L,由计算机存储字节长度决定。,1.4,误差危害的防止,（,1,）使用数值稳定的计算公式,数值稳定是指计算过程中舍入误差对计算影响不大的算法，,若第,n+1,步的误差,e,n+1,与第,n,步的误差,e,n,满足,1,e,e,n,1,n,?,?,，则称该计算公式是绝对稳定的,例：建立积分,I,n,=,dx,5,x,x,1,0,n,?,?,（,n=0,1.,20,）,递推关系式，并分析误差传播影响。,解：,?,?,?,?,?,dx,5,x,x,5,x,1,0,1,-,n,n,1,n-1,0,x,dx,?,?,1,0,n,x,n,?,?,?,?,?,?,n,1,?,I,n,+5I,n-1,=,1,

13、0,1,x,5,dx,?,?,?,?,?,1,0,ln,x,5,?,?,?,?,?,I,0,=,=ln6-ln5,递推式：,?,?,?,?,?,?,?,?,ln5,-,ln6,I,n,1,-5I,In,0,1,-,n,0,I,0,I,n,I,?,?,0,n,e,5,?,?,在计算,I,0,时，设近似值为,I,0,为,可设,e,0,=I,0,-,I,n,- =,即初始误差对第,n,步的影响是扩大,5,n,倍，,误差范围,变大，,不稳定,.,对可改用另一种计算过程：,n-1,n,n,20,1,1,I,I,5,5,I,?,?,?,?,?,?,?,?,2,0,I,2,0,2,0,2,0,e,I,I,?

14、,?,?,0,e,2,0,2,0,1,e,5,?,?,?,?,?,?,?,?,（,可通过积分第一中值定理算出）,则,，误差范围逐步减少。,即,若函数,f(x),连续,g(x),在区间,a,b,上不变号且可积,则有,(,),(,),(,),(,),b,b,a,a,f,x,g,x,d,xf,g,x,d,x,a,b,?,?,?,?,?,?,1,1,0,0,1,1,1,1,0,1,5,5,5,1,n,n,n,I,x,d,x,x,d,x,n,n,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,1,1,6,(,1,),5,(,1,),n,I,n,n,?,?,?,?,设,2,0,1,1,

15、6,2,1,5,2,1,I,?,?,?,?,（,2,）避免两相近数相减,?,?,r,1,2,e,x,-,x,?,2r,2,1,2,1r,2,1,1,e,x,-,x,x,e,x,x,x,?,?,1999,2001,?,2001,1999,?,2,2,0,.,0,2,2,3,6,0,7,.,.,.,4,4,.,7,3,2,5,4,4,.,7,1,0,2,2,0,0,11,9,9,9,?,?,?,?,例,.,计算,设,和,有六位有效数字,即,x,1,=44.7325 x,2,=44.7102,x,1,-x,2,=44.7325-44.7102,（可以根据需要取任意位有效数字,这里取,6,位）,方法,

16、1,：直接相减：,方法,2:,分子有理化：,=,=0.0223,（事实上只有,2,位有效数字）,也可进行理论分析，,这里考虑绝对误差：,?,?,?,?,?,?,?,?,1,4,4,4,3,2,1,2,1,2,1,1,1,e,x,x,e,x,e,x,e,x,e,x,1,0,1,0,1,0,1,0,2,2,2,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,第一种方法只有,2,位有效数字,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,1,2,1,2,1,2,1,2,1,2,1,2,1,2,2,2,1,2,1,2,2,e,|,|,x,x,2,2,(,),e,x,e,x,

17、x,x,x,x,f,x,x,f,x,x,e,x,e,x,x,x,ex,x,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,4,4,2,2,1,2,2,1,10,2,1,10,2,1,7102,.,44,7325,.,44,2,x,e,x,e,x,x,2,7,7,1,0,.,2,5,1,0,1,0,2,?,?,?,?,?,?,理论上分析,可以有,6,位有效数字,(,分子为常数,2,分母为,x1+x2,两变量之和,),（,3,）避免绝对值大的数作乘数，,同样，

18、避免,x,2,为很小的数作除数，,1,1,1,2,2,2,2,2,x,x,1,x,x,x,e,e,e,?,?,?,?,?,?,?,?,（,4,）防止大数吃小数：,（计算机硬件发展，浮点数表示位数增加，此问题已很少出现）,主要原因是计算机运算处理时，需对阶处理（即取较大的阶值运算,较小数,的尾数则会变的很小,计算机浮点数表示不出来）,会出现,:,大数,+,小数,=,大数,求和时，可先按绝对值从小到大排序，先对小数运算，再对大数运算。,?,?,2,1,1,2,2,1,e,x,e,x,x,x,e,?,?,?,?,?,(5),简化计算步骤，减少计算次数,例：计算,31,x,1,6,8,4,2,3,1,

19、x,x,x,x,x,x,?,?,?,?,?,8,8,16,4,4,8,2,2,4,2,x,x,x,x,x,x,x,x,x,x,x,x,?,?,?,?,?,?,?,?,方法,1,：直接计算,30,次乘法,方法,2,：,（这里,4,次乘法）,（,4,次乘法）,共,8,次乘法,空间上,:,需存储,x,x,2,x,4,x,8,x,16,方法,1,只需要存储,x.,n,n,n,n,a,x,a,x,a,x,a,f(x),?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,1,1,1,0,?,1,1,2,2,n,(,n,),n,?,?,?,?,?,n,?,?,n,n,n,n,a,x,a,x,a,x,a,x,f,?,?,

20、?,?,?,?,?,?,1,2,1,1,0,),(,?,?,?,?,?,?,?,?,n,n,a,x,a,x,a,x,a,x,a,?,?,?,?,?,?,?,1,2,1,0,?,?,例：计算,常规方法：乘法：,加法：,Horner,方法（秦九韶方法）,:,需,n,次乘法，,n,次加法,空间上,:,除了,a,n,和,x,多存储一个变量用来保存,a,i-1,x,+,a,i,第,2,章,方程求根,(Non-linear equation),2.1,问题提出,对方程,，若存在,，使得,，,则称,为,的根，或称为零点。,0,),(,?,x,f,*,x,0,),(,*,?,x,f,*,x,0,),(,*,?,x,f,),(,x,f,),0,(,),(,0,1,1,?,?,?,?,?,?,?,n,n,n,n,n,a,a,x,a,x,a,x,f,?,0,),(,?,x,f,当,为多项式形式时，即,则,称为代数方程。,),(,x,f,),(,),(,*,x,g,x,x,m,?,?,*,x,0,),(,?,x,f,若,可写成,形式,为,的,m,重根，或称,m,重零点。,则,0,),(,?,x,f,0,0,2,3,2,3,?,?,?,?,?,?,?,?,?,R,Qx,Px,x,d,cx,