第三章_水动力学基础

1、流体力学,第三章,水动力学基础,目,录,绪论,第一章,流体及其主要物理性质,第二章,水静力学,第三章,水动力学基础,第四章,水头损失,第五章,有压管道的恒定流动,第六章,明渠恒定流,第七章,堰流,第二章,水动力学基础,3.1,液体运动的描述方法,3.2,研究流体运动的基本概念,3.3,连续性方程,3.4,液体运动微分方程,3.5,伯努利方程,3.6,动量方程,3.1,液体运动的描述方法,流体质点的四个特点,a,流体质点的宏观尺寸非常小,b,流体质点的微观尺寸足够大,c,流体质点是包含有足够多分子在内的一个物理实体,具有一定的,宏观物理量。如,具有质量、密度、温度、压强、还具有速度、加速,度、动

2、量、动能等等,d,流体质点的形状可以任意划定,对这些量的描述就着眼于质点和质点通过的空间点,两种描述流体运动的观点和方法,3.1,液体运动的描述方法,描述流体流动的方法有两种,1,拉格朗日法,2,欧拉法,随体法,拉格朗日法,欧拉法,质点轨迹,r,r,a,b,c,t,参数分布,B,B,x, y, z, t,描述方法,当地法,3.1,液体运动的描述方法,3.1.1,拉格朗日法,J.Lagrange,拉格朗日法,把液体的运动看成,是,无数质点运动的总和,以个别,质点作为研究对象加以描述，再,将各质点的运动汇总起来，就得,到整个流动的运动规律,x=x,a,b,c,t,y=y,a,b,c,t,c=c,a

3、,b,c,t,3.1,液体运动的描述方法,运动轨迹、速度、加速度之间的关系可表示为,x,u,x,t,u,x,x,a,x,2,t,t,2,y,u,y,t,u,y,z,u,z,t,y,a,y,2,t,t,2,u,z,z,a,z,2,t,t,2,比较复杂，一般不采用,3.1,液体运动的描述方法,3.1.2,欧拉,Euler,法,欧拉法,以充满液体的空间，即,流场为对象,观察不,同时刻流场中各空间点上液体质点的运动参数（流速,等），将其汇总起来，就形成了对整个流场的描述,u,x,u,x,x,y,z,t,u,y,u,y,x,y,z,t,u,z,u,z,x,y,z,t,p,p,x,y,z,t,x,y,z,

4、t,3.1,液体运动的描述方法,加速度需采用复合函数求导数的方法求出,d,u,x,a,x,d,t,u,x,u,x,u,x,u,x,u,x,u,y,u,z,t,x,y,z,u,z,u,z,u,z,u,z,a,z,u,x,u,y,u,z,t,x,y,z,a,y,u,y,t,u,x,u,y,x,u,y,u,y,y,u,z,u,y,z,3.1,液体运动的描述方法,u,x,u,y,u,z,t,t,t,为某空间点速度随时间的变化率，称为,时变加速度,或,当地加速度,其他各项则是该空间点速度由空间点位置变化所引起的加,速度，称为,位变加速度,或,迁移加速度,3.1,液体运动的描述方法,A,B,A,B,水箱水

5、位下降，两水箱水管中均有时变加速度,水箱水位恒定不变，两水箱水管中均无时变加速度,前面水箱水管管径不变,A,B,两点速度相同，无位变加速度,后面水箱水管管径变化,A,B,两点速度不同，有位变加速度,3.1,液体运动的描述方法,两种描述流动的方法之比较,拉格朗日法,欧拉法,分别描述有限质点的轨迹,同时描述所有质点的瞬时参数,表达式复杂,表达式简单,不能直接反映参数的空间分布,直接反映参数的空间分布,不适合描述流体微元的运动变形特性,适合描述流体微元的运动变形特性,拉格朗日观点是重要的,流体力学最常用的解析方法,跟踪,跟踪追击,布哨,守株待兔,第二章,水静力学,3.1,液体运动的描述方法,3.2,

6、研究流体运动的基本概念,3.3,连续性方程,3.4,液体运动微分方程,3.5,伯努利方程,3.6,动量方程,3.2,研究流体运动的基本概念,3.2.1,概念,1,流线和迹线,流线,stream line,流场中的空间曲线，在同,一瞬时线上各点的速度矢量与之相切,u,1,u,2,u,3,两流线不能相交或为折线，而是光滑曲线或,直线,某时段内，液体质点经过的轨迹称,迹线,path line,迹线与流线是完全不同的两个概念。恒定流时，流线与迹线重合,3.2,研究流体运动的基本概念,2,流量与断面平均流速,单位时间内通过过水断面液体的体积，称为体积流,量，简称流量，单位为立方米每秒,m,3,s,若以,

7、d,A,表示元流过水断面面积,u,表示该断面流,速，则总流流量为,Q,A,u,d,A,除体积流量外，还可有质量流量及重量流量等,3.2,研究流体运动的基本概念,为便于计算，设想过水断面上流速均匀分布，即各点流速相同,通过的流量与实际相同，于是定义,v,为该断面的断面平均流,速,mean velocity,表示为,Q,A,u,d,A,v,A,A,v,或,u,Q,v,A,3.2,研究流体运动的基本概念,3.2.2,运动液体的分类,1,恒定流和非恒定流,steady and unsteady flows,恒定流,流场中各空间点的运动要素（流速等）均不随,时间变化的流动，反之为非恒定流。对于恒定流,u

8、,x,u,x,x,y,z,u,y,u,y,x,y,z,p,p,x,y,z,x,y,z,u,z,u,z,x,y,z,恒定流时，时变加速度为零,3.2,研究流体运动的基本概念,2,一元、二元和三元流动,one / two / three,dimensional flows,流动参数（如流速）是三个空间坐标的函数，流动,是三元的。其他依此类推,3.2,研究流体运动的基本概念,3,均匀流和非均匀流,uniform and,nonuniform flows,流线为平行直线的流动为,均匀流,否则为,非,均匀流,非均匀流又包括,渐变流,与,急变流,流线接近平行直线的流动为渐变流，否则为,急变流,3.2,研究

9、流体运动的基本概念,4,元流与总流,流场中取一非流线的封闭曲线，通过曲线上各点的,流线所构成的管状表面称为,流管,恒定流时，流管形状保持不变,3.2,研究流体运动的基本概念,与流管上所有流线都正交的横断面称为,过水断面,cross,section,。流线相互平行时，过水断面为平面，否则为,曲面,过水断面为无限小时，流管及其内部的液体称为,元流,elementary flow,。元流的几何特征与流线相同,过水断面为有限大小时，流管及其内部的液体称为,总流,total flow,。总流是由无数元流组成,质量守恒定律,能量守恒定律,动量定理,连续性方程,能量方程（伯努利方,程,动量方程,第二章,水静

10、力学,3.1,液体运动的描述方法,3.2,研究流体运动的基本概念,3.3,连续性方程,3.4,液体运动微分方程,3.5,伯努利方程,3.6,动量方程,3.3,连续性方程,考虑到,1,恒定流时，元流,形状不变,A,1,u,1,d,A,1,A,2,u,2,d,A,2,2,连续介质，元流内部无间隙,3,流线性质，流管侧壁无液体流入流出,根据质量守恒定律，单位时间内从,d,A,1,流入液体的质量,等于从,d,A,2,流出液体的质量，即,1,u,1,d,A,1,2,u,2,d,A,2,3.3,连续性方程,对于不可压缩液体，有,1,2,于是,u,1,d,A,1,u,2,d,A,2,d,Q,对总流过水断面积

11、分，得,u,d,A,u,d,A,Q,1,1,2,2,或,Q,1,Q,2,或,v,1,A,1,v,2,A,2,或,Q,流入,Q,流出,连续性方程是质量守恒定律的水力学表达式,3.3,连续性方程,问题一,水由水箱经等直径圆管满管向下流，沿途流速如何变化,问题二,M I T,Massachusetts Institute of Technology,教学楼下的风,100,mile/hr,第二章,水静力学,3.1,液体运动的描述方法,3.2,研究流体运动的基本概念,3.3,连续性方程,3.4,液体运动微分方程,3.5,伯努利方程,3.6,动量方程,3.4,液体运动微分方程,z,a,a,b,b,p,M,

12、O,d,z,c,p,N,d,d,x,c,d,d,y,z,y,x,y,x,理想液体内取边长分别为,d,x,d,y,d,z,的微元六面体,中心点,O,x,y,z,压强,p,x,y,z,流速,u,x,y,z,根据牛顿第二定律，以,x,方向为例，分析微元六面体的,受力和运动情况,3.4,液体运动微分方程,1,p,d,u,x,X,x,d,t,1,p,d,u,y,Y,y,d,t,1,p,d,u,z,Z,z,d,t,液体运动微分方程,由欧拉,Euler,于,1755,导出,又称,欧拉运动微分方程,第二章,水静力学,3.1,液体运动的描述方法,3.2,研究流体运动的基本概念,3.3,连续性方程,3.4,液体运

13、动微分方程,3.5,伯努利方程,3.6,动量方程,3.5,伯努利方程,1,2,恒定元流的能量方程,理想液体恒定元流的能量方程,实际液体恒定元流的能量方程,恒定总流的能量方程,3.5,伯努利方程,3.5.1,理想液体运动微分方程的伯努利积分,恒定元流的能量方程,将欧拉运动微分方程各式分别乘以流线上微元线段的,投影,d,x,d,y,和,d,z,然后相加,1,p,p,p,X,d,x,Y,d,y,Z,d,z,d,x,d,y,d,z,x,y,z,d,u,y,d,u,x,d,u,z,d,x,d,y,d,z,d,t,d,t,d,t,3.5,伯努利方程,引入限定条件,1,作用在液体上的质量力只有重力，即,X,

14、Y,0,Z,g,于是,X,d,x,Y,d,y + Z,d,z,g,d,z,2,不可压缩液体做恒定流动时,const,p,p,x,y,z,p,1,p,p,p,1,d,x,d,y,d,z,于是,d,p,d,x,y,z,3,恒定流动时，流线与迹线重合,d,x = u,x,d,t,d,y = u,y,d,t,d,z,u,z,d,t,d,u,y,d,u,x,d,u,z,于是,d,x,d,y,d,z,u,x,d,u,x,u,y,d,u,y,u,z,d,u,z,d,t,d,t,d,t,2,2,2,2,u,x,u,y,u,z,d,2,u,d,2,3.5,伯努利方程,将限定条件代回原方程,积分,同除以,g,或,

15、p,u,g,d,z,d,d,2,2,u,gz,const,2,p,u,z,const,g,2,g,2,1,2,2,2,p,2,p,1,u,p,2,u,z,1,z,2,g,2,g,g,2,g,该式由瑞士物理学家伯努利于,1738,年推出，称,伯努利方程,伯努利,Daniel Bernoulli,1700,年生于荷兰的格罗宁根,5,岁同家人回迁瑞士的巴塞尔,1782,年，逝世于瑞士的巴塞尔，享,年,82,岁。曾在巴塞尔等多所大学学,习,1716,年获艺术硕士学位,1721,年又获医学博士学位,25,岁为,圣彼得堡科学院的数学院士,8,年后,回到瑞士的巴塞尔，先后任解剖学,植物学教授和物理学教授,1

16、738,年出版了流体动力学一书，给出了流体动力学的基本,方程，后人称之为“伯努利方程,他还提出把气压看成气体分子对容器壁表面撞击而生的效应,1728,年起，他和欧拉还共同研究柔韧而有弹性的链和梁的力,学问题，还研究了弦和空气柱的振动,伯努利的贡献还涉及到医学、力学、数学等各个方面,伯努利方程的意义,mgz,单位重量液体所具有的位置势能，或位能,z,mg,某点到基准面的位置高度，或,位置水头,p,mgh,单位重量液体所具有的压强势能，或压能,h,g,mg,该点的测压管高度，或,压强水头,p,单位重量液体所具有的总势能,z,g,该点测压管液面的总高度，或,测压管水头,2,2,u,1,mu,单位重量

17、液体所具有的动能,2,g,2,mg,该点的流速高度，或,流速水头,2,p,u,单位重量液体所具有的机械能,z,g,2,g,该点的,总水头,2,p,u,沿元流机械能守恒，故又称能量方程,z,c,沿元流各点总水头相等，总水头线水平,g,2,g,3.5,伯努利方程,毕托管,Pitot tube,与流速水头,量塞纳河水的流速,1730,年法国工程师毕托用一根前端弯成直角的玻璃管测,由于,A,B,两点距离很近,两点的机械能相等，即,h,p,A,u,p,B,u,p,p,B,A,h,或,g,2,g,g,2,g,g,g,2,A,2,A,A,B,由此可见,测速管（毕托管）与测压管之差即流速水头,3.5,伯努利方

18、程,3.5.2,实际液体元流伯努利方程,实际液体具有黏滞性，流动阻力消耗机械能,2,u,1,2,g,p,1,g,h,l,u,2,g,2,2,z,1,实际液体元流伯努利方程可为,2,1,2,2,z,2,p,2,g,p,1,u,p,2,u,z,1,z,2,h,l,g,2,g,g,2,g,3.5,伯努利方程,3.5.3,实际液体总流的伯努利方程,总流是元流的集合，不同的元流存在着不同的运动状,态，因此将元流伯努利方程用于总流时必须考虑,1,在总流计算中，所取两计算断面必须为渐变流,过水断面,p,z,c,g,而在急变流过水断面上，由于,流线有圆弧运动，质量力除重力外,还有惯性力，故无上式的关系,1,2

19、,3,3.5,伯努利方程,2,由于总流过水断面上各点流速不同，若用断面,平均流速,v,取代各点的真实流速,u,必须考虑用二者计算,动能存在的差异。为此，引入动能修正系数,予以修正,u,v,v,gu,d,A,g,v,d,A,gQ,2,g,2,g,2,g,2,2,2,u,d,A,A,v,A,3,3,值取决于断面流速分布，通常取,1,3.5,伯努利方程,3,由于总流过水断面上各点流速不同，因此每,个元流所消耗的机械能也不同。实用中,用总流,单位重量液体,1-1,断面和,2-2,断面间的平均机械,能损失或水头损失,hl,取代元流的水头损失,hl,得实际液体总流的伯努利方程,2,2,p,1,1,v,1,

20、p,2,2,v,2,z,1,z,2,h,l,g,2,g,g,2,g,或总流能量方程,3.5,伯努利方程,总流伯努利方程的适用条件,由于在总流伯努利方程推导过程中使用了若干限定条件,因此在使用总流伯努利方程时，首先要,恒定流动,质量力只有重力,不可压缩流体,渐变流过水断面,两断面间无分流或合流,两断面间无能量输入或输出,例,1,用直径,D,100mm,的水管自开口水箱引水。水箱,水面与管道出口断面中心的高差,H,4m,且保持恒定，水头,损失,h,l,3m,求管道流量,Q,解】由总流伯努利方程,1,2,2,2,1,D,H,p,1,v,p,2,v,z,1,z,2,h,l,g,2,g,g,2,g,2,

21、1,1,2,1,选取基准面,0-0,2,选取计算断面,1-1,和,2-2,z,1,H,z,2,0,p,1,0,p,2,0,v,1,0,v,2,待求；令,1,于是,0,2,0,v,H,h,l,2,g,2,2,v,2,2,g,H,h,l,4,43,m,s,Q,v,2,A,2,0,035,m,s,3,例,2,离心泵由水池抽水。已知泵的安装高度为,H,s,5m,泵的抽水量,Q,5.56 L/s,泵的吸水管直径,D,100mm,吸水,管的水头损失,h,l,0.25mH,2,O,试求水泵进口处的真空度,解】由伯努利方程,1,取基准面,0-0,2,取计算断面,1-1,2-2,H,s,z,1,0,z,2,H,

22、s,p,1,p,a,p,2,待求,1,0,v,1,0,v,2,可求；令,1,2,2,D,2,1,0,2,p,a,p,2,v,Q,H,s,h,l,其中,v,0,708,m,s,g,g,2,g,A,2,2,p,v,p,a,p,2,v,2,H,s,h,l,5,28,m,g,g,2,g,p,v,5,28,g,51740,Pa,例,3,文丘里,Venturi,流量计。已知进口直径,D,1,100mm,喉管直径,D,2,50mm,测压管水头差,h,0.6m,或水银差压计,液面差,h,m,4.76cm,，流量系数,0.98,试求输水流量,解】由伯努利方程,1,取基准面,0-0,2,取计算断面,1-1,2-2

23、,水头损失忽略不计，则,列伯努利方程,1,z,1,2,2,1,2,2,h,m,z,2,h,p,1,v,p,2,v,z,1,z,2,g,2,g,g,2,g,令,1,0,2,1,0,再将连续性方程,v,1,A,1,v,2,A,2,与上式联立求得,4,v,1,1,D,1,1,D,2,p,1,p,2,2,g,z,z,1,2,g,g,1,2,D,1,4,D,1,1,D,2,4,令仪器常数为,K,于是，流量为,K,2,g,p,1,p,2,Q,K,z,z,K,h,6,38,L,s,1,2,g,g,或,Q,K,12,6,h,m,6,38,L,s,练习题】如图所示，设某虹吸管,a=2m,h=6m,d=15m,试

24、求,1,管内的流量,Q,2,管内最高点,S,的压强,3,若,h,不变，点,s,继续升高,即,a,增大，而上端管口始终,浸入水内），问使虹管内的水,不能连续流动的,a,值为多大,S,1,1,2,2,Z,1,a,Z,2,h,3.5,伯努利方程,3.5.4,有能量输入或输出的伯努利方程,2,p,1,1,v,1,p,2,v,z,1,H,m,z,2,h,l,g,2,g,g,2,g,2,2,2,式中,H,m,单位重量流体获得的机械能，如水泵的扬程,H,m,单位重量流体失去的机械能，如水轮机的水头,2,2,1,1,1,1,水泵,水轮机,2,2,3.5,伯努利方程,3.5.5,有分流或合流的伯努利方程,2,1

25、,1,1,方程可为,2,3,2,1,1,1,2,2,2,3,p,1,v,p,2,v,z,1,z,2,h,l,1,2,g,2,g,g,2,g,p,3,v,p,1,v,z,1,z,3,h,l,1,3,g,2,g,g,2,g,2,1,1,2,3,3,或者,第二章,水静力学,3.1,液体运动的描述方法,3.2,研究流体运动的基本概念,3.3,连续性方程,3.4,液体运动微分方程,3.5,伯努利方程,3.6,动量方程,3.6,动量方程,1,总流内任取元流，过水断,1,面面积,dA,1,和,dA,2,流速分,别为,u1,和,u2,经,dt,时间,d,A,1,u,1,元流的动量增量为,1,1,2,d,A,2

26、,u,2,2,2,2,1,1,d,K,K,1,2,K,1,2,K,1,2,K,2,2,K,t,dt,K,1,2,t,恒定流动,d,t,前后元流重叠部分动量相同，故,d,K,K,2,2,K,1,1,2,u,2,d,t,d,A,2,u,2,1,u,1,d,t,d,A,1,u,1,3.6,动量方程,取过水断面为渐变流断面，各点的流速接近平行并令,u,u,i,则有,d,K,2,u,2,d,t,d,A,2,u,2,i,1,u,1,d,t,d,A,1,u,1,i,A,2,A,1,对于不可压缩液体，密度等于常数。若,以断面平均流速,v,代,替真实流速,u,需引入动量修正系数,于是根据质点系,动量定理,F,d

27、,t,d,K,d,tQ,2,v,2,1,v,1,3.6,动量方程,得恒定总流动量方程,F,Q,2,v,2,1,v,1,若总流两断面间有分流或合流，总流动量方程可为,F,Q,v,流出,Q,v,流入,例,4,水平输水弯管。直径由,D,1,200mm,经,60,o,转角变,为,D,2,150mm,已知转弯前断面的表压强,p,1,18 kPa,输水,流量,Q,0.1 m,3,s,不计水头损失，求水流对弯管的作用力,解,1,取控制体,p,1,2,取坐标系,3,找出控制体上所受外力,y,4,将动量方程分别投影在,不同的坐标轴上，即,o,Rx,1,D,1,F,Ry,F,Rx,1,x,2,2,D,2,p,2,

28、F,P,1,F,P,2,cos,60,F,Q,2,v,2,cos,60,1,v,1,F,P,2,sin,60,F,Q,2,v,2,sin,60,0,Ry,上式中,2,F,P,1,p,1,A,1,18000,0,2,565,N,4,2,1,2,2,F,P2,p,2,A,2,中的,p,2,需通过列,1-2,断面间的伯努利方程求得,p,1,v,p,2,v,g,2,g,g,2,g,v,v,p,2,p,1,7,043,kPa,2,2,1,2,2,Q,4,Q,其中,v,1,3,18,m,s,2,A,1,D,1,4,Q,v,2,5,66,m,s,2,D,2,将各量代入动量方程，得弯管对水流的作用力为,F,538,N,Rx,F,597,N,Ry