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文档简介

1、2020/12/11,第三节 函数的单调性 与极值,一、单调性的判别法 二、函数的极值及其求法 三、函数的最值,2020/12/11,一、单调性的的充分条件,定理,2020/12/11,问题:如上例，函数在定义区间上不是单调的，但在各个部分区间上单调,导数等于零的点和不可导点，可能是单调区间的分界点,方法,二、单调区间求法,2020/12/11,确定某个函数单调性的一般步骤是,1）确定函数的定义域,这些点为分界点，将定义域分为若干个区间,3）确定,在各个子区间内的符号，从而判断,2020/12/11,例2,解,2020/12/11,2020/12/11,注意:区间内个别点导数为零,不影响区间的

2、单调性,例如,2020/12/11,1、函数极值的定义,三、函数的极值及其求法,2020/12/11,定义,在其中当,时,1,则称 为 的极大值点,称 为函数的极大值,2,则称 为 的极小值点,称 为函数的极小值,函数的极大值与极小值统称为极值,使函数取得极值的点称为极值点,三、函数的极值及其求法,1、函数极值的定义,2020/12/11,注意,为极大值点,为极小值点,不是极值点,2) 对常见函数, 极值可能出现,1) 函数的极值是函数的局部性质.极大值 不一定大于极小值，反之也是,在导数为 0（驻点） 或导数不存在的点,2020/12/11,定理 1 (极值第一判别法,且在空心邻域,内有导数

3、,2020/12/11,求极值的步骤,不是极值点情形,2020/12/11,定理4(第二充分条件,证,同理可证(2,2020/12/11,例2,解,图形如下,2020/12/11,注意,2020/12/11,定理1(必要条件,定义,注意,例如,2020/12/11,极值是一个局部概念， 它一定出现在区间的内部，不可能在端点的位置,函数的极值不是唯一的,极大值与极小值之间无确定的大小关系 即一个函数的极大值未必大于极小值,极值只是某个点的函数值 与它附近点的函数值比较是最大或最小； 并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小,2020/12/11,四、函数的最值,最值出现在：极值点，端点,20

4、20/12/11,步骤,1.求驻点和不可导点,2.求区间端点及驻点和不可导点的函数值,比较大小,那个最大，就是最大值； 那个最小就是最小值,极值点出现的地方,2020/12/11,特别,当 在 内只有一个极值可疑点时,当 在 上单调时,最值必在端点处达到,若在此点取极大 值 , 则也是最大 值,小,对应用问题 , 有时可根据实际意义判别求出的可疑点,是否为最大 值点或最小值点,小,2020/12/11,2020/12/11,2020/12/11,一,极值是函数的局部性概念:极大值可能小于极小值,极小值可能大于极大值,驻点和不可导点统称为临界点,函数的极值必在临界点取得,判别法,第一充分条件,第二充分条件

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