反函数及其图像性质.ppt

1、反函数,如果在某个变化过程中有两个变量X和Y,并且对于X在某个范围内的每一个确定的值，按照某个对应法则,Y都有唯一确定的值和它对应,那么Y就是X的函数，X就叫做自变量，X的取值范围称为函数的定义域，和X的值对应的Y的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域,函数的定义,记为： y=f(x,R,R,唯一确定,y,x,y,完成下列填空,1,0,唯一确定,y,反函数,记为,反函数的一般定义参见课本P.60第二段,的反函数，记为,在(1)中，我们称新函数,为原函数y=f(x)=2x的,改写为,改写为,反函数与原函数的关系,原函数,表达式,定义域,值域,y=f(x,A,C,反函数,y=f 1(x,C,A

2、,例.求下列函数的反函数,解,1,2,3,4,2.求反函数的步骤,概念表明,也就是说,反函数定义是一种生成性定义，体现了反函数的获得的过程,y = f(x) (xA,x,yC,反解,判断,x= (yC,对调,y= (xC,知识应用与解题研究,反函数的练习,1 x 0,解,0, 1,0 y 1,解得,1 x 0,由,1 x 0)的反函数,是,0 x 1,0 x2 1,01 x2 1,5、是否任何一个函数都有反函数,1）函数 的定义域是_，值域是_。如果由 解出x=_,对于y在0,+)上任一个值，通过式子 x在R上有_值和它对应，故x_y的函数,这表明函数,没有反函,并非所有的函数都有反函数,问：

3、怎样的函数才具有反函数呢,连续的单调函数一定有反函数,互为反函数图像间的关系,例1. 求函数y=3x-2的反函数, 并画出原函数和反函数的图象,解 y=3x-2,函数y=3x-2(xR） 的反函数为 y,x,xR,二、新授课,一）例题讲解,已知函数的图像利用对称性可以画出它的反函数的图像,应用思路,原函数和反函数的关系,原函数和其反函数的图象关于直线y=x对称， 若两个函数的图象关于直线y=x对称，则它们互为反函数,原函数过M(a,b), 则 y=f-1(x)过M(b,a,总结,M(a,b),与M(b,a)两点关于直线y=x对称,注意,例2.求函数y=x3(xR)的反函数,并画出原来的函数和它

4、的反函数的图象,解,二）反函数中应注意的几个问题,y=f(x)与x=f-1(y)是定义上的反函数， 它们的图像相同,y=f(x)与y=f-1(x)是应用上的反函数， 它们的图像关于直线y=x对称,辨清y=f(x)、y=f-1(x)、x=f(y)、x=f-1(y)间的关系,两图像关于直线y=x对称，不一定是互为反函数的图像,互为反函数在各自的定义域内单调性一致,y=f(x+1)的反函数不是y=f-1(x+1),而是y=f-1(x)-1,y=f(x)存在反函数，则f-1f(x)=x,ff-1(x)=x,为研究“原函数图象与其反函数图象的交点是否在直线y=x上”这个课题,我们可以分为三步进行研究,证

5、明:设点(a,b)是f(x)的图象与其反函数的任一交点,由于原函数与反函数图象关于直线y=x对称,则点(b,a)也是f(x)的图象与其反函数图象的交点,且有b=f(a),a=f(b) 若a=b时,交点显然在直线y=x上. 若ab且f(x)是增函数时,有f(b)f(a),从而有ba,矛盾;若ba且f(x)是增函数时,有f(a)f(b),从而有ab矛盾.故有a=b. 若ab且f(x)是减函数时,有f(b)f(a),从而有ab,成立，此时交点不在直线y=x上;同理ba且f(x)是减函数时,有f(a)f(b),从而有ab,成立，此时交点不在直线y=x上,1、如果两个函数的图象有交点，则交点或者在直线y=x上或者关于直线y=x对称； 2、如果原函数是定义域内的单调递增函数，它的图