一次函数和二次函数的性质与图象

1、.年 级高一学 科数学版 本通用版内容标题一次函数和二次函数的性质与图象编稿老师房新宝【本讲主要内容】一次函数和二次函数的性质与图象【知识掌握】【知识点精析】 1. 一次函数定义：形如的函数叫一次函数。一次函数图象：斜率为a，在y轴上截距为b的直线。一次函数性质：在（，+）上是单调函数，a0增函数，a0向上；a0向下。（3）二次函数的基本性质二次函数的三种表示法： 当a0，f(x)在区间p，q上的最大值为M，最小值为m，令若，则若，则若，则；若，则特别提醒：（1）学习“二次”函数时，要注意所给出函数解析式是不是“二次”的，即项的系数是否为零，必要时加以讨论。（2）一元二次函数、一元二次方程、一

2、元二次不等式常常联系起来考查，要理清它们之间的联系，解题时要做到适时转换。（3）图象要记熟，它是我们记忆的关键。【解题方法指导】 例1. （1）设x、y是关于m的方程的两个实根，则的最小值是（ ）A. B. 18C. 8D. 剖析：由，得或。于是有。由此可知，当a=3时，取得最小值8。答案：C（2）（2004年江苏，13）二次函数的部分对应值如下表：x-3-2-101234y60-4-6-6-406则不等式的解集是_。解析：由表知，又x=0，y=-6，代入知。答案： 例2. 已知二次函数的图象与直线y=25有公共点，且不等式的解是，求a、b、c的取值范围。解：依题意有解，故。又不等式的解是。且

3、有，代入得。故得a、b、c的取值范围为。评述：二次方程，二次不等式（或0）与二次函数的图象联系比较密切，要注意利用图象的直观性来解二次不等式和二次方程的问题。 例3. 求函数在0，2上的值域。思路分析：由可知对称轴为x=a是一个变量，应分a0，0a1，12四种情况分类讨论。解：结合二次函数的图象，观察对称轴x=a与区间0，2的位置关系，得当a2时，。误区警示：讨论要全面，不重不漏，特别是，不能把两者合为一个区间研究。方法点拨：对于二次函数在区间p，q上的最大值和最小值：若，则当是最小（大）值，且与中最大（小）者为最大（小）值；若，则与中的最大者为最大值，最小者为最小值。方法技巧： 1. 解决与

4、二次函数有关的问题，关键是通过配方得出顶点，由此可知函数的图象、对称轴、单调区间、最值等。 2. 二次函数在闭区间m，n上最值的求法：（1）若，则为函数的一个最值，另一个最值为或；（2）若，则在m，n上为单调函数，和为函数的两个最值。 3. 一元二次方程的区间根问题：可从判别式、区间端点函数的正、负及对称轴与区间的关系三个方面考虑。 4. 注意根据题设条件恰当选择二次函数的三种表达形式，以简化解题过程。 5. 二次函数，当时，图象与x轴有两个交点，则。【考点突破】【考点指要】本节内容属高考重点考查内容之一，比重5分20分，多以选择题和解答题出现。常用到数形结合、等价转化分类讨论等数学思想。考点

5、：二次函数的性质掌握二次函数的对称性、增减性、最值公式及图象与性质的关系，理解并掌握二次函数、二次方程与二次不等式的内在联系，能利用“数形结合”、“判别式”和“韦达定理”讨论二次方程根的情况及二次不等式的解集。【典型例题分析】 例1. （1）（2004北京）函数在区间1，2上存在反函数的充分必要条件是（ ）A. B. C. D. 答案：D解析：，对称轴x=a，函数在区间1，2上存在反函数的充要条件是函数在1，2上单调，即a1或a2。（2）（2003全国）设a0，曲线在点P（）处切线的倾斜角的取值范围为，则p到曲线对称轴距离的取值范围为（ ）A. B. C. D. 答案：B解析：的导数为，由已知

6、在点P（）处切线的倾斜角的取值范围为，因此有，而P到曲线的对称轴的距离为。（3）（2003北京）将长度为1的铁丝分成两段，分别围成一个正方形和一个圆形，要使正方形与圆的面积之和最小，正方形的周长应为_。答案：解析：设正方形周长为，面积和为S，则令由二次函数图象：当时，g(x)取得最小值，此时S最小。正方形周长为。 例2. （2003北京春招）某租赁公司拥有汽车100辆，当每辆车的月租金为3000元时，可全部租出。当每辆车的月租金每增加50元时，未租出的车将会增加一辆，租出的车每辆每月需要维护费150元。未租出的车每辆每月需要维护费50元。（1）当每辆车的月租金定为3600元时，能租出多少辆车？

7、（2）当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益最大？最大月收益是多少？解：（1）当每辆车的月租金定为3600元时，未租出的车辆数为，所以这时租出了88辆车。（2）设每辆车的月租金定为x元，则租赁公司的月收益为，整理得。所以，当x=4050时f(x)最大，最大值为。即当每辆车的月租金定为4050元时，租赁公司的月收益最大，最大利益为307050元。 例3. （2005全国I文）已知二次函数f(x)的二次项系数为a，且不等式的解集为（1，3）。（1）若方程有两个相等的根，求f(x)的解析式；（2）若f(x)的最大值为正数，求a的取值范围。解：（1）的解集为（1，3），且由方程得方程有两个相等

8、的根即解得a=1或由于a0，舍去a=1将代入得f(x)的解析式为（2）由又a0，可得的最大值为由解得或故当f(x)的最大值为正数时，实数a的取值范围是（，）（，0）【达标测试】 1. 设二次函数，若，则的值是（ ）A. 正数B. 负数C. 非负数D. 与m有关 2. 二次函数满足且的两根为，则（ ）A. 0B. 3C. 6D. 1.5 3. 若x0，y0，且，那么的最小值为（ ）A. 2B. C. D. 0 4. 已知，m、n是方程的两根，且，则实数a、b、m、n的大小关系是（ ）A. B. C. D. 5. 已知，其中a、b、c均是实数，则一定有（ ）A. B. C. D. 6. 方程0至少

9、有一个负根的充要条件是（ ）A. 0a1B. a1C. a1D. 0a1或a0 7. 已知函数。若有最小值-2，则f(x)的最大值为（ ）A. 1B. 0C. 1D. 2 8. 都是定义在R上的函数，且方程有实数解，则不可能是（ ）A. B. C. D. 9. 二次函数在区间1，4上的最小值是（ ）A. 7B. 4C. 2D. 2 10. a，bN*，方程和方程都有实根，则a+b的最小值是（ ）A. 3B. 4C. 5D. 6 11. 若函数的图象关于直线x=1对称，则a=_，b=_。 12. 已知函数的定义域为R，值域为，则a的范围为_。 13. 由已知函数，并且函数f(x)的最小值为f(a

10、)，则实数a的取值范围是_。 14. 已知函数对任意实数x都有成立，若当时，恒成立，则b的取值范围是_。 15. 某摩托车生产企业，上年度生产摩托车的投入成本为1万元/辆，出厂价为1.2万元/辆，年销售量为1000辆，本年度为适应市场需求，计划提高产品档次，适度增加投入成本。若每辆车投入成本增加的比例为x（0x1），则出厂价相应提高的比例为0.75x，同时预计年销售量增加的比例为0.6x。已知年利润=（出厂价投入成本）年销售量。（1）写出本年度预计的年利润y与投入成本增加的比例x的关系式；（2）为使本年度的年利润比上年有所增加，问投入成本增加的比例x应在什么范围。 16. 已知二次函数的定义域

11、为R，在x=t处取得最值。若为一次函数，且。（1）求的解析式；（2）若时，恒成立，求t的取值范围。【综合测试】 1. 设二次函数，如果（其中），则等于（ ）A. B. C. cD. 2. 二次函数的图象的顶点在x轴上，且a、b、c为ABC的三边长，则ABC为（ ）A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 等腰三角形 3. 已知函数在区间上是增函数，则f(1)的范围是（ ）A. B. C. D. 4. 下图所示为二次函数的图象，则等于（ ）A. B. C. D. 无法确定 5. 已知，在闭区间0，m上有最大值3，最小值2，则m的取值范围是_。 6. 已知函数，求y的最小值。 7. 要

12、使有反函数，则a的最小值为_。 8. 函数在区间-1，1上的最小值是_，最大值是_。 9. （2003年春季上海）若函数的图象关于直线x=1对称，则b=_。 10. 已知函数的图象与x轴的交点至少有一个在原点的右侧，求实数m的取值范围。 11. 设，当时，恒成立，求实数a的取值范围。 12. 对于函数，若存在，使成立，则称为f(x)的不动点。已知函数。（1）当a=1，b=-2时，求f(x)的不动点；（2）若对于任意实数b，函数f(x)恒有两个相异的不动点，求a的取值范围。 13. （2003年全国，文）设函数（1）判断函数f(x)的奇偶性；（2）求函数f(x)的最小值。 14. 已知的图象过点

13、（-1，0），是否存在常数a、b、c，使不等式对一切实数x都成立？ 15. （2005浙江文）已知函数和的图象关于原点对称，且。（1）求函数g(x)的解析式；（2）解不等式（3）若在1，1上是增函数，求实数的取值范围。 16. （2005郑州模拟）设关于x的一元二次方程有两个实根。（1）求的值；（2）求证：，且；（3）如果，试求a的最大值。【达标测试答案】 1. B2. C3. C4. A5. C 6. C7. C8. B9. C10. D 11. 4，612. a=3或-1 13. 1a314. b2 15. 解：（1）由题意得整理得（2）要保证本年度的利润比上年度有所增加，当且仅当，即解不

14、等式得。答：为保证本年度的利润比上年度有所增加，投入成本增加的比例x应满足。 16. 解：（1）设又为一次函数a=1，则（2）若时，要使恒成立，只需，即，这与t2时，要使恒成立只需，即t3，2t3综上所述t的取值范围是，3【综合测试答案】 1. D解析： 2. B解析：顶点为（）由题意知ABC为直角三角形。 3. A解析：由的对称轴是，可知在上递增，由题设只需。 4. B解析： 5. 1，2解析：通过画二次函数图象知。 6. 解：。令，则，的定义域为抛物线的对称轴方程是t=a当a2时，；当a-1时，恒成立，即。故此时。由（1）（2）知，当时，恒成立。 12. 解：（1）当a=1，b=2时，或的不动点为x=3或x=-1。（2）对任意实数b，f(x)恒有两个相异不动点对任意实数b，x恒有两个不等实根对任意实数b，恒成立对任意实数b，恒成立。 13. 解：（1）f(x)不是R上的奇函数不是偶函数故是非奇非偶的函数（2）当x2时，此时当x2时，此时总之， 14. 解：f(x)的图象过点（-1，0），对一切xR均成立，当x=1时也成立，即故有由得，故对一切xR成立，也即恒成立解得。存在一组常数，使不等式对一切实数x均成立。评述：赋值法（特殊值法）可以使“探索性”