空间两直线的位置关系 精选文档

1、3.6,空间两直线的相关位置,1,L,2,L,1,M,2,M,1,v,2,v,空间两直线的相关位置：,设直线,过点,，其方向矢量为,1,L,1,1,1,1,Z,Y,X,v,?,直线,过点,，其方向矢量为,2,L,2,2,2,2,Z,Y,X,v,?,和,两直线共面的充要条件是：,和,三个矢量共,面,2,1,v,v,2,1,M,M,即：三矢量的混合积为,0,。,),(,1,1,1,1,z,y,x,M,),(,2,2,2,2,z,y,x,M,1,L,2,L,2,2,2,1,1,1,1,2,1,2,1,2,Z,Y,X,Z,Y,X,z,z,y,y,x,x,?,?,?,?,?,0,?,0,?,?,2,2,

2、2,1,1,1,:,:,:,:,Z,Y,X,Z,Y,X,?,1,。相交：,0,?,?,2,2,2,1,1,1,:,:,:,:,Z,Y,X,Z,Y,X,?,?,1,2,1,2,1,2,:,:,z,z,y,y,x,x,?,?,?,3,。重合：,0,?,?,2,2,2,1,1,1,:,:,:,:,Z,Y,X,Z,Y,X,?,1,2,1,2,1,2,:,:,z,z,y,y,x,x,?,?,?,?,2,。平行：,4,。两直线异面的充要条件是：,两直线的夹角：,),(,),(,),(,2,1,2,1,2,1,v,v,v,v,L,L,?,?,?,?,?,?,或,因此，在直角坐标糸中，,2,2,2,2,2,2

3、,2,1,2,1,2,1,2,1,2,1,2,1,2,1,),(,cos,Z,Y,X,Z,Y,X,Z,Z,Y,Y,X,X,L,L,?,?,?,?,?,?,?,?,?,2,1,2,1,2,1,),(,cos,v,v,v,v,L,L,?,?,?,?,即：,两直线垂直的充要条件是：,0,2,1,2,1,2,1,?,?,?,Z,Z,Y,Y,X,X,0,?,2,2,2,1,1,1,1,2,1,2,1,2,Z,Y,X,Z,Y,X,z,z,y,y,x,x,?,?,?,?,?,2,L,1,L,1,N,2,N,1,M,2,M,0,L,1,v,2,v,两异面直线的距离,显然，两相交或重合直线的距离为零。两平行直线

4、的距离,等于其中一直线上的任一点到另一直线的距离。,与两异面直线都垂直相交的直线叫做两异面直线的公垂,线,。,两异面直线的距离就等于它们的公垂线夹于两异面,直线间线段的长。,1,2,1,2,0,M,M,N,N,L,射影,?,1,2,2,1,M,M,v,v,?,?,射影,2,1,2,1,1,2,),(,v,v,v,v,M,M,?,?,?,?,空间两直线上点的最短距离叫做两条直线之间的距离。,因此，两异面直线之间的距离,2,1,2,1,1,2,1,2,),(,v,v,v,v,M,M,N,N,d,?,?,?,?,?,2,2,2,1,1,2,2,2,1,1,2,2,2,1,1,2,2,2,1,1,1,

5、2,1,2,1,2,1,Y,X,Y,X,X,Z,X,Z,Z,Y,Z,Y,Z,Y,X,Z,Y,X,z,z,y,y,x,x,?,?,?,?,?,?,两直线的公垂线方程,2,L,1,L,1,N,2,N,1,M,2,M,0,L,1,v,2,v,公垂线,可以看作由过点,，以,为方位矢量,的平面及过点,，以,为方位矢量的平面的交,线。,1,M,2,M,2,1,1,v,v,v,?,0,L,2,1,2,v,v,v,?,因此，公垂线,的方程为：,0,L,0,0,2,2,1,1,2,2,1,1,2,2,1,1,2,2,2,2,2,2,2,2,1,1,2,2,1,1,2,2,1,1,1,1,1,1,1,1,?,?,

6、?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,Y,X,Y,X,X,Z,X,Z,Z,Y,Z,Y,Z,Y,X,z,z,y,y,x,x,Y,X,Y,X,X,Z,X,Z,Z,Y,Z,Y,Z,Y,X,z,z,y,y,x,x,例,1,。求通过点,P,（,1,，,1,，,1,）且与两直线,4,3,1,2,2,1,:,3,2,1,:,2,1,?,?,?,?,?,?,?,z,y,x,L,z,y,x,L,都相交的直线的方程。,解：,1,L,过,，,过,),0,0,0,(,1,M,2,L,),3,2,1,(,2,M,设所求直线的方向矢量为,v=(X,Y,Z),3,2,1,1,1,1,1,1,共面,Z,

7、Y,X,v,n,P,M,?,?,?,共,4,1,2,2,1,0,2,2,Z,Y,X,v,n,P,M,?,?,?,?,?,由,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,0,2,0,2,0,4,1,2,2,1,0,0,3,2,1,1,1,1,Z,Y,X,Z,Y,X,Z,Y,X,Z,Y,X,即,可得：,X,：,Y,：,Z=0,：,1,：,2,所求直线的方程为：,2,1,1,1,0,1,?,?,?,?,?,z,y,x,则,p,1,M,2,M,1,L,2,L,v,例,2,。已知两直线,0,1,1,1,1,1,:,0,1,1,1,:,2,1,?,?,?,?,?,?,?,?,?,z,y,x,L,z

8、,y,x,L,（,1,）证明：两直线为异面直线；,（,2,）求两直线间的距离；（,3,）求两直线的公垂线方程。,解：（,1,）,0,4,0,1,1,0,1,1,),1,(,1,0,1,0,1,?,?,?,?,?,?,?,?,?,两直线异面,（,2,）,0,1,1,0,1,1,2,1,?,?,?,?,v,v,),2,0,0,?,2,2,2,2,1,2,1,2,1,2,0,0,),(,?,?,?,?,?,?,?,?,v,v,v,v,M,M,d,2,2,4,?,?,（,3,）将数据代入公垂线方程，,0,2,0,0,0,1,1,1,1,1,0,2,0,0,0,1,1,),1,(,0,0,?,?,?,?

9、,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,z,y,x,z,y,x,即,?,?,?,?,?,?,?,0,0,y,x,y,x,它也可表示为：,?,?,?,?,?,0,0,y,x,这条公垂线的方程就是,z,轴。,0,0,2,2,1,1,2,2,1,1,2,2,1,1,2,2,2,2,2,2,2,2,1,1,2,2,1,1,2,2,1,1,1,1,1,1,1,1,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,Y,X,Y,X,X,Z,X,Z,Z,Y,Z,Y,Z,Y,X,z,z,y,y,x,x,Y,X,Y,X,X,Z,X,Z,Z,Y,Z,Y,Z,Y,X,z,z,y,y,x,x,得

10、,习题讲解,P,。,132 1,。,解：,X,轴的方程为：,?,?,?,?,?,0,0,z,y,?,?,?,?,?,?,?,0,0,2,2,1,1,D,x,A,D,x,A,（,*,）,（,1,）,当,不全为,0,，且,2,1,A,A,0,2,2,1,1,?,D,A,D,A,因此，方程（,*,）有唯一解，即,x,轴与已知直线相交。,（,2,）当,且,不全为,0,，方程（,*,）,为矛盾方程，无解。因此，,x,轴与已知直线平行。,0,2,1,?,?,A,A,2,1,D,D,（,3,）当,=0,，方程（,*,）为恒等式，,方程（,*,）有无穷多解。因此，,x,轴与已知直线重合。,2,1,2,1,D,

11、D,A,A,?,?,?,将它代入已知直线的方程，得：,此时方程组,（,*,）中,只有一个独立方程。,P,。,133 6,。,解：,M,O,OM,M,O,OM,M,O,OM,?,?,?,?,?,?,?,),(,cos,1,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,d,d,c,c,b,b,a,a,共线,与,M,O,OM,?,即,直线,通过原点,O,。,M,M,?,P,。,133 9,。（,1,）解：,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,39,9,3,4,6,5,z,x,x,z,x,z,6,4,2,3,3,5,3,4,2,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,z,y,x,y,

12、z,x,z,直线,1,：,直线,2,：,直线,2,过点,N,（,0,，,-3,，,-4,），其方向矢量,设所求直线的方向矢量为,v,因,v/ ,所以,v=8,7,1,它与直线,1,的交点设为,M,（,9,，,b,，,39,）,注意到,NM,，,共面，因此,6,2,3,2,?,v,2,v,v,0,6,2,3,1,7,8,4,39,3,0,9,?,?,?,?,b,解之，得,9,2,?,b,因此，所求直线的方程为：,1,39,7,9,2,8,9,?,?,?,?,?,z,y,x,M,N,2,v,v,x,y,z,1,L,2,L,0,L,0,L,o,P,。,133 9,。（,2,）解：,?,?,?,?,?

13、,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,t,z,t,y,t,x,L,t,z,t,y,t,x,L,7,4,10,5,:,5,3,3,2,:,2,1,设所求直线,L,与,的交点为,P,，它所对应的参数为,L,与,的交点为,Q,，它所对应的参数为,1,L,1,t,2,t,2,L,则交点,P,的坐标为：,),5,3,3,2,(,1,1,1,t,t,t,?,?,交点,Q,的坐标为：,),7,4,10,5,(,2,2,2,t,t,t,?,?,QP,就是所求直线的方向矢量，即：,1,7,12,4,3,8,13,5,2,2,1,2,1,2,1,t,t,t,t,t,t,?,?,?,?,?,

14、?,?,解之，得：,3,62,2,25,2,1,?,?,?,?,t,t,由此可求出直线,L,的方程。,P.133 10,过,P,（,2,，,1,，,0,）作平面垂直已知直线，其方程为：,0,),0,(,2,),1,(,2,),2,(,3,?,?,?,?,?,?,z,y,x,即：,0,8,2,2,3,?,?,?,?,z,y,x,直线和平面的交点,M,可由联立方程：,t,z,y,x,z,y,x,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,2,25,2,3,5,0,8,2,2,3,解出，,17,311,17,114,17,86,17,57,0,0,0,0,?,?,?,?,?,?,?,?,z,y,x,t,

15、MP,为所求直线。,311,131,120,?,v,所求直线方程为：,311,131,1,120,2,z,y,x,?,?,?,?,其方向向量为：,得：,作业：,P.132 2.(1); 3.(1),(3); 4; 5.(2);,3.7,空间直线与点的相关位置,L,d,),(,1,1,1,z,y,x,M,),(,0,0,0,0,z,y,x,M,v,空间直线与点的相关位置：,直线,L,：,Z,z,z,Y,y,y,X,x,x,0,0,0,?,?,?,?,?,（,1,）点,M,在直线,L,上，即点,M,的坐标满足直线,L,的方程；,求点,M,到直线,L,的距离：,v,v,M,M,d,?,?,1,0,其

16、中：,v=X,Y,Z,0,1,0,1,0,1,1,0,z,z,y,y,x,x,M,M,?,?,?,?,（,2,）点,M,在不直线,L,上，即点,M,的坐标不满足直线,L,的方程；,与点,),(,1,1,1,z,y,x,M,具体计算公式见,P,。,134,1,习题讲解,P,。,134 1,。直线,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,0,0,2,2,2,2,1,1,1,1,D,z,C,y,B,x,A,D,z,C,y,B,x,A,通过原点的条件是什么？,解：,0,2,1,?,?,D,D,作业：,P,。,134 2,。,3,。,8,平面束,定义：,有轴平面束,空间中通过同一条直线的所有平面的集

17、合叫做有轴,平面束，并称,L,那条直线为平面束的轴。,定理：如果两个平面,0,:,0,:,2,2,2,2,2,1,1,1,1,1,?,?,?,?,?,?,?,?,D,z,C,y,B,x,A,D,z,C,y,B,x,A,?,?,0,),(,),(,2,2,2,2,1,1,1,1,?,?,?,?,?,?,?,?,D,z,C,y,B,x,A,m,D,z,C,y,B,x,A,l,其中,和,是不全为零的实数（证见,P,。,135136,）。,l,m,交于一条直线,L,，,在求解具体问题时，有轴平面束的方程常写成：,0,),(,2,2,2,2,1,1,1,1,?,?,?,?,?,?,?,?,D,z,C,y

18、,B,x,A,D,z,C,y,B,x,A,?,),1,(,?,?,?,那么，以,L,为轴的有轴平面束的方程是：,平行平面束,空间中平行于同一平面的所有平面的集合叫做平,行平面束。,（,1,）如果两个平面,0,:,0,:,2,2,2,2,2,1,1,1,1,1,?,?,?,?,?,?,?,?,D,z,C,y,B,x,A,D,z,C,y,B,x,A,?,?,为平行平面，,0,),(,(,2,2,2,2,1,1,1,1,?,?,?,?,?,?,?,?,D,z,C,y,B,x,A,m,D,z,C,y,B,x,A,l,其中,和,是不全为零的实数,且,l,m,l,m,C,C,B,B,A,A,?,?,?,?

19、,2,1,2,1,2,1,（否则左端恒为零）,),（,2,）由平面,0,:,?,?,?,?,d,Cz,By,Ax,?,所决定的平面束的方程是,其中,为任意实数。（这是常用的形式）,?,0,?,?,?,?,?,Cz,By,Ax,那么，平行平面束的方程是：,空间“有轴平面束”和“平行平面束”这两个概念，退,化到平面上，有“中心直线束”和“平行直线束”的概,念：,中心直线束：,如果给定了平面上的两条直线，,0,:,0,:,2,2,2,2,1,1,1,1,?,?,?,?,?,?,C,y,B,x,A,L,C,y,B,x,A,L,若两直线相交，那么过交点的所有直线的集合叫做中心直,线束，那个点叫做直线束的

20、中心。,若两直线平行，所有与它们平行的直线的集合叫做平行直,线束，这些直线确定的方向叫做直线束的方向。,方程,0,),(,),(,2,2,2,1,1,1,?,?,?,?,?,?,C,y,B,x,A,m,C,y,B,x,A,l,当两直线相交时，表示中心直线束，其中,不全为零；,当两直线平行时，表示平行直线束，其中,m,l,l,m,C,C,B,B,A,A,?,?,?,?,2,1,2,1,2,1,下例用“有轴平面束”概念来求解是非常方便的。,例,1,：求通过直线,L,：,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,0,2,2,0,1,2,2,z,y,x,z,y,x,且与平面,0,1,?,?,?,?,

21、z,y,x,相垂直的平面方程。,解：,过直线,L,的平面束方程为：,0,),2,2,(,),1,2,2,(,?,?,?,?,?,?,?,?,z,y,x,m,z,y,x,l,即：,0,),2,(,),2,(,),2,(,),2,(,?,?,?,?,?,?,?,?,?,m,l,z,m,l,y,m,l,x,m,l,由于所求平面与已知平面垂直，因此,0,),2,(,),2,(,),2,(,?,?,?,?,?,?,?,m,l,m,l,m,l,即,0,2,?,?,m,l,取,1,2,?,?,?,m,l,（,1,）,代入（,1,），得,0,4,3,3,?,?,?,z,x,P.139 4.,解：,?,?,?,

22、?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,0,2,2,3,0,1,3,2,2,2,0,1,z,y,x,z,y,x,L,：,过直线,L,的平面束方程为：,0,),1,(,2,2,3,?,?,?,?,?,x,z,y,?,即：,0,2,2,3,?,?,?,?,?,?,?,z,y,x,由于点,P,（,4,，,1,，,2,）到所求平面的距离为,d=3,因此，,2,2,2,2,3,2,4,3,4,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,d,3,13,9,5,2,?,?,?,?,?,?,解之，得,6,8,3,2,1,?,?,?,?,?,因此，所求平面的方程是：,0,4,2,3,6,0,19,16,2,

23、3,?,?,?,?,?,?,?,?,z,y,x,z,y,x,及,P,。,139 8,。,直线方程,L,：,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,0,0,2,2,2,2,1,1,1,1,D,z,C,y,B,x,A,D,z,C,y,B,x,A,的糸数应满足什么条件才能使该直线在坐标平面,xoz,内？,解：,如果直线,L,在坐标面,xoz,内，那么：坐标面,xoz,一定是在过直线,L,的平面束上。,过,L,的平面束方程为：,0,),(,),(,2,2,2,2,1,1,1,1,?,?,?,?,?,?,?,?,D,z,C,y,B,x,A,m,D,z,C,y,B,x,A,l,即：,0,),(,),(

24、,),(,),(,2,1,2,1,2,1,2,1,?,?,?,?,?,?,?,?,m,lD,z,mC,lC,y,mB,lB,x,mA,lA,坐标面,xoz,的方程为：,y=0,0,0,0,2,1,2,1,2,1,?,?,?,?,?,?,mD,lD,mC,lC,mA,lA,即：,2,1,2,1,2,1,D,D,C,C,A,A,?,?,所以，,如果直线以对称式方程表示：,2,2,2,2,2,2,2,1,1,1,1,1,1,1,:,:,Z,z,z,Y,y,y,X,x,x,L,Z,z,z,Y,y,y,X,x,x,L,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,那么，如前所述，两,直线共面的充要条件是：,0,2,2,2,1,1,1,1,2,1,2,1,2,?,?,?,?,?,?,Z,Y,X,Z,Y,X,z,z,y,y,x,x,如直线以一般方程表示：,?