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1、4.3 向量组的极大无关线性组和秩,2）如何找出这一组线性无关向量组,3）其余向量与这一组向量有何关系,问题,1）一个向量组（含有限多个向量，或无限多 个向量）线性无关的向量最多有几个,1,若向量组A和向量组B可相互线性表出，称向量组A与向量组B等价,即,1.向量组的线性表出,2,定理4.3.1,且,则向量组 必线性相关,证明：给出 时的证明,为说明 线性相关，需找到三个不全为零的数 使,3,代入上式，整理得,齐次线性方程组,所含方程个数小于未知量的个数，必有非零解. 因此 线性相关,由已知， 可由生成集 线性表出,4,定理4.3.3 两个等价的线性无关向量组，必包含相同个数的向量,逆否命题,

2、5,2.极大线性无关组,注,1）只含零向量的向量组没有极大无关组,2）任意r1个向量（如果有）都线性相关,1）（II）线性无关,则称（II）是（I）的一个极大线性无关组,2）一个线性无关向量组的极大无关组为其本身,2）（I）中的任意向量可由（II）线性表出,在条件（1）下，（2）等价于,6,例：在向量组,注：一个向量组的极大无关组一般不是唯一的,中,7,极大无关组的一个基本性质,任意一个极大线性无关组都与向量组本身等价,向量组的极大无关组不唯一，而每一个极大无关组都与向量组等价，所以,向量组的任意两个极大无关组都是等价的,由于等价的线性无关的向量组必包含相同个数的向量，可得,一个向量组的任意两

3、个极大无关组等价，且所含向量的个数相同,定理4.3.5,8,3.向量组的秩,定义4.3.3 向量组的极大无关组所含向量的个数，称为向量组的秩，记作,例：向量组,秩为2,9,关于向量组的秩的一些结论,1）零向量组的秩为0,线性表出，则,10,4）等价的向量组必有相同的秩,思考：两个向量组有相同的秩，并且其中一个可以被另一个线性表出，则这两个向量组等价,两个有相同的秩的向量组等价吗,不一定,11,例,求向量组的秩和一个极大无关组. 并用该极大无关组线性表出向量组中的其余向量,4.向量组的秩、极大无关组的求法,12,解,B的1，2，4列是B的一个列极大无关组,B有三个非零行,思考：是否还有其他的极大无关组,13,进一步化A为行最简形,是C的一个列极大无关组,且,相应地有,14,步骤,r(A) = B的非零行的行数,3）求出B的

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