固体物理 36晶体比热

1、第六节,晶体的比热,3.6.1,晶体比热的一般理论,本节主要内容：,3.6.2,晶体比热的爱因斯坦模型,3.6.3,晶体比热的德拜模型,3.6,晶体的比热,下面分别用经典理论和量子理论来解释晶体比热的规律。,晶体比热的实验规律,(1),在高温时，晶体的比热为,3,Nk,B,(,N,为晶体中原子的个,数,k,B,=,1.38,?,10,-23,J,?,K,-,1,为玻尔兹曼常量,),；,(2),在低温时，晶体的比热按,T,3,趋于零。,晶体的定容比热定义为：,3.6.1,晶体比热的一般理论,V,V,T,E,C,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,E,-,晶体的平均内能,e,V,a,V,V

2、,C,C,C,?,?,晶格振动比热,晶体电子比热,a,V,V,C,C,?,e,通常情况下，,本节只讨论晶格振动比热。,1.,杜隆,-,珀替定律,(,经典理论,),根据能量均分定理，每一个自由度的平均能量是,k,B,T,若晶,体有,N,个原子，则总自由度为：,3,N,。,T,Nk,E,B,3,?,V,V,T,E,C,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,B,3,Nk,?,低温时经典理论不再适用。,它是一个与温度无关的常数，这一结论称为杜隆,-,珀替定律。,2.,晶格振动的量子理论,晶体可以看成是一个热力学系统，在简谐近似下，晶格中,原子的热振动可以看成是相互独立的简谐振动。每个谐振子的,能

3、量都是量子化的。,i,i,i,n,E,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,2,1,第,i,个谐振子的能量为：,n,i,是频率为,?,i,的谐振子的平均声子数：,1,e,1,B,?,?,T,k,i,i,n,?,?,i,T,k,i,i,i,E,?,?,?,?,?,?,2,1,1,e,B,?,?,?,第,i,个谐振子的能量为：,晶体由,N,个原子组成，晶体中包含,3,N,个简谐振动，总振,动能为,?,?,?,N,i,i,E,E,3,1,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,N,i,i,T,k,i,i,3,1,2,1,1,e,B,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,N

4、,i,N,i,i,T,k,i,i,3,1,3,1,2,1,1,e,B,?,?,?,?,?,?,0,),(,E,E,T,?,?,T,E,C,V,?,?,?,2,B,3,1,2,B,1,e,e,B,B,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,T,k,k,i,N,i,T,k,T,k,i,i,?,?,?,?,?,?,对于宏观晶体,原胞数目,N,很大，波矢,q,在简约布里渊区中,有,N,个取值，所以波矢,q,近似为准连续的，频率也是准连续的。,上式可以用积分来表示：,?,?,?,?,?,?,?,)d,(,2,1,1,e,0,B,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,

5、?,m,T,k,E,?,?,?,?,?,?,m,T,k,T,E,?,?,?,?,?,?,0,)d,(,1,e,),(,B,?,?,?,?,?,?,?,)d,(,2,1,0,0,?,?,m,E,?,?,?,?,)d,(,?,?,?,d,?,间的振动模式数。,表示在,?,?,?,?,?,?,?,)d,(,1,e,e,2,B,0,2,B,B,B,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,T,k,k,C,m,T,k,T,k,V,?,?,?,3.,频率分布函数,(,模式密度,),?,?,?,?,?,?,?,?,?,n,lim,0,),(,?,?,m,?,?,?,?,0,)d,(

6、,设晶体有,N,个原子,则,N,3,(1),定义,:,其中,?,m,是最高频率，又称截止频率。,?,?,n,?,?,?,)d,(,(2),计算,因为频率是波矢的函数，所以我们可以在,波矢空间,内求出模,式密度的表达式。,包含在,内的振动模式数为：,?,?,?,d,?,单位频率间隔内的振动模式数。,波矢,密度,3,),2,(,C,V,两个等频率,面间的体积,每一支格波的,振动模式数,每一支格波的模,式密度,),(,?,?,?,晶格总的模,式密度,),(,?,?,?,?,n,?,?,?,?,)d,(,两个等频率面,间的波矢数,q,y,q,x,?,?,?,?,?,s,d,q,d,q,s,v,d,d,

7、d,?,体积元：,d,q,：两等频面间的垂直距离,d,s,：面积元。,体积元包含的波矢数目：,q,s,V,C,d,d,),2,(,3,?,?,?,?,的等频率面间的体积,和,频率为,?,?,?,d,2,3,?,?,?,?,c,V,n,?,?,?,?,?,q,s,V,n,c,d,d,2,3,由梯度定义知,:,?,?,q,q,q,d,d,?,?,?,?,代入上式得,?,?,?,?,?,?,d,d,2,3,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,q,s,V,n,q,c,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,s,q,c,q,s,V,d,2,3,?,?,?,?,?,?,?,

8、?,?,?,?,n,s,q,c,q,s,V,3,1,3,d,2,?,?,?,?,?,?,证明：,(,法一,),例,1,：证明由,N,个质量为,m,、相距为,a,的原子组成的一维单原,子链的模式密度,2,1,2,2,),(,2,),(,/,m,N,?,?,?,?,?,?,?,2,sin,2,aq,m,?,?,?,2,sin,aq,m,?,?,一维单原子链,a,q,a,?,?,?,共有,N,个值,2,2,2,),(,L,Na,a,/,N,q,?,?,?,?,d,q,间隔内的振动模式数为,:,q,L,d,2,?,?,?,d,?,间隔内的振动模式数为：,?,?,d,d,d,2,2,q,L,n,?,?,

9、?,(,因子,2,是因为一个,?,对应于正负两个波矢,q,，即一个,?,对应,两个振动模式。,),?,?,?,q,q,d,d,?,?,2,cos,2,aq,a,m,?,2,/,1,2,2,1,2,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,m,m,a,?,?,?,?,?,2,/,1,2,2,2,?,?,?,?,m,a,?,?,d,d,d,2,2,q,L,n,?,?,?,?,?,?,?,?,d,2,1,2,2,2,1,2,2,/,m,a,L,?,?,?,?,?,?,?,?,d,2,2,1,2,2,/,m,a,L,?,?,?,2,sin,2,aq,m,?,?,?,2,sin,aq,m,?,?,2,1,

10、2,2,2,/,m,),(,N,),(,?,?,?,?,?,?,?,(,式中,?,m,为截止频率,),(,法二,),一维单原子链只有一支格波，且,2,sin,2,aq,m,?,?,?,2,sin,aq,m,?,?,对于一维单原子链波矢空间的波矢密度为,2,L,?,?,q,?,2,cos,2,aq,a,m,?,2,/,1,2,2,1,2,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,m,m,a,?,?,?,?,?,2,/,1,2,2,2,?,?,?,?,m,a,?,?,2,1,2,2,2,2,2,2,2,),(,/,m,q,a,L,L,?,?,?,?,?,?,?,?,?,2,1,2,2,),(,2,/

11、,m,N,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,n,s,q,c,q,s,V,3,1,3,d,2,?,?,?,?,?,?,Na,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,s,q,c,q,s,V,d,2,3,解,:,c,q,?,?,?,例,2,：三维晶体，,cq,?,?,?,求,),(,?,?,?,其中,c,为常量，,q,x,q,y,在波矢空间，等频率面为球面，球,半径为,q,。,?,?,?,?,c,q,V,c,2,3,4,2,?,?,?,?,?,?,2,3,4,2,?,?,?,?,?,?,?,c,c,V,c,?,3,2,2,2,c,V,c,?,?,3.

12、6.2,晶体比热的爱因斯坦模型,(1),晶体中原子的振动是相互独立的；,(2),所有原子都具有同一频率,?,。,1.,模型,设晶体由,N,个原子组成，因为每个原子可以沿三个方向振动，,共有,3,N,个频率为,?,的振动。,?,?,?,N,i,i,E,E,3,1,i,i,i,n,E,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,2,1,2.,计算,(1),比热表达式,2,B,2,B,1,e,e,3,B,B,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,T,k,Nk,T,k,T,k,?,?,?,?,?,?,T,E,C,V,?,?,?,1,e,1,B,?,?,T,k,n,?,?,?,?,?,?,

13、?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,2,1,1,e,3,B,T,k,N,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,N,i,i,i,n,E,3,1,2,1,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,2,1,3,n,N,?,?,?,?,?,?,?,T,f,Nk,E,B,3,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,T,k,f,Nk,B,E,B,3,?,?,?,?,?,?,?,?,?,T,f,Nk,C,V,E,B,3,?,通常用爱因斯坦温度,?,E,代替频率,?,，定义为,k,B,?,E,=,?,，,2,2,E,E,1,e,e,E,E,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?

14、,?,?,?,?,?,?,?,?,T,T,T,T,f,?,?,?,?,爱因斯坦比热函数,。,爱因斯坦温度,?,E,如何确定呢？,选取合适的,?,E,值，使得在比热显著改变的温度范围内，理,论曲线与试验数据相当好的符合。,对于大多数固体材料，,?,E,在,100,300k,的范围内。,2,2,E,E,1,e,e,E,E,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,T,T,T,T,f,?,?,?,?,1,2,2,1,2,E,E,2,E,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,T,T,T,?,?,?,高温时，当,T,?,E,时，,(1),2,2

15、,2,2,E,E,E,E,E,e,e,e,e,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,T,T,T,T,T,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,!,3,!,2,1,e,3,2,x,x,x,x,2,E,E,2,E,),2,1,(,),2,1,(,1,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,T,T,T,?,?,?,3.,高低温极限讨论,B,3,Nk,?,?,?,?,?,?,?,?,T,f,Nk,C,V,E,B,3,?,2,2,E,E,1,e,e,E,E,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,T,T,

16、T,T,f,?,?,?,?,(2),低温时，当,T,?,E,时，,T,T,/,E,e,1,2,E,?,?,?,?,?,?,?,?,?,T,V,T,Nk,C,E,e,1,3,2,E,B,?,?,?,?,?,?,?,?,?,1,e,E,?,T,?,0,0,?,?,V,C,T,但,C,V,比,T,3,趋于零的速度更快。是什么原因使爱因斯坦模型,在低温时不能与实验相吻合呢,?,按爱因斯坦温度的定义，爱因斯坦频率,?,E,大约为,10,13,Hz,，,处于远红外光频区，相当于长光学波极限。,具体计算表明，在甚低温度下，格波的频率很低，属于长,声学波，也就是说，,在甚低温度下，晶体的比热主要由长声学,波决

17、定,。因此爱因斯坦模型在低温时不能与实验相吻合。,3.6.3,晶体比热的德拜模型,（,1,）晶体视为连续介质，格波视为弹性波；,1.,模型,:,（,2,）有一支纵波两支横波；,（,3,）晶格振动频率在,之间,(,?,D,为德拜频率,),。,D,0,?,2.,计算,(1),模式密度表达式,v,q,?,?,?,由弹性波的色散关系：,?,=,vq,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,s,q,c,q,s,V,d,2,3,在波矢空间，等频率面是半径为,q,的球面，,?,?,?,?,v,q,V,c,2,3,4,2,?,?,?,?,?,?,2,3,4,2,?,?,?,?,?,?,?,

18、v,v,V,c,?,3,2,2,2,v,V,c,?,?,弹性波有,1,支纵波、,2,支横波,共,3,支格波。所以总的模式,密度为：,?,?,2,3,2,2,3,3,2,2,2,3,2,1,2,?,?,?,?,?,B,v,V,v,v,V,p,c,T,L,c,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,3,3,3,2,1,3,T,L,p,v,v,v,?,?,N,m,3,)d,(,0,?,?,?,?,?,?,N,B,D,3,d,0,2,?,?,?,?,?,N,B,3,3,1,3,D,?,?,3,D,9,?,N,B,?,?,?,2,3,D,9,?,?,?,?,N,?,模式密度为,:,(2),比热表

19、达式,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,D,B,0,)d,(,2,1,1,e,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,T,k,E,?,?,?,?,?,?,?,)d,(,1,e,e,2,B,0,2,B,B,B,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,T,k,k,C,m,T,k,T,k,V,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,d,1,e,e,9,2,2,B,2,0,B,3,D,B,B,D,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,T,k,k,N,T,k,T,k,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,D,0,2,2,2

20、,B,3,B,3,D,d,1,e,e,9,x,x,x,x,x,x,k,T,k,N,?,?,T,k,x,B,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,D,x,x,x,x,x,x,k,T,k,N,0,2,2,2,B,3,B,3,D,d,1,e,e,9,?,?,?,D,为德拜温度,B,D,D,k,?,?,?,?,取,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,T,x,x,V,x,x,k,T,N,C,D,0,4,2,B,3,D,d,1,e,e,9,?,?,?,?,?,?,?,?,?,T,f,Nk,C,V,D,B,3,?,?,?,x,x,T,T,f,T,x,x,d,1,e,e,3,4,0,2,3,D,D,D,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?