可线性化模型

1、第四章,非线性回归模型的线性化,因变量和解释变量之间的线性关系，包括,参数线性,和,解释变量线性,两种。至今，线性总体回归模型的一般形式,为,其中：,Y,是被解释变量，,X,1,，,，,X,K,是解释变量。此,时，被解释变量既是解释变量的线性函数，也是相应参数,的线性函数。我们又称之为,标准的线性回归模型。,实际应用中，只有很少一部分经济变量之间存在上述,这种标准的线性回归关系。对于绝大多数经济变量而言，,他们之间的关系都是非线性的。,u,X,X,X,Y,K,K,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,2,2,1,1,0,非线性回归模型的一般形式,其中，,f,(.),是关于解释变量和相应参数的

2、一个非线性函数。具,体地，又可以分为以下三类：,?,非标准线性回归模型,?,可线性化的非线性回归模型,?,不可线性化的非线性回归模型,u,X,X,X,f,Y,K,K,?,?,),(,2,1,1,0,?,?,?,?,?,非标准线性回归模型,当被解释变量,Y,与解释变量,X,1, X,2, X,K,之间不存在,线性关系，但是与参数之间存在线性关系时,其中，,f,1,(.), f,K,(.),是关于解释变量的一个非线性函数。,我们称之为,非标准线性回归模型。,比如,:,i,i,i,u,X,Y,?,?,?,1,2,1,?,?,u,X,X,X,f,X,X,X,f,Y,K,K,K,K,?,?,?,?,?,

3、),(,),(,2,1,2,1,1,1,0,?,?,?,?,?,?,可线性化的非线性回归模型,当被解释变量,Y,与解释变量,X,1, X,2, X,K,和参数之间都,不存在线性关系，但是可以通过适当的变换将其化为,标准,线性回归模型,时。我们称之为,可线性化的非线性回归模型。,比如,C-D,生产函数：,u,e,K,AL,Y,2,1,?,?,?,不可线性化的非线性回归模型,当被解释变量,Y,与解释变量,X,1, X,2, X,K,和参数之间都,不存在线性关系，并且,不,可以通过适当的变换将其化为,标,准线性回归模型,时。我们称之为,不可线性化的非线性回归,模型。,比如：,u,ce,be,a,Y,

4、z,x,?,?,?,?,2,1,?,?,对于这些不符合线性假定的模型进行参数估,计，必须加以适当的变换以后，才能用,OLS,方法,估计模型参数。对前两类情况，虽然其形式是非,线性的，但可以通过适当的变换，转化为线性模,型，然后利用线性回归模型的估计与检验方法进,行处理。,下面介绍几种典型的可以做线性化处理的非,线性模型。,对于参数线性的模型，可以采用变量的直接,代换，转化为参数、变量均为线性的形式进行估,计。,1,、非标准线性回归模型,多项式方程模型,多项式方程的表达形式是,(4.4),图,4.9,y,t,=,b,0,+,b,1,x,t,+,b,2,x,t,2,+,b,3,x,t,3,+,u,

5、t,图,4.10,y,t,=,b,0,+,b,1,x,t,+,b,2,x,t,2,+,b,3,x,t,3,+,u,t,u,X,X,X,Y,K,K,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,2,2,1,0,y,t,=,b,0,+,b,1,x,t,+,b,2,x,t,2,+,u,t,(4.14),其中,b,1,0,b,2,0,和,b,1,0,b,2,0,情形的图形分别见图,4.11,和,4.12,。令,x,t,1,=,x,t,，,x,t,2,=,x,t,2,，上式线性化为，,y,t,=,b,0,+,b,1,x,t,1,+,b,2,x,t,2,+,u,t,(4.15),如经济学中的边际成本曲线、平均成

6、本曲线与图,4.11,相似。描,述自变量对因变量递增或者递减的边际效应。,图,4.11,y,t,=,b,0,+,b,1,x,t,+,b,2,x,t,2,+,u,t,图,4.12,y,t,=,b,0,+,b,1,x,t,+,b,2,x,t,2,+,u,t,另一种多项式方程的表达形式,二次函数,y,t,=,b,0,+,b,1,x,t,+,b,2,x,t,2,+,u,t,当,b,1,0,b,2,0,时，具有抛物线的形式，在点,-,2,b,1,/,b,2,之前,x,对,y,的影响是正的，在点,-2,b,1,/,b,2,之后,x,对,y,的影响是负的，在点,-2,b,1,/,b,2,处为,0,。,当,b

7、,1,0,b,2,0,时，具有,U,型的形式，在点,-2,b,1,/,b,2,之前,x,对,y,的影响是负的，在点,-2,b,1,/,b,2,之后,x,对,y,的影响是正的，在点,-2,b,1,/,b,2,处影响为,0,。,可以与对数联合使用。,含有交互作用项的模型,y,t,=,b,0,+,b,1,x,t,1,+,b,2,x,t,2,+ +,b,3,x,t,1,x,t,2,u,t,因变量对一个解释变量的偏效应、弹性或者半弹性与,另一个或几个解释变量有关。,例,4.1,双曲线函数模型,1/,y,t,=,+,/,x,t,+,u,t,(4.6),也可写成，,y,t,= 1/ (,+,/,x,t,+,

8、u,t,),0,情形的图形见图。,y,t,= 1/ (,+,/,x,t,), (, 0),倒数模型,i,i,i,u,X,Y,?,?,?,1,1,0,?,?,这是双曲线函数的另一种表达方式,令变量,，则,回归函数可变为：,i,i,u,X,Y,i,?,?,?,*,1,0,?,?,i,i,X,X,1,*,?,根据解释变量的观测值，计算出,X*,i,的之后进行,OLS,估计，得到,：,*,1,0,?,?,i,X,Y,i,?,?,?,?,因此可得到原模型的估计方程：,i,i,X,Y,1,?,?,1,0,?,?,?,?,x,t,和,y,t,的关系是非线性的。令,x,t,*,=,1/,x,t,，得,y,t,

9、=,+,x,t,* +,u,t,上式已变换成线性回归模型。,图,4.8,y,t,=,+,/,x,t, (, 0),y,t,=,+,/,x,t,+,u,t,半对数函数模型,y,t,=,+,Ln x,t,+,u,t,0,和,0,两种情形的图形分别见图。,x,t,和,y,t,的关系是非线性的。令,x,t,* =,Lnx,t,则,y,t,=,+,x,t,*,+,u,t,变量,y,t,和,x,t,*,已变换成为线性关系。,图,4.3,y,t,=,+,Lnx,t,+,u,t, (, 0),图,4.4,y,t,=,+,Lnx,t,+,u,t, (,0),S,-,曲线函数模型,1/,y,t,=,+,e,-,x

10、,+,u,t,令,y,t,* = 1/,y,t,x,t,* =,e,-,x,y,t,=,+,x,t,*,+,u,t,2,、可线性化的非线性回归模型,幂函数模型,y,t,=,a x,t,b,b,取不同值的图形分别见图,4.5,和,4.6,。,x,t,和,y,t,的关,系是非线性的。对上式等号两侧同取对数，得,Lny,t,=,Lna,+,b Lnx,t,+,u,t,令,y,t,* =,Lny,t,a,* =,Lna,x,t,* =,Lnx,t,则上式表示为,y,t,* =,a,* +,b x,t,* +,u,t,变量,y,t,*,和,x,t,*,之间已成线性关系。其中,u,t,表示随,机误差项。也

11、称作全对数模型。,t,u,e,图,4.5,y,t,=,a x,t,b,图,4.6,y,t,=,a x,t,b,e,t,u,幂函数模型,半对数线性模型,i,i,i,i,i,i,u,X,Y,u,X,Y,?,?,?,?,?,?,ln,ln,1,0,1,0,?,?,?,?,或,i,i,i,i,i,u,X,Y,u,X,Y,i,?,?,?,?,?,?,*,1,0,1,0,*,?,?,?,?,或,根据解释变量的观测值，进行,OLS,估计，得到：,因此可得到原模型的估计方程：,i,i,X,i,X,Y,e,Y,i,ln,?,?,?,?,1,0,?,?,2,1,?,?,?,?,?,?,?,?,或,对数线性模型,通

12、过对原模型的对数变换，函数形式可变为：,i,i,i,i,u,X,X,Y,?,?,?,?,3,2,2,1,0,ln,ln,ln,?,?,?,令变量,，则回归函数可变为：,ki,i,X,X,Y,Y,ki,i,ln,ln,*,*,?,?,i,u,X,X,Y,i,i,i,?,?,?,?,*,2,*,1,0,*,3,2,?,?,?,根据解释变量的观测值，进行,OLS,估计，得到：,*,2,*,1,0,*,3,2,?,?,?,?,?,i,i,i,X,X,Y,?,?,?,?,?,?,因此可得到原模型的估计方程：,i,i,i,X,X,Y,3,2,2,1,0,ln,?,ln,?,?,?,ln,?,?,?,?,?

13、,?,下面介绍柯布,?,道格拉斯（,Cobb-Douglas,）生产函数。其形式是,Q,=,k L,?,C,1,-,?,(4.24),其中,Q,表示产量；,L,表示劳动力投入量；,C,表示资本投入量；,k,是常,数；,0,?,1,。这种生产函数是美国经济学家柯布和道格拉斯根据,1899-1922,年美国关于生产方面的数据研究得出的。,?,的估计值是,0.75,，,?,的估计值是,0.25,。更习惯的表达形式是,y,=,这是一个非线性模型，无法用,OLS,法直接估计，但可先作线性化,处理。上式两边同取对数，得：,Lny,t,=,Ln,?,0,+,?,1,Lnx,t,1,+,?,2,Lnx,t,2

14、,+,u,t,取,y,t,*,=,Lny,t,?,0,*,=,Ln,?,0,x,t,1,*,=,Lnx,t,1,x,t,2,*,=,Lnx,t,2,，有,y,t,*=,?,0,*,+,?,1,x,t,1,*,+,?,2,x,t,2,*,+,u,t,上式为线性模型。用,OLS,法估计后，再返回到原模型。若回归参,数,?,1,+,?,2,=,1,，,称模型为规模报酬不变型（新古典增长理论）；,?,1,+,?,2,1,，,称模型为规模报酬递增型；,?,1,+,?,2, 1,，,称模型为规模报酬递减型。,t,u,t,t,e,x,x,2,1,2,1,0,?,?,?,Cobb-Douglas,生产函数,y

15、,t,=,(4.16),一般,f,(,t,),=,a,0,+,a,1,t,+,a,2,t,2,+,+,a,n,t,n,，常见形式为,f,(,t,),=,a,0,-,a,t,y,t,=,=,(4.17),其中,b,=,。,a,0,情形的图形分别见图,4.13,和,4.14,。美国人口统计,学家,Pearl,和,Reed,广泛研究了有机体的生长，得到了上述数学模型。生长,模型（或逻辑斯谛曲线，,Pearl-Reed,曲线）常用于描述有机体生长发育,过程。其中,k,和,0,分别为,y,t,的生长上限和下限。,=,k,=,0,。,a,b,为待估参数。曲线有拐点，坐标为（,），曲线的上下两部分对,称于拐

16、点。,图,4.13,y,t,=,k,/ (1 +),图,4.14,y,t,=,k,/ (1 +),t,u,t,f,e,k,?,?,),(,1,u,u,at,a,e,k,?,?,?,),(,0,1,t,u,at,be,k,?,?,?,1,0,a,e,?,?,t,t,Limy,?,?,t,t,Limy,a,Lnb,2,k,生长曲线,(logistic),模型,?,直接搜索法,?,直接优化法,?,迭代线性化法,不可线性化的非线性回归模型,基础知识回顾（,1,）,?,求和算子,?,线性函数,?,非线性函数,?,弹性与半弹性,?,改变测量单位对,OLS,的影响,求和算子,?,求和算子,?,用以表示多个数

17、的总和运算，具有：,?,c=nc,?,cx,i,=c,?,x,i,?,(,ax,i,+,by,i,)=,?,ax,i,+,?,by,i,但是，不具有：,?,(,x,i,/y,i,)=,?,x,i,/,?,y,i,线性函数,线性函数在经济计量学中扮演重要角色。对于两变量的情形,y,=,?,0,+,?,1,x,此时，有,y,=,?,1,x,可见，,y,关于,x,的边际效应是常数,?,。对于多变量，以三变量为例，有,y,=,?,0,+,?,1,x,1,+ ?,2,x,2,此时，有,y,=,?,1,x,1,+ ?,2,x,2,如果,x,2,不变，即,x,2,=0,时，,?,1,描述了,y,如何随,x,

18、而变化，故尔称作,局部,效应,或,偏效应,。它隐含着“其余情况不变”这一前提。,-1,1,2,3,4,10,20,30,y,=,?,0,+,?,1,x,一元线性函数的图示,改变测量单位对,OLS,的影响,?,仅被解释变量改变测量单位,?,仅解释变量改变测量单位,?,举例说明,非线性函数,线性函数对于许多经济关系来说,有时并不适用，比如边际报酬递减,就不适合用线性函数描述。为此，,在经验分析中，用到诸如二次函数、,自然对数、指数函数等非线性函数,二次函数,二次函数,y,=,?,0,+,?,1,x+ ?,2,x,2,当,?,1,0,?,2,0,时，,y,与,x,之间是抛物线关系，在,-,?,1,/

19、2,?,2,处达到最,大，,x,对,y,有一个递减的边际效应,y,/,x,=,?,1,+,2,?,2,x,适用于计算,x,取任何初始值并且仅有微小变化时，对于,y,的近,似边际效应。这种倒,U,型的曲线有时在经验研究中并不容易看,到，有时我们看到的只是倒,U,型曲线的左侧。此时，在较大值,处出现最大值。,-1,1,2,3,4,2,4,6,8,10,12,14,y,=,?,0,+,?,1,x+ ?,2,x,2,一元二次函数的图示,自然对数,y=,log(,x,),=,ln(,x,) ,x,0,具有：,log(,x,1,x,2,),=,log(,x,1,),+,log(,x,2,),log(,x,1,/,x,2,),=,log(,x,1,),-,log(,x,2,),log(,x,c,),=c,log(,x,),与二次函数的差别在于：,d,y,/d,x,=1/,x,0,，是单减的，即,y,和,x,间的边际,报酬是递减的；增函数，即,x,对,y,永远没有负效应。对于,x,微小变化，,有,log(,x,1,),-,log(,x,0,),?,(,x,1,-,x,0,),/,x,0,=,x,/,x,0,。,2,4,6,8,10,-4,-3,-2,-1,1,2,y=,ln(,x,),自然对数的图示,指数函数,y,=exp(,x,),具有：,exp